블록 Cholesky 분해(Block Cholesky Decomposition)는 Cholesky 분해를 블록 단위로 수행하는 방법을 말한다. 이는 큰 행렬을 작은 블록으로 나누어 계산함으로써 메모리 사용의 효율성을 높이고 성능을 향상시키는 특징을 가지고 있다. 블록 Cholesky 분해는 특히 병렬 계산 환경에서 유리한다.

기본 아이디어

기본적인 Cholesky 분해는 주어진 행렬 $\mathbf{A}$를 두 개의 하삼각 행렬의 곱으로 분해하는 것이다. 이를 수식으로 표현하면:

여기서 $\mathbf{A}$는 대칭이고 양의 정부호인 행렬이며, $\mathbf{L}$은 하삼각 행렬이다.

블록 Cholesky 분해는 이 과정을 블록 단위로 수행한다. 이를 위해 다음과 같은 블록 형태로 행렬을 표현한다:

여기서 $\mathbf{A}_{11}$, $\mathbf{A}_{12}$, $\mathbf{A}_{21}$, $\mathbf{A}_{22}$는 $\mathbf{A}$의 블록 구성 요소이다.

블록 Cholesky 분해 단계

블록 Cholesky 분해는 다음과 같은 단계로 이루어진다:

1. 첫 번째 블록 분해

먼저 좌상단 블록 $\mathbf{A}_{11}$에 대해 Cholesky 분해를 수행한다:

여기서 $\mathbf{L}_{11}$은 하삼각 행렬이다.

2. 하삼각 블록 계산

다음으로, 오른쪽 상단 블록 $\mathbf{A}_{12}$에 대해 다음과 같은 관계를 사용하여 하삼각 블록 $\mathbf{L}_{21}$을 계산한다:

3. 마지막 블록 갱신

마지막으로, 좌하단 및 우하단 블록을 갱신한다. 이때 갱신된 우하단 블록 $\mathbf{A}_{22}''$에 대해 Cholesky 분해를 수행한다:

결과적으로 $\mathbf{L}$은 다음과 같은 블록 형태를 갖게 된다:

블록 Cholesky 분해는 전체 행렬을 작은 블록으로 나누어 분해함으로써 효율성을 높인다. 이는 특히 대규모 행렬 연산에서 중요한 병렬화 및 메모리 최적화 기법으로 사용된다.