벡터 공간과 기저

벡터 공간 $V$에서 기저(basis)란 벡터 공간의 원소들 중에서 선형 독립인 벡터들의 집합으로, 이 벡터들로 벡터 공간의 모든 벡터를 표현할 수 있는 집합을 말한다. 즉, 기저는 벡터 공간 내의 벡터들을 선형 결합을 통해 표현하는 데 필수적인 벡터들의 최소 집합이다. 수학적으로, 벡터 공간 $V$의 기저 $\{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$는 다음 두 가지 조건을 만족해야 한다:

1. 선형 독립성: 기저의 벡터들은 서로 선형 독립이다. 즉, 만약

이 성립한다면, $c_1 = c_2 = \dots = c_n = 0$이어야 한다.

1. 생성: 벡터 공간의 임의의 벡터 $\mathbf{v} \in V$는 기저 벡터들의 선형 결합으로 표현될 수 있어야 한다. 즉, 임의의 $\mathbf{v} \in V$에 대해 다음과 같은 실수 $c_1, c_2, \dots, c_n$가 존재하여

가 성립한다.

차원

벡터 공간의 차원(dimension)이란 해당 벡터 공간의 기저를 구성하는 벡터들의 개수를 말한다. 기저의 크기는 벡터 공간의 차원과 동일하며, 기저의 크기는 해당 벡터 공간에서 가능한 선형 결합의 자유도를 의미한다.

차원을 이해하기 위해 예를 들어, 2차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^2$에서의 기저는 두 개의 선형 독립인 벡터로 구성된다. 이 경우 차원은 $2$가 된다. 마찬가지로, 3차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^3$에서는 세 개의 선형 독립 벡터가 기저를 이루며, 차원은 $3$이 된다.

벡터 공간 $V$의 차원은 다음과 같이 표현된다:

여기서 $n$은 $V$의 기저 벡터들의 개수이다.

기저의 성질

기저는 벡터 공간의 성질을 결정하는 중요한 역할을 한다. 기저를 선정하면, 벡터 공간의 모든 벡터를 그 기저를 기준으로 표현할 수 있기 때문이다. 기저와 관련된 중요한 성질들은 다음과 같다:

1. 기저의 유일성: 벡터 공간 $V$에 대해, $V$의 차원이 $n$일 때, $n$개의 선형 독립 벡터로 이루어진 기저는 여러 개 있을 수 있다. 그러나, 각 기저는 동일한 개수의 벡터를 가지며, 그 수는 항상 벡터 공간의 차원과 일치한다. 예를 들어, $\mathbb{R}^2$에서 $\mathbf{v}_1 = (1, 0)$과 $\mathbf{v}_2 = (0, 1)$이 기저가 될 수 있지만, $\mathbf{u}_1 = (1, 1)$과 $\mathbf{u}_2 = (-1, 1)$도 또 다른 기저가 될 수 있다. 즉, 기저는 유일하지 않지만, 모든 기저는 동일한 개수의 벡터로 이루어진다.

2. 좌표계 표현: 기저를 선택하면, 벡터 공간 $V$의 임의의 벡터 $\mathbf{v}$는 그 기저를 기준으로 좌표계 내에서 표현될 수 있다. 즉, $\mathbf{v}$를 기저 $\{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$에 대해 다음과 같이 표현할 수 있다:

여기서 $c_1, c_2, \dots, c_n$는 $\mathbf{v}$의 기저 벡터에 대한 좌표값을 나타낸다. 이를 통해 벡터를 수치적으로 다루는 것이 가능해진다. 이 좌표값들은 벡터 공간의 기준 벡터가 어떻게 정해졌느냐에 따라 달라질 수 있다.

1. 변환 행렬: 벡터 공간에서 기저가 변하면, 벡터의 좌표 표현도 달라진다. 한 기저에서 다른 기저로 변환할 때는 변환 행렬(transformation matrix)을 사용하여 변환할 수 있다. 두 기저 $\{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$와 $\{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \}$가 주어졌을 때, 임의의 벡터 $\mathbf{v}$에 대한 두 기저의 좌표 표현을 변환하기 위해 변환 행렬 $\mathbf{T}$가 존재한다:

여기서 $\mathbf{u}$는 새로운 기저에서의 벡터 표현, $\mathbf{v}$는 원래 기저에서의 벡터 표현이다. 변환 행렬 $\mathbf{T}$는 두 기저 사이의 관계를 나타내는 행렬로, 두 기저의 각 벡터 간의 선형 관계를 계산하여 얻어진다.

기저와 선형 독립성

벡터 집합 $\{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$이 선형 독립이라는 것은, 해당 벡터들의 선형 결합이 0 벡터를 만들기 위해서는 모든 계수 $c_1, c_2, \dots, c_n$이 0이어야 함을 의미한다. 다시 말해, 어떤 벡터도 다른 벡터들의 선형 결합으로 나타낼 수 없다는 뜻이다. 수식으로는 다음과 같이 표현된다:

기저는 벡터 공간을 표현할 수 있는 최소한의 집합이기 때문에, 기저의 벡터들이 선형 독립성을 갖는 것은 필수적이다. 만약 기저 벡터들 중에서 하나라도 다른 벡터들의 선형 결합으로 표현될 수 있다면, 그 벡터는 기저에서 제거될 수 있으며, 이는 기저의 정의와 모순된다.

기저의 개수와 차원

벡터 공간의 차원은 그 공간의 기저 벡터들의 개수와 항상 일치한다. 만약 벡터 공간 $V$의 차원이 $n$이라면, $n$개의 선형 독립 벡터가 존재하여 그 공간의 기저를 이룬다. 이는 다음과 같이 표현된다:

기저 벡터들의 개수는 벡터 공간의 차원을 반영하며, 이는 해당 벡터 공간에서 가능한 선형 결합의 독립적인 방향을 나타낸다.

표준 기저

표준 기저(standard basis)는 주어진 벡터 공간에서 가장 직관적인 기저의 형태를 말한다. 예를 들어, $n$차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$에서 표준 기저는 다음과 같은 벡터들로 이루어진다:

이 벡터들은 각 성분에서 하나의 좌표만 $1$이고 나머지는 $0$인 벡터들이다. $\mathbb{R}^n$의 모든 벡터는 이 표준 기저에 대해 다음과 같이 표현될 수 있다:

이때 $v_1, v_2, \dots, v_n$는 $\mathbf{v}$의 좌표값이다. 표준 기저는 해석적, 계산적 측면에서 매우 유용하며, 특히 벡터의 성분별 연산을 쉽게 할 수 있다.

기저의 확장과 축소

벡터 공간의 기저는 특정 상황에 맞게 확장하거나 축소할 수 있다. 주어진 벡터 집합에서 더 많은 선형 독립 벡터를 추가하여 기저를 확장할 수 있으며, 반대로 불필요한 벡터들을 제거하여 기저를 축소할 수 있다.

1. 기저의 확장: 만약 벡터 공간 $V$의 차원이 $n$보다 크고, $n$개보다 적은 벡터들로 이루어진 선형 독립 집합이 주어진다면, 이를 확장하여 기저를 만들 수 있다. 예를 들어, $\{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \}$가 $\mathbb{R}^3$에서 선형 독립이라면, 이를 확장하여 기저 $\{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \}$를 만들 수 있다.

2. 기저의 축소: 반대로, 주어진 벡터 집합에서 선형 종속적인 벡터가 포함된 경우, 해당 벡터를 제거하여 기저로 만들 수 있다. 예를 들어, $\mathbb{R}^2$에서 $\{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \}$이 주어졌을 때, 이들 중에서 $\mathbf{v}_3$이 $\mathbf{v}_1$과 $\mathbf{v}_2$의 선형 결합으로 표현될 수 있다면, $\mathbf{v}_3$을 제거하여 $\{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \}$를 기저로 사용할 수 있다.

기저와 연립 방정식

기저와 관련된 중요한 응용 중 하나는 연립 방정식의 해를 찾는 과정에서 나타난다. 주어진 연립 방정식을 행렬로 표현할 때, 그 해는 기저 벡터들의 선형 결합으로 나타낼 수 있다. 다음과 같은 연립 방정식이 주어졌다고 하자:

여기서 $A$는 계수 행렬, $\mathbf{x}$는 미지수 벡터, $\mathbf{b}$는 상수 벡터이다. 이때 $A$의 열벡터들이 기저를 이루는지 여부에 따라 연립 방정식의 해가 결정된다.

• 만약 $A$의 열벡터들이 선형 독립이라면, 방정식의 해는 유일하게 존재한다.
• 만약 $A$의 열벡터들이 선형 종속이라면, 해가 존재하지 않거나 무한히 많은 해가 존재할 수 있다.

이와 같은 방식으로 기저의 성질을 이용하여 연립 방정식의 해를 분석할 수 있다.

기저 변환

벡터 공간에서 한 기저에서 다른 기저로 변환할 수 있는 능력은 매우 유용하다. 특히, 선형 변환을 고려할 때, 다른 기저로 변환하면 문제를 더 간단하게 분석할 수 있는 경우가 많다.

한 벡터 공간 $V$에서 두 기저 $\{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$와 $\{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \}$가 주어졌다고 하자. 이때 벡터 $\mathbf{v}$를 $\mathbf{v}_i$ 기저로 표현한 좌표를 $\mathbf{u}_i$ 기저로 변환하고자 한다면, 변환 행렬 $\mathbf{T}$를 사용하여 다음과 같이 계산할 수 있다:

여기서 $\mathbf{T}$는 두 기저 사이의 변환을 나타내는 행렬로, 각 기저 벡터들의 상호 관계를 반영한 값들로 구성된다. 변환 행렬을 통해 한 기저에서 다른 기저로 벡터를 변환하는 것은 선형 대수학에서 자주 사용되는 방법이다.

기저와 부분공간

벡터 공간의 기저는 부분공간(subspace)에서도 동일하게 적용된다. 벡터 공간 $V$의 부분공간 $W$는 $V$ 내의 벡터들 중에서 특정한 규칙을 만족하는 벡터들의 집합으로 정의되며, $W$도 하나의 벡터 공간이므로 기저와 차원을 가질 수 있다.

부분공간 $W$의 기저는 $W$에서 선형 독립인 벡터들로 이루어진 최소 집합이며, $W$의 모든 벡터는 이 기저 벡터들의 선형 결합으로 나타낼 수 있다. 부분공간 $W$의 기저를 찾으면, 해당 부분공간을 이해하는 데 필요한 최소한의 정보가 제공된다. 부분공간의 차원은 그 기저 벡터들의 개수로 정의된다. 수학적으로, 벡터 공간 $V$의 차원이 $n$이고, 부분공간 $W$의 차원이 $k$라면 $k \leq n$을 만족해야 한다.

예를 들어, $\mathbb{R}^3$의 평면 $W$는 $\mathbb{R}^3$의 부분공간으로, 그 차원은 $2$이다. $W$의 기저는 두 개의 선형 독립 벡터 $\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2$로 구성되며, $W$ 내의 모든 벡터는 이 두 벡터의 선형 결합으로 표현될 수 있다.

기저 찾기: 가우스 소거법

벡터 공간 또는 부분공간에서 기저를 찾기 위한 중요한 방법 중 하나는 가우스 소거법(Gaussian elimination)이다. 가우스 소거법을 통해 주어진 벡터 집합에서 선형 독립인 벡터들을 찾아 기저를 구성할 수 있다.

가우스 소거법의 절차는 다음과 같다:

1. 주어진 벡터들을 행렬의 행으로 배치한다.
2. 행 기약 형태(row echelon form)로 행렬을 변환한다. 이 과정에서 피봇(pivot)을 찾아 위와 아래의 행들을 소거하는 방식으로 행렬을 정리한다.
3. 행 기약 형태에서 선형 독립인 행벡터들만을 추출한다.

이렇게 얻어진 선형 독립인 벡터들은 벡터 공간의 기저를 이룬다. 가우스 소거법은 선형 독립성을 확인하는 데 매우 유용하며, 이를 통해 기저 벡터들을 효율적으로 찾을 수 있다.

기저와 선형 변환

선형 대수학에서 중요한 개념 중 하나는 선형 변환(linear transformation)이다. 선형 변환은 하나의 벡터 공간에서 다른 벡터 공간으로의 사상(mapping)을 정의하는데, 선형 변환은 기저와 밀접하게 연관되어 있다.

선형 변환 $T: V \rightarrow W$가 주어졌을 때, $V$의 기저 $\{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$와 $W$의 기저 $\{ \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_m \}$를 통해 $T$를 행렬로 나타낼 수 있다. 즉, 선형 변환 $T$는 기저 벡터들에 대한 행렬 표현으로 바뀌며, 이는 다음과 같이 표현된다:

여기서 $A$는 $T$에 대한 변환 행렬로, $V$의 기저와 $W$의 기저 사이의 관계를 나타낸다. 이 변환 행렬을 통해 선형 변환의 성질을 분석할 수 있으며, 특히 기저를 적절히 선택하면 변환 행렬을 단순화할 수 있다.

고유벡터와 고유값

기저와 선형 변환의 관계를 이해하는 데 있어서 중요한 개념 중 하나는 고유벡터(eigenvector)와 고유값(eigenvalue)이다. 선형 변환 $T: V \rightarrow V$가 주어졌을 때, $T$가 특정 벡터 $\mathbf{v}$에 대해 다음과 같은 관계를 만족하면, $\mathbf{v}$는 $T$의 고유벡터, $\lambda$는 고유값이라고 한다:

즉, 선형 변환 $T$가 벡터 $\mathbf{v}$에 작용하여 $\mathbf{v}$의 방향은 변하지 않고 크기만 $\lambda$배 변하는 경우를 말한다. 고유벡터와 고유값은 선형 변환의 중요한 성질을 나타내며, 선형 변환을 기저에 맞추어 분석할 때 유용한 도구가 된다.

고유벡터들은 보통 선형 독립인 벡터들로 이루어지며, 이를 통해 고유벡터들이 새로운 기저를 형성할 수 있다. 이 고유벡터 기저로 표현된 선형 변환은 대각화(diagonalization)되어, 변환 행렬이 더 간단한 형태로 나타나게 된다.

직교 기저

기저의 특별한 경우로 직교 기저(orthogonal basis)가 있다. 직교 기저는 기저 벡터들 사이의 내적(inner product)이 $0$인 경우를 말한다. 즉, $\mathbf{v}_i \cdot \mathbf{v}_j = 0$ ($i \neq j$)일 때, 벡터 $\mathbf{v}_i$와 $\mathbf{v}_j$는 서로 직교한다고 한다.

직교 기저는 벡터 공간을 다루는 데 있어 매우 유용하다. 특히, 직교 기저를 이용하면 벡터의 성분을 쉽게 계산할 수 있으며, 직교 기저에서의 변환은 더욱 간단해진다. 만약 기저 벡터들이 모두 크기가 1이라면, 이를 정규 직교 기저(orthonormal basis)라고 부른다.

직교 기저의 대표적인 예는 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$에서의 표준 기저이다. $\mathbb{R}^n$에서의 표준 기저 벡터들은 서로 직교하며, 이 기저를 이용하면 벡터의 성분을 간단히 추출할 수 있다.

그램-슈미트 과정

주어진 선형 독립 벡터 집합에서 직교 기저를 만드는 방법으로 그램-슈미트 과정(Gram-Schmidt process)이 있다. 그램-슈미트 과정은 다음과 같은 절차로 이루어진다:

1. 주어진 벡터 $\mathbf{v}_1$을 그대로 사용한다.
2. $\mathbf{v}_2$에 대해, $\mathbf{v}_2$에서 $\mathbf{v}_1$에 대한 성분을 제거하여 직교 벡터 $\mathbf{u}_2$를 만든다.
3. $\mathbf{v}_3$에 대해, $\mathbf{v}_3$에서 $\mathbf{v}_1$과 $\mathbf{u}_2$에 대한 성분을 제거하여 직교 벡터 $\mathbf{u}_3$를 만든다.
4. 이 과정을 반복하여 모든 벡터를 직교 벡터로 변환한다.

이 과정을 통해 얻은 직교 벡터들은 서로 선형 독립이며, 새로운 직교 기저를 형성하게 된다. 이 직교 기저를 사용하면 벡터 공간 내의 벡터를 더 쉽게 표현하고 계산할 수 있다.