벡터 공간

벡터 공간은 공리적으로 정의된 수학적 구조로, 벡터의 집합과 그 위에서 정의된 두 가지 연산, 즉 덧셈과 스칼라 곱셈을 다룬다. 벡터 공간의 중요한 특징은 다음의 8가지 공리(Axioms)에 따라 구성된다는 점이다. 이 공리들은 벡터 공간을 정의하는 중요한 조건들이다.

벡터 공간을 정의하는 기본적인 구성 요소는 다음과 같다:

• 집합 $V$: 벡터들의 집합. 이 집합은 보통 실수나 복소수로 구성된다.
• 스칼라 필드 $\mathbb{F}$: 스칼라 연산을 제공하는 필드. 일반적으로 실수 필드 $\mathbb{R}$ 또는 복소수 필드 $\mathbb{C}$가 사용된다.

벡터 공간의 공리들

1. 덧셈의 닫힘성: 두 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$에 대해, $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in V$이다.
2. 덧셈의 교환법칙: 모든 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$에 대해, $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$이다.
3. 덧셈의 결합법칙: 모든 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$에 대해, $(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$이다.
4. 영벡터의 존재: 벡터 공간에는 항상 영벡터 $\mathbf{0} \in V$가 존재하며, 이는 모든 벡터 $\mathbf{v} \in V$에 대해 $\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}$를 만족한다.
5. 역벡터의 존재: 각 벡터 $\mathbf{v} \in V$에 대해, $\mathbf{v}$의 덧셈에 대한 역벡터 $-\mathbf{v} \in V$가 존재하며, $\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}$을 만족한다.
6. 스칼라 곱의 결합법칙: 스칼라 $a, b \in \mathbb{F}$와 벡터 $\mathbf{v} \in V$에 대해, $a(b\mathbf{v}) = (ab)\mathbf{v}$이다.
7. 스칼라와 벡터 덧셈의 분배법칙: 스칼라 $a \in \mathbb{F}$와 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$에 대해, $a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v}$이다.
8. 스칼라 덧셈의 분배법칙: 스칼라 $a, b \in \mathbb{F}$와 벡터 $\mathbf{v} \in V$에 대해, $(a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v}$이다.

벡터 공간의 예

벡터 공간의 전형적인 예는 다음과 같다: 1. 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$: 이 공간은 모든 $n$-차원 실수 벡터로 구성된 집합이다. 즉, $\mathbf{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n) \in \mathbb{R}^n$에서 $v_i$는 실수다. 유클리드 공간은 덧셈과 스칼라 곱셈이 직관적이며, 벡터 공간의 공리를 만족한다.

1. 다항식 공간 $P_n$: 차수 $n$ 이하의 모든 다항식으로 구성된 집합은 벡터 공간을 형성한다. 예를 들어, 차수 2 이하의 다항식 $P_2$는 $p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2$와 같이 나타내진다. 여기서 $a_0, a_1, a_2$는 스칼라(보통 실수 또는 복소수)이다.

2. 행렬 공간: $m \times n$ 크기의 모든 행렬로 구성된 집합 $\mathbb{R}^{m \times n}$는 벡터 공간을 형성한다. 덧셈은 성분별로 이루어지고, 스칼라 곱셈도 각 성분에 대해 행해진다.

부분 공간

부분 공간은 벡터 공간의 부분 집합이면서, 여전히 벡터 공간의 공리들을 만족하는 집합을 말한다. 즉, 벡터 공간 $V$의 부분 집합 $W \subseteq V$가 다시 벡터 공간을 형성한다면, $W$를 $V$의 부분 공간이라 한다.

부분 공간의 조건

벡터 공간의 부분 집합이 부분 공간이 되기 위한 필수 조건은 다음과 같다:

1. 영벡터 포함: $W \subseteq V$가 부분 공간이라면, 반드시 영벡터 $\mathbf{0} \in W$가 포함되어야 한다.
2. 덧셈에 대한 닫힘성: $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W$에 대해, $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in W$이어야 한다.
3. 스칼라 곱셈에 대한 닫힘성: 모든 스칼라 $c \in \mathbb{F}$와 벡터 $\mathbf{v} \in W$에 대해, $c\mathbf{v} \in W$이어야 한다.

부분 공간의 예

1. 평면: $\mathbb{R}^3$에서 원점을 지나는 평면은 부분 공간의 한 예이다. 원점을 지나지 않는 평면은 부분 공간이 될 수 없다.

2. 직선: $\mathbb{R}^2$ 또는 $\mathbb{R}^3$에서 원점을 지나는 직선은 부분 공간이 된다.

3. 행렬 공간의 부분 공간: 예를 들어, 대칭 행렬의 집합이나 상삼각 행렬의 집합은 행렬 공간 $\mathbb{R}^{n \times n}$의 부분 공간이다.

부분 공간의 기저와 차원

부분 공간은 기저와 차원에 의해 더 깊이 탐구될 수 있다. 기저는 선형 독립인 벡터들의 집합이며, 이들의 선형 결합으로 모든 부분 공간의 벡터를 표현할 수 있다. 기저의 벡터 개수는 부분 공간의 차원을 정의한다.

예를 들어, $\mathbb{R}^3$에서 원점을 지나는 직선은 차원이 1인 부분 공간이다. 직선을 정의하는 하나의 기저 벡터가 존재하며, 그 벡터는 그 직선 상의 모든 벡터를 생성할 수 있다.

부분 공간의 성질

부분 공간에 관한 몇 가지 중요한 성질이 있다. 이러한 성질들은 부분 공간이 어떻게 구성되고, 벡터 공간 내에서 어떻게 동작하는지를 설명한다.

부분 공간의 교차

두 부분 공간 $W_1 \subseteq V$와 $W_2 \subseteq V$의 교차 $W_1 \cap W_2$는 여전히 부분 공간을 이룬다. 즉, 교차된 부분 집합에 속한 모든 벡터는 여전히 덧셈과 스칼라 곱셈에 대해 닫혀 있다. 이 성질을 수식으로 표현하면 다음과 같다:

위 집합은 다시 벡터 공간의 성질을 만족하는 부분 공간을 형성한다.

부분 공간의 합

두 부분 공간 $W_1 \subseteq V$와 $W_2 \subseteq V$의 합 $W_1 + W_2$는 두 공간의 모든 벡터의 합을 포함하는 집합이다. 이는 수식으로 다음과 같이 표현할 수 있다:

여기서 $W_1 + W_2$는 다시 벡터 공간을 형성하는 부분 공간이 된다. 그러나, 이 부분 공간의 차원은 단순히 $W_1$과 $W_2$의 차원을 더한 것과는 다를 수 있다. 이는 $W_1 \cap W_2$의 차원에 의해 달라진다. 구체적으로, 차원의 공식은 다음과 같다:

이 성질은 부분 공간들의 결합에 따른 차원의 변화를 이해하는 데 매우 유용하다.

부분 공간의 직합

두 부분 공간 $W_1 \subseteq V$와 $W_2 \subseteq V$가 교차하지 않는다면, 즉 $W_1 \cap W_2 = \{ \mathbf{0} \}$일 때, 이들의 합을 직합이라고 한다. 직합은 두 부분 공간의 차원을 단순히 더한 것과 동일하며, 다음과 같이 표현할 수 있다:

이 경우, 다음이 성립한다:

이러한 성질은 벡터 공간의 구성 요소를 분해하거나 결합하는 과정에서 매우 중요한 도구가 된다.

부분 공간의 기저와 차원

기저

벡터 공간 $V$의 기저란 그 벡터 공간의 모든 벡터를 유일하게 표현할 수 있는 선형 독립인 벡터들의 집합이다. 벡터 공간 $V$에서 기저를 이루는 벡터들은 선형 독립성을 만족하며, 그들의 선형 결합으로 $V$의 모든 벡터를 표현할 수 있다. 기저 벡터의 개수는 그 벡터 공간의 차원을 정의한다.

예를 들어, $\mathbb{R}^3$에서 $\mathbf{e}_1 = (1, 0, 0), \mathbf{e}_2 = (0, 1, 0), \mathbf{e}_3 = (0, 0, 1)$는 $\mathbb{R}^3$의 표준 기저이다. 이 기저 벡터들은 서로 선형 독립이며, 이들의 선형 결합으로 $\mathbb{R}^3$의 모든 벡터를 생성할 수 있다.

차원

벡터 공간의 차원은 그 공간의 기저 벡터의 개수로 정의된다. 벡터 공간 $V$의 차원을 $\dim(V)$로 표기한다. 예를 들어, $\mathbb{R}^n$의 차원은 $n$이다. 즉, $\mathbb{R}^n$에는 $n$개의 선형 독립 벡터로 이루어진 기저가 존재하며, 이를 통해 공간의 모든 벡터를 표현할 수 있다.

부분 공간 $W \subseteq V$의 차원 역시 기저에 의해 정의된다. 만약 부분 공간 $W$가 차원 $k$를 가지면, 그 기저는 $k$개의 선형 독립 벡터로 구성된다.

기저의 성질

기저의 중요한 성질 중 하나는 벡터 공간의 각 벡터가 기저 벡터들의 유일한 선형 결합으로 표현된다는 점이다. 예를 들어, 벡터 공간 $V$에서 임의의 벡터 $\mathbf{v} \in V$는 기저 벡터 $\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \dots, \mathbf{b}_n$을 사용하여 다음과 같이 표현될 수 있다:

여기서 $c_1, c_2, \dots, c_n$은 스칼라이다. 이 표현은 기저의 벡터들이 선형 독립이므로 유일하다.

선형 변환과 부분 공간

벡터 공간에서 선형 변환은 또 다른 중요한 개념이다. 선형 변환은 한 벡터 공간에서 다른 벡터 공간으로의 함수로, 벡터의 덧셈과 스칼라 곱셈을 보존하는 성질을 갖는다. 선형 변환을 통해 부분 공간은 새로운 벡터 공간으로 매핑되며, 그 과정에서 핵심적인 부분 공간들이 등장한다.

상 공간 (Image)

주어진 선형 변환 $T: V \to W$에서, $V$의 벡터들이 $W$로 변환된 결과로 생성된 벡터들의 집합을 상 공간(또는 이미지)라고 한다. 수학적으로 상 공간은 다음과 같이 정의된다:

상 공간은 $W$의 부분 공간을 형성하며, 선형 변환의 결과가 어떤 부분 공간을 생성하는지 파악하는 데 중요한 역할을 한다.

영 공간 (Kernel)

선형 변환 $T: V \to W$에서, $T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}$이 되는 벡터 $\mathbf{v} \in V$들의 집합을 영 공간(또는 핵심 공간, Kernel)이라고 한다. 영 공간은 다음과 같이 정의된다:

영 공간은 $V$의 부분 공간을 형성하며, 선형 변환이 어떤 벡터들을 영벡터로 보내는지를 나타낸다. 즉, 영 공간은 선형 변환의 결과가 $\mathbf{0}$이 되는 모든 벡터들의 집합이다.

영 공간은 선형 변환의 중요한 성질을 이해하는 데 도움을 준다. 특히, 영 공간이 자명한 공간(즉, $\ker(T) = \{ \mathbf{0} \}$)일 때, 선형 변환은 단사(Injective)이다. 이는 선형 변환이 서로 다른 벡터를 다른 결과로 변환함을 의미한다.

선형 변환의 차원 정리 (Rank-Nullity Theorem)

선형 변환에서 상 공간과 영 공간의 차원은 중요한 관계를 가진다. 이를 설명하는 것이 Rank-Nullity 정리이다. 이 정리는 선형 변환 $T: V \to W$에 대해, $V$의 차원이 상 공간의 차원과 영 공간의 차원의 합과 같다는 것을 나타낸다. 수식으로 표현하면 다음과 같다:

여기서: - $\dim(\text{Im}(T))$는 선형 변환의 상 공간의 차원(또는 Rank)이다. - $\dim(\ker(T))$는 영 공간의 차원(또는 Nullity)이다.

이 정리는 벡터 공간의 구조를 이해하고, 선형 변환이 벡터 공간에 미치는 영향을 분석하는 데 매우 유용하다.

부분 공간과 선형 변환의 관계

선형 변환과 부분 공간의 관계를 이해하는 것은 매우 중요하다. 예를 들어, 부분 공간이 선형 변환에 의해 어떻게 매핑되는지를 분석함으로써, 변환된 공간의 구조를 알 수 있다. 특히, 선형 변환은 부분 공간을 다른 부분 공간으로 매핑하는 특성을 가지고 있다.

• 상 공간과 부분 공간: 주어진 선형 변환 $T: V \to W$에서, $V$의 부분 공간 $W_1 \subseteq V$가 $T$에 의해 다른 부분 공간 $T(W_1) \subseteq W$로 매핑된다. 이 과정에서 상 공간은 중요한 역할을 하며, 변환된 부분 공간의 구조를 분석할 수 있다.

• 영 공간과 부분 공간: 만약 $T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}$인 벡터들이 $V$의 부분 공간을 형성한다면, 그 부분 공간은 영 공간에 속하게 된다. 이는 선형 변환이 벡터 공간의 특정 부분 공간을 어떻게 다루는지를 보여준다.

부분 공간의 직접 분해

벡터 공간 $V$는 서로 교차하지 않는 여러 부분 공간들의 직합으로 분해될 수 있다. 이를 직접 분해라 하며, 수학적으로 다음과 같이 표현된다:

여기서 $W_1, W_2, \dots, W_k$는 $V$의 서로 교차하지 않는 부분 공간들이며, 이들의 합이 $V$의 모든 벡터를 포함한다. 즉, 각 벡터는 오직 하나의 방식으로 각 부분 공간의 벡터들의 합으로 표현될 수 있다.

직접 분해는 벡터 공간을 분석하는 데 중요한 도구로, 복잡한 공간을 단순한 부분 공간들로 나누는 과정에서 유용하다.

부분 공간의 사영

사영(Projection)은 벡터 공간의 한 부분 공간 위로 벡터를 투영하는 연산이다. 주어진 벡터 공간 $V$와 그 부분 공간 $W \subseteq V$에 대해, 임의의 벡터 $\mathbf{v} \in V$는 부분 공간 $W$ 위로 사영될 수 있다. 이때, 사영 연산은 다음과 같이 정의된다:

여기서: - $\mathbf{v}_W$는 $W$ 위에 있는 벡터의 성분이다. - $\mathbf{v}_\perp$는 $W$와 수직인 성분이다.

사영 연산은 다양한 분야에서 활용되며, 특히 직교 사영(Orthogonal Projection)은 수치해석이나 기하학적 응용에서 중요한 역할을 한다.

부분 공간의 직교 보충 공간

벡터 공간 $V$에서, 부분 공간 $W \subseteq V$에 대해, $W$에 직교하는 벡터들로 구성된 부분 공간을 $W^\perp$라고 한다. $W^\perp$는 다음과 같이 정의된다:

이 공간은 $W$와 독립적으로 존재하며, $V$는 다음과 같이 두 부분 공간의 직합으로 분해될 수 있다:

즉, 벡터 공간 $V$는 부분 공간 $W$와 그에 직교하는 보충 공간 $W^\perp$로 완전히 분해될 수 있다. 직교 보충 공간은 선형 대수에서 중요한 개념이며, 다양한 응용에서 유용하게 사용된다.