비정칙 대각화와 조르당 표준형

비정칙 행렬

비정칙 행렬이란, 대각화가 불가능한 행렬을 의미한다. 일반적으로 정칙 행렬, 즉 고유값이 서로 다른 행렬은 대각화가 가능하지만, 고유값이 중복되거나 고유벡터의 개수가 부족한 경우에는 대각화가 불가능해진다. 이러한 경우, 비정칙 행렬의 대각화를 위해 조르당 표준형(Jordan canonical form)을 이용하게 된다.

조르당 표준형의 정의

조르당 표준형은 행렬을 대각화할 수 없을 때, 가능한 가장 간단한 형태로 변환하는 방법 중 하나이다. 이는 대각화의 일반화된 형태로, 조르당 블록(Jordan block)이라는 작은 대각 행렬들로 구성된다. 각 조르당 블록은 하나의 고유값과 그 고유값에 대응하는 고유벡터 및 일반화된 고유벡터로 이루어진다.

조르당 블록

조르당 블록은 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다:

$\mathbf{J} = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{pmatrix}$

여기서, $\lambda$ 는 고유값을 의미하며, 주대각선 상의 $\lambda$ 외에, 그 바로 위의 대각선 요소들이 모두 1로 구성된 행렬이다. 이러한 형태의 블록이 행렬의 고유값의 중복도에 따라 조합되어 전체 행렬의 조르당 표준형을 구성한다.

일반화된 고유벡터

조르당 표준형을 이해하기 위해서는 일반화된 고유벡터(generalized eigenvector)의 개념이 필요하다. 일반화된 고유벡터는 다음 조건을 만족하는 벡터 $\mathbf{v}$ 이다:

$(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})^k \mathbf{v} = 0$

여기서, $k$ 는 최소 양의 정수이며, $\mathbf{A}$ 는 주어진 행렬, $\lambda$ 는 해당 고유값, $\mathbf{I}$ 는 단위 행렬이다. $k$ 가 1일 때, 이는 일반적인 고유벡터의 정의와 동일하며, $k > 1$ 일 경우, 일반화된 고유벡터가 된다. 일반화된 고유벡터는 고유값이 중복되는 경우에 등장하며, 이들이 모여 조르당 블록을 구성하게 된다.

조르당 표준형으로의 변환

조르당 표준형으로의 변환은 다음과 같은 절차로 이루어진다:

고유값 계산: 행렬 $\mathbf{A}$ 의 고유값 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ 을 계산한다. 이때, 고유값의 중복 여부를 확인한다.
고유벡터와 일반화된 고유벡터 계산: 각 고유값 $\lambda_i$ 에 대해 해당하는 고유벡터와 일반화된 고유벡터를 계산한다. 만약 고유값의 중복도만큼의 고유벡터를 찾을 수 없다면, 일반화된 고유벡터를 추가로 찾아야 한다.
조르당 블록 구성: 각 고유값 $\lambda_i$ 에 대해 얻은 고유벡터와 일반화된 고유벡터들을 이용해 조르당 블록을 구성한다. 조르당 블록은 고유값 $\lambda_i$ 와 1로 채워진 상위 대각선 요소로 이루어진다.
조르당 표준형 행렬 구성: 구성된 조르당 블록들을 대각선에 배치하여 조르당 표준형 행렬 $\mathbf{J}$ 를 만든다. 이때, $\mathbf{J}$ 는 행렬 $\mathbf{A}$ 와 유사하다.
변환 행렬 $\mathbf{P}$ 계산: 행렬 $\mathbf{A}$ 를 조르당 표준형 $\mathbf{J}$ 으로 변환시키는 변환 행렬 $\mathbf{P}$ 를 계산한다. 이는 $\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P} = \mathbf{J}$ 를 만족하는 행렬이다. 이 변환 행렬은 고유벡터와 일반화된 고유벡터들로 구성된다.

조르당 표준형의 예제

주어진 행렬 $\mathbf{A}$ 를 조르당 표준형으로 변환하는 과정을 예제를 통해 살펴보자. 예를 들어, 다음과 같은 행렬 $\mathbf{A}$ 가 있다고 하자:

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 2 \\ 0 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

고유값 계산: 특성 다항식을 풀어 고유값을 계산한다. 이 행렬의 고유값은 $\lambda_1 = 5$ (중복도 2)와 $\lambda_2 = 3$ 이다.
고유벡터와 일반화된 고유벡터 계산: 고유값 $\lambda_1 = 5$ 에 대해 일반 고유벡터를 계산하면, 하나의 고유벡터만 존재한다. 따라서, 일반화된 고유벡터를 추가로 계산해야 한다. 고유값 $\lambda_2 = 3$ 에 대해서는 고유벡터가 하나 존재한다.
조르당 블록 구성: 고유값 $\lambda_1 = 5$ 에 대한 조르당 블록과 $\lambda_2 = 3$ 에 대한 조르당 블록을 구성한다. 이 조르당 블록들은 각각 크기가 2와 1인 블록으로 나타난다.
조르당 표준형 행렬 구성: 이들 블록을 결합하여 최종적으로 조르당 표준형 $\mathbf{J}$ 를 얻는다.

$\mathbf{J} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

조르당 표준형의 중요성

조르당 표준형은 비정칙 행렬을 가장 단순한 형태로 나타내는 방법 중 하나로, 비대각화 가능 행렬의 구조를 이해하고 분석하는 데 매우 중요한 역할을 한다. 조르당 표준형을 통해 우리는 행렬의 고유값 및 고유벡터에 대한 깊은 이해를 얻을 수 있으며, 이는 다양한 응용 분야에서 중요한 이론적 도구가 된다.