행렬의 기본 성질

행렬은 수학에서 벡터 공간의 선형 변환을 나타내는 중요한 도구 중 하나로, 다양한 성질을 가지고 있다. 이 절에서는 행렬의 기본 성질을 다루며, 주로 다음 내용을 포함한다:

1. 행렬의 정의 및 표기법

행렬(Matrix)은 숫자, 기호, 또는 표현식들을 직사각형 배열로 나타낸 것이다. 일반적으로 행렬은 대문자 $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$, $\mathbf{C}$ 등으로 표기하며, 행렬 $\mathbf{A}$의 성분은 소문자 $a_{ij}$로 나타낸다.

행렬 $\mathbf{A}$는 $m \times n$ 크기를 가지며, 이는 $m$개의 행(row)과 $n$개의 열(column)을 의미한다. $$ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} $$

2. 행렬의 덧셈과 뺄셈

같은 크기의 두 행렬 $\mathbf{A}$와 $\mathbf{B}$는 각 성분끼리 더하거나 뺄 수 있다. $$ \mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} \text{ where } c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} $$ $$ \mathbf{D} = \mathbf{A} - \mathbf{B} \text{ where } d_{ij} = a_{ij} - b_{ij} $$

3. 행렬의 곱셈

행렬 곱셈은 두 행렬 $\mathbf{A}$와 $\mathbf{B}$의 성분을 내적(inner product)하여 계산한다. $\mathbf{A}$는 $m \times n$ 크기를 가지고, $\mathbf{B}$는 $n \times p$ 크기를 가질 때, 결과 행렬 $\mathbf{C} = \mathbf{A} \mathbf{B}$는 $m \times p$ 크기를 갖는다. $$ \mathbf{C} = \mathbf{A} \mathbf{B} \text{ where } c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj} $$

4. 단위 행렬

단위 행렬(Identity Matrix)는 대각선 성분이 모두 1이고 나머지 성분이 0인 정사각 행렬이다. 단위 행렬 $\mathbf{I}$는 다음과 같이 나타낸다: $$ \mathbf{I}_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 1 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} $$

5. 전치 행렬

행렬 $\mathbf{A}$의 전치 행렬(Transpose Matrix)은 $\mathbf{A}$의 행과 열을 바꾼 것으로 정의된다. 이를 $\mathbf{A}^T$로 표기한다. $$ (\mathbf{A}^T){ij} = a{ji} $$

6. 역행렬

정사각 행렬 $\mathbf{A}$에 대해, 만약 $\mathbf{A} \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{A} = \mathbf{I}$를 만족시키는 행렬 $\mathbf{A}^{-1}$가 존재하면 이를 $\mathbf{A}$의 역행렬(Inverse Matrix)이라 한다. 역행렬은 다음과 같은 성질을 갖는다: $$ (\mathbf{A} \mathbf{B})^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \mathbf{A}^{-1} $$

7. 대각행렬

대각행렬(Diagonal Matrix)은 대각선 성분 외의 모든 성분이 0인 행렬이다. 대각행렬 $\mathbf{D}$는 다음과 같은 형태로 나타낸다: $$ \mathbf{D} = \begin{pmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & d_2 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & d_n \end{pmatrix} $$

8. 삼각행렬

삼각행렬은 성분 중 일부가 0으로 채워져 있는 행렬로, 상삼각행렬과 하삼각행렬로 크게 두 가지로 구분된다.

상삼각행렬 (Upper Triangular Matrix)

상삼각행렬은 모든 행 성분이 0이 되지 않는다: $$ \mathbf{U} = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1n} \ 0 & u_{22} & \cdots & u_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & u_{nn} \end{pmatrix} $$

하삼각행렬 (Lower Triangular Matrix)

하삼각행렬은 모든 열 성분이 0이 되지 않는다: $$ \mathbf{L} = \begin{pmatrix} l_{11} & 0 & \cdots & 0 \ l_{21} & l_{22} & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ l_{n1} & l_{n2} & \cdots & l_{nn} \end{pmatrix} $$

9. 행렬식

행렬식(determinant)은 행렬의 유일한 scalar 값을 의미하며, 정사각 행렬에 대해 정의된다. 주요 성질은 다음과 같다:

• $\det(\mathbf{A} \mathbf{B}) = \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{B})$
• $\det(\mathbf{A}^T) = \det(\mathbf{A})$
• $\det(\mathbf{A}^{-1}) = \frac{1}{\det(\mathbf{A})}$

행렬 $\mathbf{A}$의 행렬식을 일반적으로 $|\mathbf{A}|$ 또는 $\det(\mathbf{A})$로 표기한다.

선형 변환의 기초

행렬은 벡터 공간에서 선형 변환을 수행하는 도구로 사용된다. 이 절에서는 선형 변환의 기본 개념을 다루며 주요 내용을 다음과 같이 설명한다:

1. 선형 변환의 정의

선형 변환(Linear Transformation)은 두 벡터 공간 사이의 변환으로, 다음 두 성질을 만족하는 변환 $\mathbf{T}$를 의미한다:

1. 스칼라 곱과의 호환성: $$ \mathbf{T}(c\mathbf{x}) = c\mathbf{T}(\mathbf{x}) \text{ for any scalar } c $$

2. 벡터 합과의 호환성: $$ \mathbf{T}(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \mathbf{T}(\mathbf{x}) + \mathbf{T}(\mathbf{y}) \text{ for any vectors } \mathbf{x}, \mathbf{y} $$

2. 행렬과 선형 변환

행렬 $\mathbf{A}$는 $\mathbb{R}^n$에서 $\mathbb{R}^m$로의 선형 변환을 표현할 수 있다. 벡터 $\mathbf{x}$를 행렬 $\mathbf{A}$로 변환한 결과는 $\mathbf{A}\mathbf{x}$이다.

3. 표준 기저와 행렬 표현

기저는 벡터 공간을 생성하는 벡터들의 집합을 의미하며, 표준 기저는 벡터 공간에서 가장 기본적인 기저이다. 행렬을 통해 선형 변환을 표현할 때 기저의 선택이 중요하다. 표준 기저를 이용하면 행렬의 각 열은 변환 후의 기저 벡터를 나타낸다.

유한 차원 벡터 공간의 기초

유한 차원 벡터 공간에서는 기저와 차원 등의 개념이 중요하다. 이 절에서는 벡터 공간의 기초 개념을 다룬다.

1. 기저와 차원

벡터 공간 $\mathbb{V}$의 기저는 그 공간의 모든 벡터를 일으킬 수 있는 선형 독립 벡터들의 집합이다. 기저 벡터들의 개수를 벡터 공간의 차원이라고 한다.

2. 선형 독립성과 종속성

벡터가 선형 독립이라면, 어떤 벡터도 다른 벡터들의 선형 결합으로 표현될 수 없다. 반면, 선형 종속이라면 한 벡터를 다른 벡터들의 선형 결합으로 표현할 수 있다.