고차원 데이터에서의 제약

1. 메모리 사용량 증가

고차원 데이터에서 Cholesky 분해를 수행하려면 사용되는 메모리 양이 급격하게 증가한다. 주어진 행렬 $\mathbf{A}$ 가 $n \times n$ 크기를 가질 때, Cholesky 분해의 결과로 $n \times n$ 크기의 하삼각 행렬 $\mathbf{L}$ 이 생성된다. 이렇게 생성된 $\mathbf{L}$ 의 메모리 사용량은 다음과 같다:

$\text{Memory usage of }\mathbf{L} = n \times (n+1) / 2$

이는 고차원 데이터셋에서 메모리를 크게 소모하게 되며, 특히 수천 혹은 수만 개의 변수를 가질 때는 심각한 문제로 작용할 수 있다.

2. 계산 복잡도 증가

Cholesky 분해의 계산 복잡도는 $\mathcal{O}(n^3)$ 이다. 이는 $n$ 이 커질수록 시간 복잡도가 기하급수적으로 증가함을 의미한다. 특히 고차원 데이터셋에서는 다음과 같은 문제들이 발생할 수 있다:

컴퓨팅 시간의 증가: 분해를 수행하는 시간이 길어져 실시간 분석이 불가능해지거나, 분석 결과를 얻기 위해 장시간을 기다려야 하는 상황이 발생한다.
병렬 처리의 한계: Cholesky 분해는 기본적으로 순차적인 계산을 요구하므로 병렬 처리를 통해 속도를 향상시키는 데 한계가 있다.

3. 수치적 불안정성

고차원 데이터셋의 특성상 원본 행렬이 매우 큰 값을 가질 수 있다. 이러한 경우 수치적 불안정성이 발생하여 Cholesky 분해가 실패하거나 부정확한 결과를 초래할 수 있다. 특히 행렬 $\mathbf{A}$ 가 양의 정부호 행렬이 아닐 경우 분해는 불가능한다. 이는 고차원 데이터에서 다음과 같은 문제를 의미한다:

양의 정부호 행렬 확인 어려움: 고차원 데이터의 경우, 행렬이 양의 정부호인지 확인하는데도 상당한 계산 비용이 들 수 있다.
반응성 감소: 원본 행렬의 작은 변화가 Cholesky 분해의 결과에 큰 영향을 미칠 수 있어 민감한 결과를 초래할 수 있다.

4. 데이터 전처리의 필요성

고차원 데이터셋은 일반적으로 잡음(noise)과 결측치(missing values)를 많이 포함하고 있다. 이러한 잡음과 결측치는 Cholesky 분해의 결과에 부정적인 영향을 미칠 수 있다. 따라서 데이터 전처리가 매우 중요하다. 전처리 방법으로는 다음과 같은 것들이 있다:

결측치 대체(Imputation): 결측치를 평균, 중위수, 또는 KNN(knn)을 이용해 대체한다.
잡음 제거: 이상치를 탐지하고 제거하거나 적절한 값으로 대체한다.
정규화(Normalization): 데이터의 스케일을 조정하여 수치적 안정성을 확보한다.

5. 특이값 분해 (SVD) 및 PCA와의 비교

고차원 데이터셋에서 차원을 축소하기 위한 방법으로 특이값 분해(SVD)나 주성분 분석(PCA)을 활용하는 것이 더 유리한 경우가 많다. 이러한 방법들은 원본 데이터의 주요 변동성을 보존하면서 차원을 축소할 수 있다.

SVD: 행렬 $\mathbf{A}$ 를 $\mathbf{A} = \mathbf{U} \mathbf{Σ} \mathbf{V}^T$ 형태로 분해하여 차원을 축소하고, 메모리 사용량과 계산 복잡도를 줄일 수 있다.
PCA: 데이터의 주성분을 구해서 고차원 데이터를 저차원 데이터로 변환함으로써 Cholesky 분해의 요구 조건을 완화할 수 있다.

6. 스케일링 기법

고차원 데이터에서 Cholesky 분해를 수행할 때, 메모리와 계산 복잡도를 완화하기 위해 스케일링 기법을 활용할 수 있다. 예를 들어, 행렬 분할 기법이나 분할정복(divide-and-conquer) 알고리즘을 사용할 수 있다.

블록 행렬 분해(Block Matrix Decomposition): 큰 행렬을 작은 서브-행렬로 분할하여 개별적으로 분해한 후 다시 결합하는 방법이다.
지방 행렬(Lattice Matrix): 대규모 행렬을 다루기 위해 행렬을 부분적으로 분리하여 계산을 수행하다가 최종 결합 전의 중간 결과를 활용하는 전략이다.

7. 고차원 행렬에서의 실험 사례

다양한 현실 세계의 고차원 데이터셋에서 Cholesky 분해를 적용한 연구 사례를 이론적으로나 실무적인 측면에서 다루는 것이 유익한다. 예를 들어, 유전자 데이터 분석, 금융 포트폴리오 최적화, 머신러닝에서의 커널 행렬 분해 등이 있다.

고차원 데이터에서 Cholesky 분해를 효율적으로 수행하기 위한 기술이 지속적으로 발전하고 있으며, 다양한 알고리즘적 개선을 통해 해결 방안을 모색하는 것이 중요하다.