행렬과 벡터의 관계

행렬 $\mathbf{A}$가 주어진다면, 벡터 $\mathbf{v}$에 대해 행렬 $\mathbf{A}$를 곱한 결과는 일반적으로 벡터 $\mathbf{v}$의 방향과 크기를 모두 바꾸게 된다. 즉, $\mathbf{A}\mathbf{v}$는 $\mathbf{v}$와 다른 방향의 벡터가 된다.

고유값과 고유벡터의 기본 정의

그러나 특정한 경우, 벡터 $\mathbf{v}$의 방향은 그대로 유지되면서 크기만 변하는 경우가 있다. 이러한 경우를 만족하는 비영벡터 $\mathbf{v}$를 행렬 $\mathbf{A}$의 고유벡터(eigenvector)라고 하며, 이때의 상수 $\lambda$를 고유값(eigenvalue)이라고 한다. 이는 다음과 같이 수식으로 표현된다:

여기서: - $\mathbf{A}$는 $n \times n$ 정사각 행렬 - $\mathbf{v}$는 $n$차원의 고유벡터 - $\lambda$는 고유값

고유값 방정식

고유값과 고유벡터의 정의에서 나타난 식 $\mathbf{A}\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$는 행렬 방정식으로 표현될 수 있다. 이 방정식을 조금 더 풀어보면 다음과 같은 형태를 얻게 된다:

여기서 $\mathbf{I}$는 $n \times n$ 단위 행렬이다. 이를 정리하면 다음과 같은 고유값 방정식을 얻는다:

이 방정식이 의미하는 바는 행렬 $\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}$가 고유벡터 $\mathbf{v}$에 대해 영벡터 $\mathbf{0}$을 만들어내야 한다는 것이다. 따라서, 이 방정식이 해를 가지기 위해서는 $\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}$의 행렬식이 0이어야 한다. 즉,

위 식은 행렬 $\mathbf{A}$의 특성 방정식(characteristic equation)으로, 이를 풀어서 고유값 $\lambda$를 구할 수 있다. 고유값을 구한 후, 다시 원래의 고유값 방정식에 대입하여 대응하는 고유벡터 $\mathbf{v}$를 찾을 수 있다.

고유값과 고유벡터의 의미

고유값 $\lambda$는 행렬 $\mathbf{A}$가 특정 방향으로 벡터 $\mathbf{v}$를 스케일링하는 정도를 나타낸다. 이때 벡터 $\mathbf{v}$는 고유벡터로서, 행렬 $\mathbf{A}$에 의해 방향이 바뀌지 않는 유일한 벡터 방향이다. 각 고유값에 대응하는 고유벡터는 하나 이상 존재할 수 있으며, 이들은 서로 선형 독립적일 수 있다.

고유값과 고유벡터의 존재 조건

모든 정사각 행렬 $\mathbf{A}$에 대해 고유값과 고유벡터가 존재하는 것은 아니다. 예를 들어, 특이 행렬 (singular matrix)의 경우 고유값이 0인 경우가 존재할 수 있으며, 이때는 고유벡터가 특수한 형태를 가질 수 있다.

고유값과 고유벡터의 정의는 이러한 기본 개념을 바탕으로 다양한 수학적 문제와 실제 응용에 사용된다. 이 정의는 앞으로의 장에서 다루게 될 고유값 문제의 계산 및 응용의 출발점이 된다.