벡터의 덧셈

두 벡터의 덧셈은 각 벡터의 대응하는 성분끼리 더하는 연산으로 정의된다. 벡터는 일반적으로 \mathbb{R}^n 공간에 속하는 n-차원 벡터를 생각할 수 있다. 즉, 두 벡터 \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}와 \mathbf{w} = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_n \end{pmatrix}에 대해, 이들의 덧셈 \mathbf{v} + \mathbf{w}은 다음과 같이 정의된다.

\mathbf{v} + \mathbf{w} = \begin{pmatrix} v_1 + w_1 \\ v_2 + w_2 \\ \vdots \\ v_n + w_n \end{pmatrix}

이 연산은 교환 법칙과 결합 법칙을 만족한다. 즉, 임의의 벡터 \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{u}에 대해 다음이 성립한다.

  1. 교환 법칙:
\mathbf{v} + \mathbf{w} = \mathbf{w} + \mathbf{v}
  1. 결합 법칙:
(\mathbf{v} + \mathbf{w}) + \mathbf{u} = \mathbf{v} + (\mathbf{w} + \mathbf{u})

벡터의 덧셈에서, 결과 벡터는 원래 벡터들과 같은 차원을 가진다. 예를 들어, \mathbb{R}^3 공간에서 \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}와 \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}이라면, 덧셈 결과는 다음과 같다.

\mathbf{v} + \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 1 + 4 \\ 2 + 5 \\ 3 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix}

이와 같은 방식으로 벡터의 덧셈은 성분별로 연산된다.

영벡터와 벡터 덧셈

모든 벡터 공간에는 영벡터라 불리는 특수한 벡터가 존재한다. 이 벡터는 모든 성분이 0인 벡터로 정의되며, 덧셈에 대한 항등원 역할을 한다. 즉, 임의의 벡터 \mathbf{v}에 대해 다음이 성립한다.

\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}

여기서 \mathbf{0}는 모든 성분이 0인 벡터로, \mathbf{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}이다.

벡터의 스칼라 곱

벡터와 실수(스칼라)의 곱을 스칼라 곱이라고 하며, 이는 벡터의 각 성분에 스칼라를 곱하는 연산이다. 즉, 스칼라 c와 벡터 \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}에 대해, 스칼라 곱 c \mathbf{v}는 다음과 같이 정의된다.

c \mathbf{v} = \begin{pmatrix} c v_1 \\ c v_2 \\ \vdots \\ c v_n \end{pmatrix}

스칼라 곱은 결합 법칙과 분배 법칙을 만족한다. 즉, 실수 c, d와 벡터 \mathbf{v}, \mathbf{w}에 대해 다음이 성립한다.

  1. 결합 법칙:
c (d \mathbf{v}) = (cd) \mathbf{v}
  1. 분배 법칙 (벡터에 대한 분배 법칙):
c (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = c \mathbf{v} + c \mathbf{w}
  1. 분배 법칙 (스칼라에 대한 분배 법칙):
(c + d) \mathbf{v} = c \mathbf{v} + d \mathbf{v}

예를 들어, 벡터 \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}와 스칼라 c = 3에 대해, 스칼라 곱은 다음과 같이 계산된다.

3 \mathbf{v} = 3 \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -9 \\ 12 \end{pmatrix}

스칼라 곱과 영벡터

스칼라가 0일 때, 스칼라 곱은 영벡터를 생성한다. 즉, 임의의 벡터 \mathbf{v}에 대해, 다음이 성립한다.

0 \mathbf{v} = \mathbf{0}

여기서 \mathbf{0}는 모든 성분이 0인 영벡터이다.

스칼라 곱과 벡터의 크기 변화

스칼라 곱은 벡터의 방향과 크기에 영향을 미친다. 스칼라 c > 0일 때, 벡터 \mathbf{v}의 방향은 그대로 유지되며 크기만 c배 커진다. 반면, c < 0일 때는 벡터의 크기가 |c|배 증가하는 동시에 방향이 반대가 된다. 벡터 \mathbf{v}의 크기는 다음과 같이 정의된다.

\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}

벡터의 덧셈과 스칼라 곱의 기하학적 해석

벡터의 덧셈과 스칼라 곱은 기하학적으로도 중요한 의미를 가진다. 이 연산들을 시각적으로 이해하는 것은 선형대수학의 여러 개념을 직관적으로 파악하는 데 큰 도움이 된다.

벡터의 덧셈의 기하학적 해석

두 벡터의 덧셈을 기하학적으로 해석하면, 벡터들을 평행 이동하여 연결하는 방식으로 볼 수 있다. \mathbf{v}와 \mathbf{w}라는 두 벡터가 있을 때, 이들의 덧셈 \mathbf{v} + \mathbf{w}는 두 벡터를 '머리-꼬리' 방식으로 연결하여 그 최종 위치를 나타낸다. 즉, 벡터 \mathbf{v}의 끝 점에 벡터 \mathbf{w}의 시작 점을 맞추고, 그 결과 벡터는 처음 벡터 \mathbf{v}의 시작 점에서 마지막 벡터 \mathbf{w}의 끝 점으로 이어지는 벡터가 된다. 이를 시각적으로 나타내면 다음과 같다.

graph TD; A((시작점)) --> B((v 끝점)); B --> C((w 끝점));

스칼라 곱의 기하학적 해석

스칼라 곱의 경우, 벡터의 크기와 방향을 변화시키는 역할을 한다. 벡터 \mathbf{v}에 스칼라 c를 곱하면, 그 결과 벡터 c \mathbf{v}는 다음과 같은 두 가지 성질을 가진다.

  1. 벡터 \mathbf{v}의 방향은 c의 부호에 따라 달라진다.
  2. c > 0: 방향은 유지된다.

  3. c < 0: 방향은 반대가 된다.

  4. 벡터 \mathbf{v}의 크기는 |c|배 만큼 늘어나거나 줄어든다.

예를 들어, \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}인 벡터에 대해, 스칼라 2를 곱하면 벡터의 크기는 두 배로 증가하면서 방향은 동일하게 유지된다. 반면, -2를 곱하면 크기는 동일하게 증가하지만 방향이 반대가 된다.

graph TD; A((원래 벡터 v)) --> B((c>0)); B --> C((크기 변화)); B --> D((방향 변화 없음)); A --> E((c<0)); E --> F((크기 변화)); E --> G((방향 반전));

스칼라 곱과 벡터 덧셈의 선형 조합

벡터의 덧셈과 스칼라 곱은 벡터의 선형 조합이라는 중요한 개념으로 확장된다. 두 벡터 \mathbf{v}와 \mathbf{w}에 대해, 스칼라 a, b를 곱한 후 더하는 연산을 선형 조합이라고 하며, 이는 다음과 같이 표현된다.

a \mathbf{v} + b \mathbf{w}

선형 조합은 벡터 공간 내에서 특정 벡터를 표현하는 중요한 도구이다. 예를 들어, 2차원 평면에서 두 벡터 \mathbf{v}와 \mathbf{w}가 주어졌을 때, 이들의 선형 조합으로 평면 상의 모든 점을 표현할 수 있다. 이는 두 벡터 \mathbf{v}와 \mathbf{w}가 평면의 기저 벡터 역할을 하기 때문이다.

선형 조합의 기하학적 의미

선형 조합을 기하학적으로 해석하면, 주어진 벡터 공간에서 스칼라 곱과 벡터 덧셈을 통해 새로운 벡터를 만드는 과정을 시각화할 수 있다. 예를 들어, 두 벡터 \mathbf{v}와 \mathbf{w}의 선형 조합 a \mathbf{v} + b \mathbf{w}는 벡터 \mathbf{v}와 \mathbf{w}를 각각 스칼라 a와 b로 조정한 후, 이들을 더하여 새로운 벡터를 형성하는 과정이다.

스칼라 곱의 분배 법칙과 벡터 덧셈의 분배 법칙

벡터 연산에서 매우 중요한 성질 중 하나는 분배 법칙이다. 벡터와 스칼라의 곱셈, 그리고 벡터의 덧셈에서 이 법칙은 두 가지 형태로 나타난다: 하나는 벡터에 대한 스칼라 곱의 분배 법칙이고, 다른 하나는 스칼라에 대한 벡터 덧셈의 분배 법칙이다.

벡터에 대한 스칼라 곱의 분배 법칙

스칼라 c가 주어진 두 벡터 \mathbf{v}와 \mathbf{w}에 곱해진 경우, 스칼라는 벡터들의 합에 대해 다음과 같이 분배될 수 있다.

c (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = c \mathbf{v} + c \mathbf{w}

이는 기하학적으로, 벡터 \mathbf{v} + \mathbf{w}를 하나의 벡터로 보고 그 벡터에 스칼라를 곱한 것과, 각각의 벡터 \mathbf{v}와 \mathbf{w}에 스칼라를 곱한 후 더한 결과가 동일함을 의미한다. 이 법칙은 벡터 공간에서 매우 중요한 역할을 하며, 선형성을 보장하는 기본 성질 중 하나이다.

스칼라에 대한 벡터 덧셈의 분배 법칙

두 스칼라 a와 b가 주어진 벡터 \mathbf{v}에 곱해진 경우, 이 스칼라는 벡터에 대해 다음과 같이 분배될 수 있다.

(a + b) \mathbf{v} = a \mathbf{v} + b \mathbf{v}

이는 주어진 벡터 \mathbf{v}에 각각 스칼라 a와 b를 곱한 후 더한 결과와, 스칼라 a + b를 곱한 결과가 동일하다는 것을 의미한다. 이 또한 벡터 공간의 선형성을 보여주는 중요한 성질이다.

스칼라 곱과 단위 벡터

벡터 공간에서 특별한 역할을 하는 벡터 중 하나가 단위 벡터이다. 단위 벡터는 길이가 1인 벡터로, 주로 방향을 나타낼 때 사용된다. 단위 벡터 \hat{\mathbf{v}}는 주어진 벡터 \mathbf{v}를 그 크기로 나누어 정의된다.

\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}

여기서 \|\mathbf{v}\|는 벡터 \mathbf{v}의 크기이며, 다음과 같이 계산된다.

\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}

단위 벡터는 스칼라 곱 연산에서 유용하게 사용된다. 예를 들어, 벡터 \mathbf{v}의 방향은 그대로 유지하면서 크기만 변경하고자 할 때, 단위 벡터에 스칼라를 곱하는 방식으로 크기를 조절할 수 있다. 즉, 임의의 스칼라 c와 단위 벡터 \hat{\mathbf{v}}에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다.

c \hat{\mathbf{v}} = \text{크기가 } c \text{인 벡터}

단위 벡터는 주로 방향을 나타내는 문제에서 활용되며, 기하학적으로도 매우 직관적인 의미를 갖는다.

벡터의 성분별 연산

벡터의 덧셈과 스칼라 곱은 모두 성분별로 이루어지는 연산이다. 즉, 벡터 \mathbf{v}와 \mathbf{w}의 각 성분은 개별적으로 더해지거나 곱해진다. 이를 좀 더 엄밀하게 표현하면, 벡터 \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}\과 벡터 \mathbf{w} = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_n \end{pmatrix}에 대해, 이들의 덧셈과 스칼라 곱은 다음과 같이 정의된다.

\mathbf{v} + \mathbf{w} = \begin{pmatrix} v_1 + w_1 \\ v_2 + w_2 \\ \vdots \\ v_n + w_n \end{pmatrix}
c \mathbf{v} = \begin{pmatrix} c v_1 \\ c v_2 \\ \vdots \\ c v_n \end{pmatrix}

이 성분별 연산은 벡터 공간의 기초 연산을 정의하는 매우 중요한 원리이다.