2x2 행렬의 예시
Sholesky 분해는 대칭 행렬이 주어졌을 때, 이를 하삼각 행렬의 곱으로 나타내는 방법이다. 예를 들어, 다음과 같은 2 \times 2 대칭 행렬 \mathbf{A}를 고려해 봅시다.
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a & b \\
b & d
\end{pmatrix}
Sholesky 분해는 이 행렬 \mathbf{A}를 다음과 같이 하삼각 행렬 \mathbf{L}과 그의 전치 행렬 \mathbf{L}^T의 곱으로 나타내는 것이다.
\mathbf{L} = \begin{pmatrix}
l_{11} & 0 \\
l_{21} & l_{22}
\end{pmatrix}
우리는 \mathbf{A} = \mathbf{L} \mathbf{L}^T이라는 관계식을 통해 \mathbf{L}의 원소를 구할 수 있다. 이를 위해 우선 \mathbf{L}^T를 구한다.
\mathbf{L}^T = \begin{pmatrix}
l_{11} & l_{21} \\
0 & l_{22}
\end{pmatrix}
이제 \mathbf{L} \mathbf{L}^T를 계산한다.
\mathbf{L} \mathbf{L}^T = \begin{pmatrix}
l_{11} & 0 \\
l_{21} & l_{22}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
l_{11} & l_{21} \\
0 & l_{22}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
l_{11}^2 & l_{11} l_{21} \\
l_{21} l_{11} & l_{21}^2 + l_{22}^2
\end{pmatrix}
이 결과를 원래 행렬 \mathbf{A}와 같다고 놓고 비교하여 해를 구한다.
\begin{pmatrix}
a & b \\
b & d
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
l_{11}^2 & l_{11} l_{21} \\
l_{21} l_{11} & l_{21}^2 + l_{22}^2
\end{pmatrix}
각 원소를 비교하면 다음과 같은 연립 방정식을 얻을 수 있다.
\begin{cases}
l_{11}^2 = a \\
l_{11} l_{21} = b \\
l_{21}^2 + l_{22}^2 = d
\end{cases}
첫 번째 식에서 l_{11}을 구할 수 있다.
l_{11} = \sqrt{a}
두 번째 식에서 l_{21}을 구한다.
l_{21} = \frac{b}{l_{11}} = \frac{b}{\sqrt{a}}
마지막으로 세 번째 식에서 l_{22}을 구한다.
l_{22} = \sqrt{d - l_{21}^2} = \sqrt{d - \left(\frac{b}{\sqrt{a}}\right)^2} = \sqrt{d - \frac{b^2}{a}}
이로써 \mathbf{L}을 구할 수 있다.
\mathbf{L} = \begin{pmatrix}
\sqrt{a} & 0 \\
\frac{b}{\sqrt{a}} & \sqrt{d - \frac{b^2}{a}}
\end{pmatrix}
따라서 \mathbf{A}의 Sholesky 분해는 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.
\mathbf{A} = \mathbf{L} \mathbf{L}^T = \begin{pmatrix}
\sqrt{a} & 0 \\
\frac{b}{\sqrt{a}} & \sqrt{d - \frac{b^2}{a}}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\sqrt{a} & \frac{b}{\sqrt{a}} \\
0 & \sqrt{d - \frac{b^2}{a}}
\end{pmatrix}
여기까지가 2x2 행렬을 이용한 Sholesky 분해의 예시 설명이다.