함수 행렬의 정의

함수 행렬(function of a matrix)은 주어진 행렬에 어떤 함수가 적용된 형태를 의미한다. 이때 함수 f(x)는 스칼라 변수 x에 대해 정의되며, 이를 행렬 \mathbf{A}에 적용하는 것으로 f(\mathbf{A})를 정의한다.

일반적으로 함수 f(x)가 다항식인 경우, 함수 행렬은 쉽게 정의할 수 있다. 예를 들어, 행렬 \mathbf{A}에 대한 다항식 함수 f(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \dots + c_n x^n는 다음과 같이 표현된다:

f(\mathbf{A}) = c_0 \mathbf{I} + c_1 \mathbf{A} + c_2 \mathbf{A}^2 + \dots + c_n \mathbf{A}^n

여기서 \mathbf{I}는 단위 행렬이고, c_0, c_1, \dots, c_n은 함수 f(x)의 계수들이다.

함수 행렬의 계산

일반적인 경우, 함수 행렬 f(\mathbf{A})는 행렬 \mathbf{A}의 대각화 또는 유사 대각화를 통해 계산할 수 있다. 만약 \mathbf{A}가 대각화 가능하다면, 즉 \mathbf{A}가 고유값 분해를 통해 \mathbf{A} = \mathbf{P} \mathbf{D} \mathbf{P}^{-1}로 표현될 수 있다면, 함수 행렬 f(\mathbf{A})는 다음과 같이 계산할 수 있다:

f(\mathbf{A}) = \mathbf{P} f(\mathbf{D}) \mathbf{P}^{-1}

여기서 \mathbf{D}는 \mathbf{A}의 대각행렬이며, f(\mathbf{D})는 대각행렬 \mathbf{D}의 각 대각 성분에 함수 f를 적용한 형태이다. 다시 말해, \mathbf{D}의 대각 성분이 \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n이라면, f(\mathbf{D})의 대각 성분은 f(\lambda_1), f(\lambda_2), \dots, f(\lambda_n)이다.

이 과정은 \mathbf{A}가 대각화 가능하지 않은 경우에도 유사하게 확장될 수 있다. 비록 \mathbf{A}가 대각화 불가능한 경우, 조르당 표준형을 이용하여 함수 행렬을 계산할 수 있다.

고유값 문제의 확장

함수 행렬을 이용한 고유값 문제는 전통적인 고유값 문제를 확장한 형태로 이해할 수 있다. 만약 행렬 \mathbf{A}의 고유값과 고유벡터가 각각 \lambda와 \mathbf{v}라면, 함수 행렬 f(\mathbf{A})의 고유값과 고유벡터는 f(\lambda)와 동일한 고유벡터 \mathbf{v}가 된다.

즉,

f(\mathbf{A}) \mathbf{v} = f(\lambda) \mathbf{v}

위의 식은 함수 행렬 f(\mathbf{A})의 고유값 문제를 정의한다. 이를 통해 다양한 함수가 적용된 행렬의 고유값을 구하는 문제를 해결할 수 있으며, 이는 특정한 시스템의 해석에 매우 유용하다.

함수 행렬의 예제

함수 행렬의 개념을 명확히 하기 위해 몇 가지 예제를 살펴보자.

1. 지수 함수 행렬

행렬의 지수 함수 e^{\mathbf{A}}는 매우 중요한 함수 행렬의 한 예이다. 지수 함수 행렬은 다음과 같이 테일러 급수로 정의된다:

e^{\mathbf{A}} = \mathbf{I} + \mathbf{A} + \frac{\mathbf{A}^2}{2!} + \frac{\mathbf{A}^3}{3!} + \dots

행렬 \mathbf{A}가 대각화 가능하다면, e^{\mathbf{A}}는 고유값을 사용하여 쉽게 계산할 수 있다. 만약 \mathbf{A} = \mathbf{P} \mathbf{D} \mathbf{P}^{-1}로 대각화된다면,

e^{\mathbf{A}} = \mathbf{P} e^{\mathbf{D}} \mathbf{P}^{-1}

이때 e^{\mathbf{D}}는 대각행렬 \mathbf{D}의 각 대각 성분에 지수 함수를 적용한 결과이다.

2. 삼각 함수 행렬

또 다른 예로는 삼각 함수 행렬, 예를 들어 \sin(\mathbf{A}) 또는 \cos(\mathbf{A})를 들 수 있다. 이러한 함수 행렬도 마찬가지로 테일러 급수를 통해 정의되며, 대각화된 행렬의 경우 간단히 계산할 수 있다:

\sin(\mathbf{A}) = \mathbf{P} \sin(\mathbf{D}) \mathbf{P}^{-1}

여기서 \sin(\mathbf{D})는 \mathbf{D}의 각 대각 성분에 삼각 함수를 적용한 결과이다.

함수 행렬과 동적 시스템

함수 행렬은 동적 시스템에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 선형 동적 시스템 \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t)의 해는 행렬 지수 함수 e^{\mathbf{A}t}를 이용하여 다음과 같이 표현된다:

\mathbf{x}(t) = e^{\mathbf{A}t} \mathbf{x}(0)

이 경우 e^{\mathbf{A}t}는 시스템의 시간에 따른 상태 변화를 설명하는데 필수적인 역할을 한다. 행렬 \mathbf{A}의 고유값과 고유벡터를 통해 e^{\mathbf{A}t}를 효율적으로 계산할 수 있다.

비선형 함수 행렬

비선형 함수 f(x)를 행렬에 적용하는 경우, 함수 행렬은 종종 복잡한 수식을 통해 정의된다. 비선형 함수는 다항식이나 지수 함수와 달리 일반적으로 명확한 대각화 기법으로 표현하기 어렵다. 그러나, 특별한 경우 또는 근사 방법을 통해 계산이 가능하다.

비선형 함수 행렬은 물리학과 공학의 다양한 문제, 특히 비선형 시스템 해석에서 응용된다. 이러한 문제에서는 함수 행렬을 사용하여 시스템의 거동을 분석하고 예측할 수 있다.