Eigen3 라이브러리는 C++ 기반의 풍부한 기능을 가진 선형대수 라이브러리이다. 이 장에서는 Eigen3을 이용하여 Sholesky 분해를 구현하는 방법을 다룬다.

환경 설정

먼저, Eigen3 라이브러리를 설치하고 프로젝트에 포함시켜야 한다. CMakeLists.txt 파일을 사용하여 프로젝트를 설정할 수 있다:

cmake_minimum_required(VERSION 3.10)
project(CholeskyDecomposition)

set(CMAKE_CXX_STANDARD 11)

find_package(Eigen3 3.3 REQUIRED)
include_directories(${EIGEN3_INCLUDE_DIR})

add_executable(CholeskyDecomposition main.cpp)
target_link_libraries(CholeskyDecomposition Eigen3::Eigen)

코드 구현

다음은 Sholesky 분해를 수행하는 C++ 코드이다. Eigen3 라이브러리를 사용하여 주어진 행렬의 Sholesky 분해를 계산하고 결과를 출력한다.

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>

using namespace Eigen;

int main() {
    // 양의 정부호 행렬 정의
    MatrixXd mat(3, 3);
    mat << 4, 12, -16,
           12, 37, -43,
           -16, -43, 98;

    // Sholesky 분해 수행
    LLT<MatrixXd> llt(mat);
    MatrixXd L = llt.matrixL();

    // 결과 출력
    std::cout << "The matrix L is:\n" << L << std::endl;
    std::cout << "Verification (L * L^T):\n" << L * L.transpose() << std::endl;

    return 0;
}

코드 설명

1. 행렬 정의
   위 코드는 $3 \times 3$ 크기의 양의 정부호 행렬 $\mathbf{A}$를 정의한다:

1. Sholesky 분해 수행
   LLT<MatrixXd> 객체를 생성하여 행렬 $\mathbf{A}$의 Sholesky 분해를 수행한다.

여기서 $\mathbf{L}$은 하삼각 행렬이다.

1. 결과 출력
   분해된 하삼각 행렬 $\mathbf{L}$을 출력하고, $\mathbf{L}\mathbf{L}^T$가 본래의 행렬 $\mathbf{A}$와 같은지 검증한다.

행렬 검증

출력된 $\mathbf{L}$을 통해 분해가 정확히 수행되었는지 $\mathbf{L}\mathbf{L}^T \approx \mathbf{A}$를 확인할 수 있다.

The matrix L is:
 2  0  0
 6  1  0
-8  5  3

Verification (L * L^T):
  4  12 -16
 12  37 -43
-16 -43  98

이로써 Sholesky 분해가 정확히 이루어졌음을 알 수 있다.

오류 처리 및 예외 상황

작업을 할 때에는 예외 처리를 통해 오류 상황을 적절히 처리하는 것도 중요하다. Eigen3 라이브러리는 Sholesky 분해와 관련된 오류를 감지할 수 있는 기능을 제공한다. 이를 활용해 예외 처리를 추가해보겠다.

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
#include <stdexcept>

using namespace Eigen;

int main() {
    try {
        // 양의 정부호 행렬 정의
        MatrixXd mat(3, 3);
        mat << 4, 12, -16,
               12, 37, -43,
               -16, -43, 98;

        // Sholesky 분해 수행
        LLT<MatrixXd> llt(mat);
        if (llt.info() == NumericalIssue) {
            throw std::runtime_error("Matrix is not positive definite");
        }
        MatrixXd L = llt.matrixL();

        // 결과 출력
        std::cout << "The matrix L is:\n" << L << std::endl;
        std::cout << "Verification (L * L^T):\n" << L * L.transpose() << std::endl;
    } catch (const std::exception& e) {
        std::cerr << "Exception caught: " << e.what() << std::endl;
    }

    return 0;
}

코드 설명

1. 오류 처리 추가
   LLT<MatrixXd> 객체를 통해 Sholesky 분해를 수행한 후, llt.info() 함수를 사용하여 분해가 성공적으로 수행되었는지 확인한다. 만약 분해에 문제가 발생했다면 NumericalIssue 값을 반환한다.

2. 예외 발생
   NumericalIssue가 반환되면 runtime_error 예외를 발생시켜 적절한 오류 메시지를 출력한다.

실행 결과

이제 만약 주어진 행렬이 양의 정부호가 아니라면, 프로그램은 이를 감지하고 적절한 오류 메시지를 출력한다.

Exception caught: Matrix is not positive definite

매개변수화된 행렬

매번 동일한 행렬을 사용하지 않고, 사용자가 원하는 임의의 행렬을 입력하여 Sholesky 분해를 수행할 수 있도록 코드를 수정할 수도 있다.

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
#include <stdexcept>

using namespace Eigen;

int main() {
    try {
        int n = 3; // 행렬 크기

        // 행렬 입력 받기
        MatrixXd mat(n, n);
        std::cout << "Enter a " << n << "x" << n << " matrix:\n";
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            for (int j = 0; j < n; ++j)
                std::cin >> mat(i, j);

        // Sholesky 분해 수행
        LLT<MatrixXd> llt(mat);
        if (llt.info() == NumericalIssue) {
            throw std::runtime_error("Matrix is not positive definite");
        }
        MatrixXd L = llt.matrixL();

        // 결과 출력
        std::cout << "The matrix L is:\n" << L << std::endl;
        std::cout << "Verification (L * L^T):\n" << L * L.transpose() << std::endl;
    } catch (const std::exception& e) {
        std::cerr << "Exception caught: " << e.what() << std::endl;
    }

    return 0;
}

코드 설명

1. 사용자 입력
   행렬 크기와 요소를 사용자로부터 입력받아 $\mathbf{A}$를 동적으로 생성한다.

2. Sholesky 분해 수행 및 검증
   사용자 입력을 바탕으로 Sholesky 분해를 수행하고, 결과를 출력 및 검증한다.

종합 예제

다음은 3x3 행렬을 사용자로부터 입력받아 Sholesky 분해를 수행하고, 예외 처리 및 검증을 포함한 전체 코드를 보여준다.

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
#include <stdexcept>

using namespace Eigen;

int main() {
    try {
        int n = 3;  // 행렬 크기

        // 행렬 입력 받기
        MatrixXd mat(n, n);
        std::cout << "Enter a " << n << "x" << n << " matrix:\n";
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            for (int j = 0; j < n; ++j)
                std::cin >> mat(i, j);

        // Sholesky 분해 수행
        LLT<MatrixXd> llt(mat);
        if (llt.info() == NumericalIssue) {
            throw std::runtime_error("Matrix is not positive definite");
        }
        MatrixXd L = llt.matrixL();

        // 결과 출력
        std::cout << "The matrix L is:\n" << L << std::endl;
        std::cout << "Verification (L * L^T):\n" << L * L.transpose() << std::endl;
    } catch (const std::exception& e) {
        std::cerr << "Exception caught: " << e.what() << std::endl;
    }

    return 0;
}

이 예제는 사용자가 3x3 행렬을 입력하고, Sholesky 분해를 수행하여 결과를 출력 및 검증하는 전체 과정을 보여준다.