대각행렬과 단위행렬 - 실험 도서관

대각행렬 (Diagonal Matrix)

대각행렬은 행렬의 대각 성분이 아닌 나머지 모든 성분이 0인 특별한 형태의 행렬이다. 이러한 행렬은 다음과 같은 형태로 정의된다.

$\mathbf{D} = \begin{pmatrix} d_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & d_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & d_n \end{pmatrix}$

여기서 $\mathbf{D}$ 는 $n \times n$ 크기의 대각행렬이다. 대각 성분인 $d_1, d_2, \dots, d_n$ 은 일반적으로 실수 또는 복소수일 수 있다. 나머지 비대각 성분들은 모두 0이다.

대각행렬의 성질

대각행렬의 곱셈
두 대각행렬 $\mathbf{D}_1$ 과 $\mathbf{D}_2$ 의 곱은 다음과 같이 계산된다.

$\mathbf{D}_1 \mathbf{D}_2 = \begin{pmatrix} d_1^{(1)} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_2^{(1)} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_n^{(1)} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d_1^{(2)} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_2^{(2)} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_n^{(2)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_1^{(1)} d_1^{(2)} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_2^{(1)} d_2^{(2)} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_n^{(1)} d_n^{(2)} \end{pmatrix}$

이는 각 대각 성분들끼리의 곱으로 이루어진 또 다른 대각행렬이다. 대각행렬 간의 곱은 매우 간단하게 계산되며, 다른 비대각 성분들이 모두 0이므로 계산 복잡도가 크게 줄어든다.

대각행렬의 거듭제곱
대각행렬 $\mathbf{D}$ 의 거듭제곱은 대각 성분들을 각각 거듭제곱한 결과로 나타난다.

$\mathbf{D}^k = \begin{pmatrix} d_1^k & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_2^k & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_n^k \end{pmatrix}$

이는 일반적인 행렬의 거듭제곱보다 훨씬 쉽게 계산되며, 대각행렬의 성질을 잘 보여준다.

대각행렬의 역행렬
대각행렬 $\mathbf{D}$ 이 가역행렬이려면, 즉 역행렬이 존재하려면 대각 성분들이 모두 0이 아니어야 한다. 이러한 경우, $\mathbf{D}$ 의 역행렬은 다음과 같이 각 대각 성분의 역수로 이루어진다.

$\mathbf{D}^{-1} = \begin{pmatrix} d_1^{-1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_2^{-1} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_n^{-1} \end{pmatrix}$

여기서 $d_i^{-1}$ 는 $d_i$ 의 역수이다. 즉, $d_i \neq 0$ 이어야만 $\mathbf{D}^{-1}$ 이 정의된다.

단위행렬 (Identity Matrix)

단위행렬은 대각 성분이 모두 1이고, 나머지 성분은 0인 특별한 형태의 대각행렬이다. 이를 $\mathbf{I}$ 로 나타내며, 다음과 같은 형태를 갖는다.

$\mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$

단위행렬은 모든 크기의 정방행렬에 대해 정의될 수 있으며, $n \times n$ 단위행렬을 $\mathbf{I}_n$ 로 나타낸다. 단위행렬의 주요 특성 중 하나는 임의의 $n \times n$ 행렬 $\mathbf{A}$ 에 대해 다음 성질을 만족한다는 것이다.

$\mathbf{I}_n \mathbf{A} = \mathbf{A} \mathbf{I}_n = \mathbf{A}$

즉, 단위행렬과의 곱은 원래의 행렬을 변화시키지 않는다. 이는 스칼라 값에서 1과 같은 역할을 한다고 볼 수 있다.

단위행렬의 성질

역행렬
단위행렬의 역행렬은 자신과 같다. 즉,

$\mathbf{I}^{-1} = \mathbf{I}$

곱셈 항등원
앞서 언급했듯이, 단위행렬은 모든 행렬 곱셈에서 항등원의 역할을 한다. 임의의 행렬 $\mathbf{A}$ 에 대해, $\mathbf{I} \mathbf{A} = \mathbf{A} \mathbf{I} = \mathbf{A}$ 이다.
대각행렬의 특수한 경우
단위행렬은 모든 대각 성분이 1인 특별한 대각행렬로 볼 수 있으며, 따라서 대각행렬의 모든 성질을 만족한다.

단위행렬의 대각화 가능성

단위행렬은 이미 대각 형태로 주어져 있으므로, 대각화 문제에 있어서 단위행렬은 특별한 경우로 다룰 수 있다. 일반적으로, 대각화는 주어진 행렬을 대각 성분만 남기고 나머지 요소들을 0으로 만드는 작업이지만, 단위행렬은 모든 대각 성분이 이미 1이기 때문에 더 이상의 대각화가 필요 없다. 즉, 단위행렬은 자기 자신이 대각행렬로, 고유값과 고유벡터로 표현할 수 있다.

단위행렬 $\mathbf{I}_n$ 의 고유값들은 모두 1이다. 이를 고유값 방정식을 통해 확인할 수 있다. 행렬 $\mathbf{I}_n$ 의 고유값 $\lambda$ 는 다음 방정식을 만족한다.

$\det(\mathbf{I}_n - \lambda \mathbf{I}_n) = 0$

이를 풀면,

$\det((1 - \lambda) \mathbf{I}_n) = 0$

따라서 고유값 $\lambda = 1$ 이 $n$ 번 중복되어 나타난다.

대각행렬과 단위행렬의 연관성

대각행렬과 단위행렬은 밀접한 관련이 있다. 단위행렬은 모든 대각 성분이 1인 특별한 대각행렬이며, 대각행렬의 특수한 경우로 볼 수 있다. 이 둘은 여러 수학적 연산에서 중요한 역할을 한다.

대각행렬의 단위행렬과의 곱
대각행렬 $\mathbf{D}$ 와 단위행렬 $\mathbf{I}_n$ 의 곱은 원래의 대각행렬 $\mathbf{D}$ 를 그대로 반환한다. 즉,

$\mathbf{D} \mathbf{I}_n = \mathbf{I}_n \mathbf{D} = \mathbf{D}$

이는 단위행렬이 곱셈에 대한 항등원 역할을 한다는 것을 나타내며, 대각행렬의 성질을 보존한다.

대각행렬의 고유값과 단위행렬
대각행렬 $\mathbf{D}$ 의 고유값은 행렬의 대각 성분들에 해당하며, 고유벡터는 단위행렬의 열벡터와 같은 방향을 가질 수 있다. 즉, 대각행렬은 이미 대각 형태로 주어져 있기 때문에, 그 고유벡터는 단위행렬의 열벡터와 같은 성질을 갖는다.

대각행렬과 단위행렬의 응용

대각행렬과 단위행렬은 여러 응용 분야에서 매우 유용하다. 특히 계산이 간편하며, 행렬 연산에서 복잡도를 줄이는 데 기여한다. 이를 몇 가지 예로 살펴보자.

선형변환
대각행렬은 선형변환을 매우 간단하게 표현할 수 있는 도구이다. 특히 대각행렬은 각 좌표축에 대해 독립적인 스케일링(scaling)을 수행하며, 각 좌표에 대해 별개의 상수배를 적용하는 역할을 한다.
대각화 문제
일반 행렬을 대각행렬로 변환하는 대각화(diagonalization)는 선형대수학에서 중요한 문제 중 하나이다. 이 과정에서 단위행렬은 중요한 기준점이 되며, 대각화된 행렬이 단위행렬과 곱해지면 원래의 행렬을 되돌리는 역할을 한다.
신호 처리 및 시스템 제어
대각행렬은 신호 처리, 시스템 제어 등에서 주로 사용되며, 특히 시스템의 안정성을 분석할 때 대각행렬의 고유값이 중요한 역할을 한다. 단위행렬은 시스템의 초기 상태를 정의하거나, 시스템의 기본적인 동작을 설명하는 데 자주 사용된다.