알고리즘의 계산 복잡도

계산 복잡도 분석

Cholesky 분해 알고리즘의 계산 복잡도는 주로 행렬의 크기, 즉 행렬의 차원에 따라 달라진다. 일반적으로, $\mathbf{A}$ 가 $n \times n$ 크기의 대칭 양의 정부호 행렬이라고 할 때, Cholesky 분해 알고리즘은 다음과 같은 단계로 이루어진다:

대각 성분 계산: $L_{ii} = \sqrt{A_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} L_{ik}^2}$
비대각 성분 계산: $L_{ij} = \frac{1}{L_{ii}} \left( A_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1} L_{ik} L_{jk} \right)$ , $j > i$

각 단계를 자세히 살펴보고 실제 연산의 수를 세어보면, 대각 성분 계산과 비대각 성분 계산 각각의 연산 비용을 합산하여 전체 복잡도를 도출할 수 있다.

개별 연산 단계의 복잡도

대각 성분 계산

대각 성분 $L_{ii}$ 를 계산하기 위해 $A_{ii}$ 에서 이전 단계에서 계산된 값들의 제곱의 합을 뺀 후 제곱근을 구한다. 이 단계에서 필요한 연산의 수는 다음과 같다: 1. 덧셈/뺄셈: $\sum_{k=1}^{i-1}$ 연산으로 약 $i-1$ 번 2. 제곱 연산: $(L_{ik}^2)$ 연산으로 약 $i-1$ 번 3. 제곱근 연산: 1번

따라서 대각 성분 계산의 복잡도는 $O(i)$ 이다.

비대각 성분 계산

비대각 성분 $L_{ij}$ 를 계산하기 위해서는 $i$ 에서 $j$ 까지 각 성분에 대해 필요한 연산을 수행한다. 이 단계에서 복잡도는 다음과 같다: 1. 덧셈/뺄셈: $\sum_{k=1}^{i-1}$ 연산으로 약 $i-1$ 번 2. 곱셈: $L_{ik} \times L_{jk}$ 연산으로 약 $i-1$ 번 3. 나눗셈: 1번

따라서 비대각 성분 계산의 복잡도는 $O(i)$ 이다.

전체 계산 복잡도

Cholesky 분해 알고리즘은 $n \times n$ 행렬의 모든 성분을 채우기 위해 위 단계를 반복 수행하게 된다. 각 성분을 $i$ 와 $j$ 를 기준으로 보면, 총 $n(n+1)/2$ 개의 성분을 계산해야 한다. 이를 종합하여 계산 복잡도를 분석한다.

대각 성분 계산:
- 총 $n$ 개의 대각 성분 각각에 대해 $O(i)$ 연산 필요.
- 복잡도: $\sum_{i=1}^n O(i) = O\left( \sum_{i=1}^n i \right) = O\left( \frac{n(n+1)}{2} \right) = O(n^2)$
비대각 성분 계산:
- 총 $n(n-1)/2$ 개의 비대각 성분 각각에 대해 $O(i)$ 연산 필요.
- 복잡도: $\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n O(i) = O\left( \sum_{i=1}^{n-1} i(n-i) \right) = O\left( \frac{n(n-1)(n+1)}{6} \right) = O(n^3)$

종합적으로 Cholesky 분해 알고리즘의 계산 복잡도는 $O(n^3)$ 이다.

공간 복잡도 분석

Cholesky 분해 알고리즘의 공간 복잡도는 주로 행렬 $\mathbf{A}$ 와 결과 행렬 $\mathbf{L}$ 의 크기에 의해 결정된다. 공간 복잡도를 분석할 때, 행렬의 크기 $n \times n$ 와 사용되는 추가적인 메모리를 고려한다.

입력 행렬 ( $\mathbf{A}$ )의 메모리 요구 사항

입력 행렬 $\mathbf{A}$ 는 $n \times n$ 크기의 행렬이다. 따라서 필요한 메모리 공간은 $O(n^2)$ 이다.

출력 행렬 ( $\mathbf{L}$ )의 메모리 요구 사항

출력 행렬 $\mathbf{L}$ 역시 $n \times n$ 크기의 하삼각 행렬이다. 그러나 대칭 행렬인 $\mathbf{A}$ 의 특성상 $\mathbf{L}$ 도 동일한 크기를 갖게 된다. 결과적으로, 메모리 공간 필요량은 $O(n^2)$ 이다.

추가 메모리 공간

Cholesky 분해는 주로 입력 행렬과 출력 행렬만을 사용하여 연산을 수행하며, 별도의 중간 데이터 구조(예: 대각 성분, 비대각 성분 계산을 위한 변수)를 거의 사용하지 않는다. 따라서 추가적인 메모리 요구 사항은 상수로 간주, 즉 $O(1)$ 이다.

전체 공간 복잡도

입력 행렬, 출력 행렬 및 추가적인 상수 메모리 공간을 모두 고려했을 때, 전체 공간 복잡도는 다음과 같이 정리할 수 있다:

$O(n^2) + O(n^2) + O(1) = O(n^2)$

따라서 Cholesky 분해 알고리즘의 전체 공간 복잡도는 $O(n^2)$ 이다.

Cholesky 분해 알고리즘의 전체 계산 복잡도는 $O(n^3)$ 이며, 공간 복잡도는 $O(n^2)$ 이다. 이로 인해 이 알고리즘은 큰 $n$ 값에 대해 효율적으로 입력 데이터를 나누고 작은 $n$ 값에 대해서도 빠르게 계산할 수 있는 장점이 있다.

응용 및 최적화

Cholesky 분해는 SPD 행렬의 특성을 활용하여 다양한 문제 해결에 사용된다. 예를 들어, 선형 방정식 $\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$ 의 해를 구하는 과정에서 Cholesky 분해는 매우 유용하다. 이는 계산 비용을 크게 줄이며, 수치적 안정성도 높은 편이다.

최적화를 위해 다음과 같은 방법들이 사용된다: 1. 병렬 처리: 행렬 분해 작업을 여러 프로세서에서 병렬로 수행하여 계산 시간을 단축시킨다. 2. 메모리 최적화: 대각 성분 및 비대각 성분의 계산 과정을 개선하여 불필요한 메모리 사용을 줄이고, 캐시 효율성을 높인다. 3. 고성능 연산 라이브러리 활용: LAPACK, BLAS 등의 고성능 수치 연산 라이브러리를 사용하여 최적화된 행렬 연산을 수행한다.