Sholesky 분해의 실제 예시

3x3 행렬의 예시

Sholesky 분해는 대칭 행렬에 대해 매우 유용한 분해 방식이다. 여기에서는 3x3 대칭 행렬을 예로 들어 Sholesky 분해를 어떻게 수행하는지 자세히 살펴보겠다.

예제 행렬 설정

다음과 같은 3x3 대칭 행렬 $\mathbf{A}$ 를 고려한다:

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 4 & 12 & -16 \\ 12 & 37 & -43 \\ -16 & -43 & 98 \end{pmatrix}$

이제 이 행렬 $\mathbf{A}$ 를 Cholesky 분해하여 $\mathbf{L}\mathbf{L}^\mathsf{T}$ 의 형태로 표현해 보자. 여기서 $\mathbf{L}$ 은 아래 삼각 행렬이다.

분해 과정

첫 번째 행과 열을 사용한 요소 계산:

먼저, $L_{11}$ 값을 계산한다.

$L_{11}^2 = A_{11} \implies L_{11} = \sqrt{4} = 2$

따라서,

$L_{11} = 2$

다음으로, $L_{21}$ 과 $L_{31}$ 값을 계산한다:

$L_{21} = \frac{A_{21}}{L_{11}} = \frac{12}{2} = 6$

$L_{31} = \frac{A_{31}}{L_{11}} = \frac{-16}{2} = -8$

두 번째 행과 열을 사용한 요소 계산:

다음으로, 두 번째 행에서 $L_{22}$ 값을 계산한다:

$L_{22}^2 = A_{22} - L_{21}^2 = 37 - 6^2 = 37 - 36 = 1 \implies L_{22} = \sqrt{1} = 1$

따라서,

$L_{22} = 1$

마지막으로, $L_{32}$ 값을 계산한다:

$L_{32} = \frac{A_{32} - L_{31}L_{21}}{L_{22}} = \frac{-43 - (-8)(6)}{1} = \frac{-43 + 48}{1} = 5$

세 번째 행과 열을 사용한 요소 계산:

마지막으로, 세 번째 행에서 $L_{33}$ 값을 계산한다:

$L_{33}^2 = A_{33} - L_{31}^2 - L_{32}^2 = 98 - (-8)^2 - 5^2 = 98 - 64 - 25 = 9 \implies L_{33} = \sqrt{9} = 3$

따라서,

$L_{33} = 3$

최종 행렬

이제 행렬 $\mathbf{L}$ 의 모든 요소가 구해졌으므로, 최종적인 행렬 $\mathbf{L}$ 은 다음과 같다:

$\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 6 & 1 & 0 \\ -8 & 5 & 3 \end{pmatrix}$

그리고 $\mathbf{A}$ 는 $\mathbf{L}\mathbf{L}^\mathsf{T}$ 형태로 정확히 분해된다.

Sholesky 분해의 검증

이제 얻은 $\mathbf{L}$ 행렬을 이용해 $\mathbf{A}$ 이 정말로 $\mathbf{L}\mathbf{L}^\mathsf{T}$ 의 형태로 분해될 수 있는지 확인해보겠다:

$\mathbf{L}^\mathsf{T} = \begin{pmatrix} 2 & 6 & -8 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

따라서,

$\mathbf{L}\mathbf{L}^\mathsf{T} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 6 & 1 & 0 \\ -8 & 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 6 & -8 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

직접 곱셈을 해보면:

$\mathbf{L}\mathbf{L}^\mathsf{T} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 & 2 \cdot 6 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & 2 \cdot -8 + 0 \cdot 5 + 0 \cdot 3 \\ 6 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 & 6 \cdot 6 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & 6 \cdot -8 + 1 \cdot 5 + 0 \cdot 3 \\ -8 \cdot 2 + 5 \cdot 0 + 3 \cdot 0 & -8 \cdot 6 + 5 \cdot 1 + 3 \cdot 0 & -8 \cdot -8 + 5 \cdot 5 + 3 \cdot 3 \end{pmatrix}$

이를 계산하면:

$\mathbf{L}\mathbf{L}^\mathsf{T} = \begin{pmatrix} 4 & 12 & -16 \\ 12 & 37 & -43 \\ -16 & -43 & 98 \end{pmatrix}$

분명히 이것은 원래의 행렬 $\mathbf{A}$ 와 일치한다. 따라서, $\mathbf{L}$ 행렬은 정확히 계산되었음을 알 수 있다.

이로써 Cholesky 분해는 성공적으로 수행되었다. 이 예제는 3x3 행렬을 사용했지만, 동일한 방법을 더 큰 대칭 행렬에 적용할 수 있다. 대칭 행렬에서 Cholesky 분해는 매우 효율적으로 이루어지며, 특히 선형 대수학에서 신뢰성 있는 수치 해법을 제공하는 데 중요한 도구이다.