대각화 절차와 예제 - 실험 도서관

대각화의 기본 개념

대각화(diagonalization)는 주어진 행렬을 그 행렬과 동치인 대각 행렬로 변환하는 과정이다. 이 대각 행렬은 주어진 행렬과 동일한 고유값을 가지며, 계산 및 해석을 단순화하는 데 유용하다. 이를 통해 복잡한 선형 변환 문제를 보다 쉽게 풀 수 있다.

대각화의 수학적 정의

행렬 $\mathbf{A}$ 가 대각화 가능하다는 것은 $\mathbf{A}$ 가 다음과 같은 형태로 표현될 수 있음을 의미한다:

$\mathbf{A} = \mathbf{P} \mathbf{D} \mathbf{P}^{-1}$

여기서:

$\mathbf{P}$ 는 $\mathbf{A}$ 의 고유벡터들로 이루어진 정방 행렬이다.
$\mathbf{D}$ 는 $\mathbf{A}$ 의 고유값들을 대각 성분으로 가지는 대각 행렬이다.
$\mathbf{P}$ 의 역행렬이 존재해야 한다.

대각화 절차

고유값 계산
행렬 $\mathbf{A}$ 의 고유값을 구하기 위해, 다음의 특성 방정식을 푼다:

$\text{det}(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0$

여기서 I는 단위 행렬이며, $\lambda$ 는 고유값을 나타낸다. 이 방정식을 풀면 $\mathbf{A}$ 의 고유값 λ₁, λ₂, ..., λₙ이 얻어진다.

고유벡터 계산
각 고유값 $\mathbf{\lambda}_k$ 에 대해 다음의 식을 풀어 고유벡터 $\mathbf{v}_k$ 을 구한다:

$(\mathbf{A} - \lambda_k \mathbf{I}) \mathbf{v}_k = \mathbf{0}$

이 식을 만족하는 $\mathbf{v}_k$ 는 $\mathbf{\lambda}_k$ 에 대응하는 고유벡터이다. 이때 $\mathbf{v}_k$ 는 영벡터가 아닌 벡터여야 한다.

고유벡터로 행렬 $\mathbf{P}$ 구성
모든 고유벡터들을 열 벡터로 하는 행렬 $\mathbf{P}$ 를 구성한다:

$\mathbf{P} = [\mathbf{v}_1 \, \mathbf{v}_2 \, \cdots \, \mathbf{v}_n]$

여기서 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots \mathbf{v}_n$ 은 각각 고유값 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ 에 대응하는 고유벡터들이다.

대각 행렬 $\mathbf{D}$ 구성
고유값들을 대각 성분으로 가지는 대각 행렬 $\mathbf{D}$ 를 구성한다:

$\mathbf{D} = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$

행렬의 대각화
위의 구성 요소들을 사용하여 주어진 행렬 $\mathbf{A}$ 를 대각화할 수 있다:

$\mathbf{A} = \mathbf{P} \mathbf{D} \mathbf{P}^{-1}$

대각화의 예제

예제 1: 2x2 행렬의 대각화

주어진 행렬 $\mathbf{A}$ 가 다음과 같다고 가정하자:

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

고유값 계산
먼저, 특성 방정식을 풀어 $\mathbf{A}$ 의 고유값을 구한다:

$\text{det}\left(\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} - \lambda \mathbf{I}\right) = 0$

계산하면 다음과 같다:

$\text{det}\begin{pmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{pmatrix} = (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0$

이 방정식을 풀면 고유값 $\lambda_1 = 5, \lambda_2 = 2$ 를 얻는다.

고유벡터 계산
고유값 $\lambda_1 = 5$ 에 대응하는 고유벡터를 구한다:

$(\mathbf{A} - 5\mathbf{I})\mathbf{v} = 0 \quad \Rightarrow \quad \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

이 식을 만족하는 $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 이다.

고유값 $\lambda_2 = 2$ 에 대해 동일한 방법으로 고유벡터 $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ 를 구할 수 있다.

행렬 $\mathbf{P}$ 구성 고유벡터들로 행렬 $\mathbf{P}$ 를 구성한다:

$\mathbf{P} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

대각 행렬 $\mathbf{D}$ 구성
고유값들로 대각 행렬 $\mathbf{D}$ 를 구성한다:

$\mathbf{D} = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

행렬의 대각화
이제 주어진 행렬 $\mathbf{A}$ 를 대각화할 수 있다:

$\mathbf{A} = \mathbf{P} \mathbf{D} \mathbf{P}^{-1}$

행렬의 역행렬 계산

앞에서 얻은 행렬 $\mathbf{P}$ 의 역행렬 을 계산하여 대각화를 완성하겠다. 행렬 $\mathbf{P}$ 는 다음과 같다:

$\mathbf{P} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

$\mathbf{P}$ 의 역행렬 $\mathbf{P}^{-1}$ 은 다음과 같이 구할 수 있다:

$\mathbf{P}^{-1} = \frac{1}{\text{det}(\mathbf{P})} \text{adj}(\mathbf{P})$

여기서 $\text{det}{(\mathbf{P})}$ 는 행렬 $\mathbf{P}$ 의 행렬식, $\text{adj}{(\mathbf{P})}$ 는 $\mathbf{P}$ 의 수반 행렬이다. 먼저 행렬식을 계산한다:

$\text{det}(\mathbf{P}) = (1)(2) - (1)(1) = 1$

따라서 $\mathbf{P}$ 의 역행렬은 다음과 같이 계산된다:

$\mathbf{P}^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

행렬의 대각화 완성

이제, 주어진 행렬 $\mathbf{A}$ 를 대각화할 수 있다. 이 과정은 다음과 같다:

$\mathbf{A} = \mathbf{P} \mathbf{D} \mathbf{P}^{-1}$

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

이를 계산하면:

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 + 1 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 5 + 2 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$

다시 역행렬 $\mathbf{P}^{-1}$ 을 곱하면 원래의 행렬 $\mathbf{A}$ 를 얻을 수 있다. 따라서 주어진 행렬 $\mathbf{A}$ 는 성공적으로 대각화되었음을 확인할 수 있다.

예제 2: 3x3 행렬의 대각화

주어진 행렬 $\mathbf{B}$ 가 다음과 같다고 가정하자:

$\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

이 행렬의 대각화를 수행하는 과정도 이전 절차와 유사하게 진행된다.

고유값 계산
먼저, 특성 방정식을 풀어 $\mathbf{B}$ 의 고유값을 구한다:

$\text{det}\left(\mathbf{B} - \lambda \mathbf{I}\right) = 0$

여기서 $\lambda$ 는 $\mathbf{B}$ 의 고유값이다. 이 방정식을 풀어 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 를 구한다.

고유벡터 계산
각 고유값에 대해 $(\mathbf{B} - λ_k \mathbf{I}) \mathbf{v}_k = \mathbf{0}$ 를 풀어 고유벡터를 구한다.
행렬 $\mathbf{P}$ 구성
고유벡터들로 행렬 $\mathbf{P}$ 를 구성한다.
대각 행렬 D 구성
고유값들로 대각 행렬 $\mathbf{D}$ 를 구성한다.
행렬의 대각화
$\mathbf{B}$ 를 대각화하는 과정은 $\mathbf{B} = \mathbf{P} \mathbf{D} \mathbf{P}^{-1}$ 를 계산하는 것으로 완성된다.

대각화가 불가능한 경우

모든 행렬이 대각화 가능한 것은 아니다. 대각화가 가능하려면 $\mathbf{P}$ 의 역행렬이 존재해야 하며, $\mathbf{A}$ 의 고유값들이 중복되지 않거나 중복된 경우에도 충분한 수의 독립된 고유벡터가 있어야 한다.

이와 같은 경우 조르당 표준형을 사용하여 대각화에 가까운 형태로 표현할 수 있다. 그러나 조르당 표준형은 이 책의 후반부에서 다루며, 지금은 대각화의 범위를 넘어서므로 이 시점에서 다루지 않는다.