근사치 오차

Sholesky 분해 알고리즘은 수치적 방식이므로 연산 과정에서 근사치 오차가 발생할 수 있다. 이러한 오차는 주로 부동 소수점 연산에서 발생하며, 계산의 정확성을 저하시킬 수 있다. 특히, 매우 작은 수나 큰 수를 다룰 때 문제가 더 크게 발생한다.

분해의 고유한 특성

Sholesky 분해에서는 입력 행렬 $\mathbf{A}$가 대칭 양변행렬 (Positive Definite Matrix)이어야 한다. 만약 입력 행렬이 이 특성을 만족하지 않는다면, 이는 결국 연산의 정확성 문제를 야기하고, 알고리즘이 실패하게 된다.

반올림 오차

수학적으로는 문제가 없지만, 컴퓨터 연산에서는 반올림 오차가 문제를 야기할 수 있다. 이는 특히, 긴 소수점 아래의 연산일 경우 문제가 된다. 일반적으로 다음과 같은 형태로 표현된다:

여기서 $\mathbf{L}$은 하삼각행렬이다. 각 단계의 계산이 누적되면서 반올림 오차도 누적될 가능성이 있다.

분해 전 행렬 조건수

행렬의 조건수(Condition Number)가 매우 높으면, Sholesky 분해 과정에서 불안정성이 발생할 가능성이 크다. 조건수는 행렬의 고유값의 비율을 나타내며, 조건수가 높을수록 분해 결과의 불안정성이 커진다. 조건수가 $\kappa(\mathbf{A})$로 표현된다면, 이는 다음과 같이 계산된다:

대각 원소의 제곱근 계산

Sholesky 분해 알고리즘에서는 대각 원소의 제곱근을 계산하는 과정이 포함된다. 이때 대각 원소 값이 매우 작거나 매우 크면 제곱근 계산 시 추가적인 불안정성이 발생할 수 있다.

하삼각행렬의 조건 유지

Sholesky 분해 목적 중 하나는 하삼각행렬의 조건 유지이다. 즉, 연산 과정에서 하삼각행렬 $\mathbf{L}$의 성질이 유지되도록 하는 것이다. 이 과정이 제대로 이루어지지 않으면 분해 결과가 잘못될 수 있다.

행렬의 재축소

조건수가 높은 행렬에 대한 분해를 안정적으로 수행하기 위해, 행렬의 재축소(Rescaling 또는 Preconditioning) 방법을 사용할 수 있다. 행렬 $\mathbf{A}$를 다음과 같이 재축소할 수 있다:

여기서 $\mathbf{D}$는 $\mathbf{A}$의 대각 행렬이다. 이렇게 하면 조건수가 개선될 수 있다.

Cholesky 수정

어떤 경우에는 기존 Cholesky 분해를 개선한 수정 된 Cholesky 알고리즘을 사용할 수 있다. 예를 들어, 대각 행 벡터를 다루는 LDLT 분해나 작은 값을 다루는 경우의 박스 결합된 분해 등이 있다.

정확한 계산을 위한 패키지 사용

수치적 안정성을 보장하기 위해 특수한 컴퓨터 패키지 또는 라이브러리 (예: LAPACK, Eigen, Armadillo 등)을 사용하는 것도 좋은 방법이다. 이러한 패키지들은 수치적 안정성을 보장하는 매우 최적화된 알고리즘을 포함하고 있다.

--- 및 정리

Sholesky 분해는 선형 연립 방정식의 해결이나, 행렬의 역행렬 계산 등 다양한 응용에서 유용하게 사용된다. 따라서, 알고리즘의 안정성을 확보하는 것이 매우 중요하다. 계산의 안정성을 보장하기 위해 수치적 방법을 활용하거나, 특수한 패키지를 사용하는 것이 중요하다.

장점과 단점

장점

• 계산 효율: Sholesky 분해는 $\mathbf{A}$가 대칭 양변행렬일 경우 매우 효율적이다.
• 정확성: 부적절한 조건을 제외하고는 일반적으로 좋은 정확성을 가진다.
• 간단한 구현: 상대적으로 다른 분해법에 비해서 코드 구현이 단순하다.

단점

• 수치적 안정성: 조건수가 높은 행렬에서는 수치적 불안정성이 발생할 수 있다.
• 제약 조건: 입력 행렬이 반드시 대칭 양변행렬이어야 한다는 제약사항이 있다.
• 반올림 오차: 연산 과정에서 가까운 값의 반올림 오차가 누적될 수 있다.

Sholesky 분해 알고리즘을 사용할 때 이러한 장점과 단점을 이해하고, 적절한 대책을 수립하는 것이 계산의 정확성과 안정성을 확보하는 데 매우 중요하다.