양의 정부호 행렬의 조건

양의 정부호 행렬은 다양한 영역에서 중요한 역할을 한다. 이를 이해하기 위해서는 몇 가지 기본 조건을 만족해야 한다. 이러한 조건들은 행렬의 특성 값을 통해 확인할 수 있다.

정의

행렬 $\mathbf{A}$ 가 양의 정부호이려면, 다음 조건을 만족해야 한다. 1. $\mathbf{A}$ 는 대칭 행렬이어야 한다: $\mathbf{A} = \mathbf{A}^\top$ 2. 임의의 비가속 벡터 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ 에 대해 $\mathbf{x}^\top \mathbf{A} \mathbf{x} > 0$ 이 성립해야 한다.

특성값

양의 정부호 행렬 $\mathbf{A}$ 의 특성값 $\lambda$ 는 모두 양수이어야 한다. 즉,

$\lambda > 0, \quad \forall \lambda \in \text{Eig}(\mathbf{A})$

주행렬식

또 다른 중요한 조건은 주행렬식 조건이다. 주행렬식(cofactor matrix)들은 모두 양수여야 한다. $\mathbf{A}$ 를 $n \times n$ 행렬이라 할 때, 다음이 성립한다.

$\mathbf{A}$ 의 첫 번째 주행렬식이 양수여야 한다: $\det(\mathbf{A}_1) > 0$
두 번째 주행렬식이 양수여야 한다: $\det(\mathbf{A}_2) > 0$
...
$n$ 번째 주행렬식이 양수여야 한다: $\det(\mathbf{A}_n) > 0$

여기서 $\mathbf{A}_k$ 는 $k \times k$ 크기의 $\mathbf{A}$ 의 상위 왼쪽 블록 행렬(submatrix)이다.

직교성

추가적으로, 양의 정부호 행렬은 정규 행렬이며 대각화 가능한다. 이러한 성질은 다음과 같이 설명된다:

$\mathbf{A} = \mathbf{Q} \mathbf{D} \mathbf{Q}^\top$

여기서: - $\mathbf{Q}$ 는 직교 행렬 (orthogonal matrix)로 $\mathbf{Q}^\top \mathbf{Q} = \mathbf{I}$ - $\mathbf{D}$ 는 대각행렬 (diagonal matrix)로 대각성분들은 모두 양수

예제

다음은 양의 정부호 행렬의 예제이다.

예제 1: 간단한 2x2 행렬

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

이 행렬이 양의 정부호인지 확인해 보자.

대칭성: $\mathbf{A} = \mathbf{A}^\top$ 이므로 대칭 행렬이다.
특성값: 특성 방정식 $\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0$ 을 풀어보겠다.

$\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)(3-\lambda) - 1 = \lambda^2 - 5\lambda + 5 = 0$

이 방정식의 두 근은 양수이다 ( $\lambda_1 = 4.24, \lambda_2 = 0.76$ ). 따라서, 이 행렬은 양의 정부호이다.

예제 2: 3x3 행렬

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

이 행렬 또한 양의 정부호인지 확인해 보자.

대칭성: $\mathbf{A}$ 는 대칭 행렬이다.
특성값: 특성 방정식 $\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0$ 을 풀면 된다.

$\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & -1 & 0 \\ -1 & 2-\lambda & -1 \\ 0 & -1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)((2-\lambda)(2-\lambda) - (-1)(-1)) - (-1)(-1)(2-\lambda) = (\lambda^3 - 6\lambda^2 + 9\lambda - 4)$

이 방정식의 세 근이 모두 양수이므로, 이 행렬 또한 양의 정부호이다.

양의 정부호 행렬은 다양하게 활용된다. 이를 확인하기 위한 주요 조건은 다음과 같다: 1. 대칭 행렬인가? 2. 모든 특성값이 양수인가? 3. 주행렬식들이 모두 양수인가?

이 조건들을 만족하면, 해당 행렬은 양의 정부호 행렬로 간주된다.