선형 변환의 개요 - 실험 도서관

선형 변환의 정의

선형 변환(linear transformation)은 두 벡터 공간 사이의 함수로서, 벡터의 덧셈과 스칼라 곱에 대해 다음 두 가지 성질을 만족하는 함수이다. 즉, 주어진 두 벡터 공간 $V$ 와 $W$ 가 있을 때, 함수 $T: V \rightarrow W$ 가 선형 변환이 되기 위해서는 모든 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ 와 스칼라 $c$ 에 대해 다음이 성립해야 한다.

벡터 덧셈에 대한 보존성:

$T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$

스칼라 곱에 대한 보존성:

$T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u})$

이러한 성질을 만족하는 변환을 선형 변환이라고 부르며, 이는 벡터 공간의 구조를 보존한다는 중요한 특성을 갖는다.

행렬과 선형 변환

선형 변환은 행렬로 표현될 수 있다. 예를 들어, $n$ 차원 벡터 공간 $\mathbb{R}^n$ 에서 $m$ 차원 벡터 공간 $\mathbb{R}^m$ 으로의 선형 변환 $T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ 은 $m \times n$ 크기의 행렬 $\mathbf{A}$ 에 의해 표현될 수 있으며, 이때 선형 변환은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$T(\mathbf{x}) = \mathbf{A} \mathbf{x}$

여기서 $\mathbf{x}$ 는 $\mathbb{R}^n$ 의 벡터이고, $T(\mathbf{x})$ 는 $\mathbb{R}^m$ 의 벡터이다. 행렬 $\mathbf{A}$ 는 선형 변환을 수행하는 규칙을 담고 있으며, 각 원소는 벡터 공간 사이의 변환을 정의한다.

선형 변환의 예시

회전 변환

2차원 평면에서의 회전 변환은 각도 $\theta$ 만큼 회전시키는 선형 변환이다. 예를 들어, 벡터 $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ 에 대해 회전 변환을 적용하면, 회전된 벡터 $\mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}$ 는 다음과 같은 행렬로 표현된다.

$\mathbf{y} = \mathbf{R} \mathbf{x} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$

이 변환은 벡터의 크기를 유지하면서 원점에 대해 회전시키는 선형 변환이다. 이처럼 회전은 선형 변환의 중요한 예 중 하나로, 선형 대수학에서 자주 다루어진다.

확대/축소 변환

확대 또는 축소 변환은 벡터의 크기를 일정한 비율로 변경하는 선형 변환이다. 2차원에서 이 변환은 다음과 같은 형태의 행렬로 표현된다.

$\mathbf{S} = \begin{bmatrix} s_1 & 0 \\ 0 & s_2 \end{bmatrix}$

여기서 $s_1$ 과 $s_2$ 는 각 축 방향으로의 확대 또는 축소 비율을 나타낸다. 벡터 $\mathbf{x}$ 에 대해 이 변환을 적용하면 다음과 같이 변환된 벡터를 얻게 된다.

$\mathbf{y} = \mathbf{S} \mathbf{x} = \begin{bmatrix} s_1 & 0 \\ 0 & s_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$

이 변환은 각 축에 대해 벡터의 길이를 변경하지만, 원점에 대해 선형적인 관계를 유지한다.

선형 변환의 성질

선형 변환은 벡터 공간의 구조를 보존하는 특성을 가지고 있다. 이러한 변환의 주요 성질은 다음과 같다.

원점 보존: 선형 변환 $T$ 에 대해 $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$ 이다. 이는 원점이 항상 불변점(invariant point)으로 남는다는 것을 의미한다.
동차성: 모든 벡터 $\mathbf{x} \in V$ 에 대해 $T(c\mathbf{x}) = cT(\mathbf{x})$ 가 성립하며, 이는 벡터의 방향을 유지하면서 길이만을 변경하는 성질을 나타낸다.
초평면 보존: 선형 변환은 벡터 공간의 초평면을 초평면으로 보존한다. 즉, 차원이 $n-1$ 인 부분공간은 선형 변환 후에도 여전히 $n-1$ 차원 부분공간으로 남습니다.

선형 변환의 합성과 역변환

합성

두 선형 변환 $T_1: V \rightarrow W$ 와 $T_2: W \rightarrow U$ 가 주어졌을 때, 이들의 합성 $T_2 \circ T_1$ 는 $V$ 에서 $U$ 로의 새로운 선형 변환을 정의한다. 행렬로 표현하면, 만약 $T_1$ 이 행렬 $\mathbf{A}$ , $T_2$ 가 행렬 $\mathbf{B}$ 로 표현된다면, 합성 $T_2 \circ T_1$ 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\mathbf{C} = \mathbf{B} \mathbf{A}$

여기서 $\mathbf{C}$ 는 새로운 합성 변환의 행렬이다.

역변환

선형 변환 $T: V \rightarrow W$ 가 가역적(invertible)이라면, 즉 $T(\mathbf{x}) = \mathbf{y}$ 에 대해 항상 $\mathbf{x} = T^{-1}(\mathbf{y})$ 가 존재한다면, 이 변환의 역행렬 $T^{-1}$ 는 선형 변환이다. 역행렬은 다음과 같이 정의된다.

$\mathbf{A}^{-1} \mathbf{A} = \mathbf{I}$

여기서 $\mathbf{I}$ 는 항등 행렬(identity matrix)이다. 역행렬이 존재하는 선형 변환은 일대일 대응을 이루며, 벡터 공간의 구조를 완전히 보존한다.