Sholesky 분해의 한계 및 문제점

행렬의 양의 정부호 조건

Sholesky 분해는 주어진 행렬이 특정 조건을 만족할 때만 사용할 수 있는 유용한 기법이다. 그 조건 중 가장 중요한 조건이 바로 '양의 정부호(Positive Definite)' 조건이다. 이는 수학적으로 그리고 실질적으로 매우 중요한 조건으로, 이 꼭지에서는 그 정의와 의미에 대해 자세히 다룬다.

양의 정부호 행렬의 정의

양의 정부호 행렬이란, 다음과 같은 조건을 만족하는 행렬 $\mathbf{A}$ 를 말한다:

$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n} \quad \text{and} \quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n, \mathbf{x} \neq \mathbf{0}, \quad \mathbf{x}^\top \mathbf{A} \mathbf{x} > 0$

즉, 모든 영 벡터가 아닌 벡터 $\mathbf{x}$ 에 대해 $\mathbf{x}^\top \mathbf{A} \mathbf{x}$ 가 항상 양수가 되는 실대칭 행렬 $\mathbf{A}$ 를 가리킨다.

의미와 직관

이 조건은 매우 직관적이다. 행렬 $\mathbf{A}$ 를 통해 생성된 이차 형식(Quadratic form) $\mathbf{x}^\top \mathbf{A} \mathbf{x}$ 이 0보다 크다는 것은, 단순히 숫자적인 양수 성질뿐만 아니라 기하학적 의미도 담고 있다. 예를 들어, 이차 형식이 양수라는 것은, 관련된 에너지, 거리가 항상 양수임을 의미할 수 있다.

시험 방법

양의 정부호 여부를 쉬운 방법으로 확인할 수 있는 몇 가지 방법이 있다:

모든 고유값 확인: 행렬 $\mathbf{A}$ 의 모든 고유값들이 양수인지 확인하는 것이다. 즉 $\lambda_i > 0$ for all $i$ .
주 소행렬 판별법: 모든 주 소행렬(Leading principal minors)의 행렬식이 양수인지 확인하는 방법이다. 예를 들어, 행렬 $\mathbf{A}$ 에 대해 다음 행렬식들이 모두 양수인지를 확인한다:

$\begin{vmatrix} a_{11} \end{vmatrix} > 0, \quad \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} > 0, \quad \cdots, \quad \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} > 0$

치올레스키 분해 직접 시도: 치올레스키 분해는 실패하면 행렬이 양의 정부호가 아님을 의미한다. 분해가 성공하면, 해당 행렬은 양의 정부호이다.

양의 정부호 조건에서의 문제점

실제 문제에서는 행렬이 양의 정부호 조건을 만족하지 않을 때도 많다. 이에 대한 대처법 및 해결 방법을 이해하는 것이 매우 중요하다.

예기치 않은 비 양의 정부호 행렬

프로젝트나 연구를 진행할 때, 데이터를 기반으로 생성된 행렬 $\mathbf{A}$ 가 여러 원인으로 인해 양의 정부호 조건을 만족하지 않을 수 있다. 대표적인 원인으로는 다음과 같은 것들이 있다:

수집된 데이터의 잡음(Noise): 실험이나 측정에서 발생할 수 있는 데이터 잡음은 행렬의 성질을 해칠 수 있다.
데이터의 불완전성: 일부 누락된 값이나 결측값이 존재할 경우 행렬의 특성이 변할 수 있다.
모델의 불완전성: 잘못된 모델 구성이나 가정이 존재할 경우에도 문제가 발생할 수 있다.

해결 방법

1. 수정된 행렬 사용

양의 정부호 조건을 만족하지 않는 행렬을 수식적으로 변환하여 조건을 만족시키는 방법이 있다. 자주 사용하는 방법으로는 다음과 같은 것들이 있다:

정규화(Smoothing): 행렬에 작은 양의 항목들을 더하여 양의 정부호성을 확보하는 방법이다. 예를 들어, $\mathbf{A}$ 에 작은 양수 $\epsilon \mathbf{I}$ 를 더하는 방법이다.

$\mathbf{A}' = \mathbf{A} + \epsilon \mathbf{I}$

여기서 $\mathbf{I}$ 는 단위행렬(identity matrix)이다.

프로젝션 기법: 행렬을 양의 정부호 공간으로 투영(projection)하여 새로운 행렬을 생성하는 방법이다. 이는 행렬의 고유값 분해를 통해 음수 고유값들을 0 또는 양수로 변환하여 구현할 수 있다.

2. 행렬의 재구성

또 다른 방법은 행렬을 다시 구성하는 것이다. 데이터가 충분히 많고 신뢰할 수 있을 경우, 행렬의 구성을 수정하거나 별도의 데이터를 추가하여 양의 정부호성을 확보할 수 있다.

3. 최적화 문제의 재구성

양의 정부호 조건을 만족하지 않는 경우, 최적화 문제를 구성할 때 제약사항을 수정하거나 문제를 재설계할 수도 있다. 예를 들어, 제약조건을 더 엄격하게 하여 양의 정부호성을 확보할 수 있다.

Sholesky 분해의 또 다른 한계

Sholesky 분해는 매우 효율적이지만 몇 가지 한계가 있다. 이러한 한계를 이해하는 것도 중요하다.

계산 복잡성

Sholesky 분해는 대칭 행렬에 대해 $O(n^3)$ 의 시간복잡도가 소요된다. 큰 행렬에 대해서는 여전히 계산 비용이 크다.

수치 안정성

Sholesky 분해는 행렬의 수치적 안정성에 민감할 수 있다. 특히, 잘못된 데이터나 불안정한 수치 연산이 포함될 경우, 분해 자체가 실패할 수 있다.

메모리 소모

대칭 행렬의 경우 메모리 사용량이 감소하지만, 여전히 큰 행렬에 대해서는 메모리 사용량이 문제가 될 수 있다.

Sholesky 분해는 대칭 양의 정부호 행렬에 대해 매우 강력한 도구이다. 그러나 실용적인 한계와 문제점을 이해하고 이에 대한 해결책을 준비하는 것은 매우 중요하다. 이 장에서는 이러한 문제들을 어떻게 다루고 해결할 수 있는지에 대해 살펴보았다. 앞으로 이러한 한계를 염두에 두고 Sholesky 분해를 활용해 나가길 바란다.