벡터의 정의

벡터는 수학에서 크기와 방향을 동시에 가지는 객체를 말한다. 이를 통해 벡터는 공간에서 점들의 위치를 나타내거나, 물리적 의미로는 속도, 힘과 같은 양을 나타낼 수 있다.

벡터의 기호

일반적으로 벡터는 굵은 소문자로 표현된다. 예를 들어, 벡터 $\mathbf{v}$는 다음과 같이 나타낼 수 있다:

위의 식에서 $\mathbf{v}$는 $n$차원의 벡터를 나타내며, 각 성분 $v_i$는 실수(real number)이다. 따라서, $v_i \in \mathbb{R}$라고 할 수 있다.

벡터 공간

벡터들은 벡터 공간이라는 구조를 이루며, 이는 수학적으로 특정 조건을 만족하는 집합이다. 벡터 공간 $\mathbf{V}$는 다음과 같은 조건을 만족하는 두 연산, 즉 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈이 정의되어 있다:

• 벡터 덧셈: 두 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbf{V}$에 대해 덧셈 $\mathbf{u} + \mathbf{v}$는 다시 $\mathbf{V}$에 속한다.
• 스칼라 곱셈: 스칼라 $c \in \mathbb{R}$와 벡터 $\mathbf{v} \in \mathbf{V}$에 대해 곱셈 $c \mathbf{v}$는 다시 $\mathbf{V}$에 속한다.

벡터 공간의 이러한 성질을 만족하는 예로는 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$이 있다. $\mathbb{R}^n$에서 벡터는 $n$개의 실수 성분을 가지는 $n$차원의 벡터로 표현된다.

벡터의 성질

벡터 덧셈

두 벡터 $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}$와 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$의 덧셈은 성분별로 이루어진다. 즉, 벡터 덧셈은 다음과 같이 정의된다:

이 연산은 교환 법칙과 결합 법칙을 만족한다:

• 교환 법칙: $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$
• 결합 법칙: $\mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w}$

스칼라 곱

스칼라 $c \in \mathbb{R}$와 벡터 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$의 곱은 각 성분에 $c$를 곱한 결과로 정의된다:

스칼라 곱 또한 결합 법칙과 분배 법칙을 만족한다:

• 결합 법칙: $a(b\mathbf{v}) = (ab)\mathbf{v}$, 여기서 $a, b \in \mathbb{R}$는 스칼라이다.
• 분배 법칙: $a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v}$

영벡터

모든 성분이 0인 벡터를 영벡터라고 하며, $\mathbf{0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$로 표현된다. 영벡터는 다음과 같은 성질을 가진다:

역벡터

벡터 $\mathbf{v}$에 대해 그 역벡터 $-\mathbf{v}$는 $\mathbf{v}$의 각 성분에 $-1$을 곱한 벡터이다. 즉, $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$일 때, $-\mathbf{v}$는 다음과 같이 정의된다:

이로 인해 $\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}$의 관계가 성립한다.

벡터의 크기

벡터 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$의 크기, 즉 노름(norm)은 다음과 같이 정의된다:

이때 $\|\mathbf{v}\|$는 벡터의 크기를 나타내며, 이는 공간에서 벡터가 나타내는 점과 원점 사이의 거리를 의미한다.

단위 벡터

벡터의 크기가 1인 벡터를 단위 벡터(unit vector)라고 한다. 벡터 $\mathbf{v}$를 $\|\mathbf{v}\|$로 나누어 단위 벡터로 만들 수 있다. 즉, $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$인 경우, 벡터 $\mathbf{v}$에 대해 단위 벡터 $\hat{\mathbf{v}}$는 다음과 같이 정의된다:

이때 $\|\hat{\mathbf{v}}\| = 1$임을 알 수 있다. 단위 벡터는 벡터의 방향만을 나타내며, 크기는 항상 1이다.

내적

두 벡터 $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}$와 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$의 내적(dot product)은 각 성분의 곱을 모두 더한 값으로 정의된다:

내적은 다음과 같은 중요한 성질을 가진다:

• 교환 법칙: $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$
• 분배 법칙: $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w}$
• 스칼라 곱과의 결합 법칙: $c (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) = (c \mathbf{u}) \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u} \cdot (c \mathbf{v})$

내적을 통해 두 벡터 사이의 각도를 구할 수 있다. 벡터 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$ 사이의 각도 $\theta$는 다음과 같은 관계식으로 표현된다:

이 식을 변형하면 각도 $\theta$를 구할 수 있다:

만약 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$이라면, $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$는 수직임을 의미한다. 이를 이용하여 벡터가 서로 직교(orthogonal)하는지 여부를 판단할 수 있다.

외적 (3차원 벡터의 경우)

3차원 공간에서 두 벡터 $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix}$와 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}$의 외적(cross product)은 다음과 같이 계산된다:

여기서 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$는 각각 $x$, $y$, $z$ 축 방향의 단위 벡터이다. 외적의 결과는 벡터이며, 두 벡터 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$에 수직인 벡터가 된다. 외적은 다음과 같은 성질을 가진다:

• 반대칭성: $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = -(\mathbf{v} \times \mathbf{u})$
• 분배 법칙: $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}$

외적은 주로 물리학에서 두 벡터 사이의 면적 또는 회전을 표현할 때 사용된다. 외적의 크기는 다음과 같이 주어진다:

이때 $\theta$는 두 벡터 사이의 각도이며, 결과 벡터의 크기는 벡터 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$가 이루는 평행사변형의 면적을 나타낸다.

벡터의 선형 결합

여러 벡터의 선형 결합(linear combination)은 주어진 벡터들의 스칼라 배수를 더한 벡터로 정의된다. 벡터 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k$가 있을 때, 이들의 선형 결합은 스칼라 $c_1, c_2, \dots, c_k$를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다:

이 벡터 $\mathbf{w}$는 벡터 공간 내에서 벡터 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k$로 생성되는 부분 공간의 한 점에 해당한다.

선형 독립과 선형 종속

주어진 벡터 집합 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k$에 대해, 만약 이들 벡터가 오직 자명한 선형 결합인 $c_1 = c_2 = \cdots = c_k = 0$에서만 $\mathbf{0}$을 만드는 경우, 이 벡터 집합은 선형 독립(linearly independent)이라고 한다. 즉, 다음 방정식이 오직 자명한 해를 가질 때:

벡터들이 선형 독립이라는 것은 그 어느 벡터도 나머지 벡터들의 선형 결합으로 표현될 수 없다는 의미이다.

반대로, 만약 자명하지 않은 선형 결합, 즉 $c_1, c_2, \dots, c_k$ 중 적어도 하나가 0이 아닌 해가 존재할 때, 이 벡터 집합은 선형 종속(linearly dependent)이라고 한다. 이는 어떤 벡터가 다른 벡터들의 선형 결합으로 표현될 수 있음을 의미한다.

벡터의 기저

벡터 공간 $\mathbf{V}$의 기저(basis)는 그 공간의 모든 벡터를 선형 결합을 통해 표현할 수 있는 선형 독립 벡터들의 집합이다. 즉, 벡터 공간 $\mathbf{V}$의 임의의 벡터 $\mathbf{v}$는 기저 벡터들의 선형 결합으로 나타낼 수 있다:

여기서 $\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \dots, \mathbf{b}_n$는 벡터 공간 $\mathbf{V}$의 기저를 이루는 벡터들이고, $c_1, c_2, \dots, c_n$는 스칼라 계수들이다. 벡터 공간의 기저는 유일하게 정의되지 않으며, 여러 개의 기저가 존재할 수 있다. 그러나 기저 벡터의 개수는 항상 고정되어 있으며, 이를 차원(dimension)이라고 한다.

표준 기저

특정 벡터 공간에서 자주 사용하는 기저로는 표준 기저(standard basis)가 있다. 예를 들어, 3차원 공간 $\mathbb{R}^3$에서는 다음과 같은 세 벡터가 표준 기저를 이룬다:

이 기저 벡터들은 $\mathbb{R}^3$의 모든 벡터를 선형 결합을 통해 나타낼 수 있는 기저를 형성한다. 예를 들어, 벡터 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}$는 다음과 같은 선형 결합으로 표현할 수 있다:

벡터의 투영

벡터 $\mathbf{v}$를 벡터 $\mathbf{u}$의 방향으로 투영(projection)하는 것은 벡터 $\mathbf{v}$가 벡터 $\mathbf{u}$의 방향으로 이루는 성분을 구하는 것을 의미한다. 벡터 $\mathbf{v}$를 벡터 $\mathbf{u}$ 위로 투영한 결과는 다음과 같이 구할 수 있다:

이 식에서, $\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$는 벡터 $\mathbf{v}$와 $\mathbf{u}$의 내적이며, 결과 벡터는 벡터 $\mathbf{u}$의 방향으로 벡터 $\mathbf{v}$의 투영 성분을 나타낸다.

벡터의 직교성과 직교 기저

두 벡터가 서로 수직일 때, 이를 직교(orthogonal)한다고 한다. 두 벡터 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$가 직교한다는 것은 그들의 내적이 0이라는 의미이다:

직교하는 벡터들의 집합은 직교 집합(orthogonal set)이라고 불린다. 만약 이 집합의 모든 벡터의 크기가 1이라면, 이를 직교 정규 집합(orthonormal set)이라고 부른다. 즉, 직교 정규 벡터 집합은 벡터들 간의 내적이 0이고, 각 벡터의 크기가 1인 경우를 의미한다:

직교 기저

벡터 공간에서 기저를 이루는 벡터들이 서로 직교한다면, 이를 직교 기저(orthogonal basis)라고 한다. 직교 기저는 벡터 공간 내의 임의의 벡터를 기저 벡터들의 선형 결합으로 나타낼 때 계산을 단순화하는데, 특히 직교 기저를 사용하면 벡터의 성분을 쉽게 구할 수 있다. 직교 기저의 특징 중 하나는, 각 벡터의 성분을 해당 기저 벡터에 대해 투영함으로써 구할 수 있다는 점이다.

직교 정규 기저

벡터 공간의 기저가 직교하고 모든 기저 벡터의 크기가 1이면, 이를 직교 정규 기저(orthonormal basis)라고 한다. 직교 정규 기저를 사용하면 벡터의 성분을 다음과 같은 방식으로 쉽게 구할 수 있다. 주어진 벡터 $\mathbf{v}$를 직교 정규 기저 $\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \dots, \mathbf{b}_n$에 대해 표현할 때, 각 기저 벡터에 대한 성분 $c_i$는 단순히 $\mathbf{v}$와 해당 기저 벡터의 내적을 취하면 된다:

따라서, 벡터 $\mathbf{v}$는 다음과 같은 선형 결합으로 나타낼 수 있다:

이 과정은 직교 정규 기저의 중요한 응용 중 하나로, 복잡한 벡터 표현을 단순화할 수 있다.

그람-슈미트 과정

주어진 벡터 집합을 직교 정규 집합으로 변환하는 방법 중 하나는 그람-슈미트 과정(Gram-Schmidt process)이다. 이 과정은 주어진 선형 독립 벡터 집합을 직교 집합으로 변환하고, 나아가 각 벡터의 크기를 1로 만들어 직교 정규 집합으로 만드는 알고리즘이다.

그람-슈미트 과정의 단계는 다음과 같다:

1. 첫 번째 벡터를 그대로 사용하여 새로운 집합의 첫 번째 벡터로 설정한다.
2. 두 번째 벡터는 첫 번째 벡터에 대해 직교하도록 조정한다.
3. 세 번째 벡터는 첫 번째와 두 번째 벡터 모두에 대해 직교하도록 조정한다.
4. 이 과정을 모든 벡터에 대해 반복한다.

그람-슈미트 알고리즘

주어진 선형 독립 벡터 집합 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$이 있을 때, 그람-슈미트 과정을 통해 이 벡터들을 직교 정규 집합 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$으로 변환하는 과정은 다음과 같다:

1. 첫 번째 벡터 $\mathbf{u}_1$는 $\mathbf{v}_1$의 방향을 유지하며, 크기를 1로 만드는 단위 벡터로 설정한다:

1. 두 번째 벡터 $\mathbf{u}_2$는 $\mathbf{v}_2$에서 $\mathbf{u}_1$ 방향의 성분을 제거한 후, 크기를 1로 만든 벡터이다:

1. 세 번째 벡터 $\mathbf{u}_3$는 $\mathbf{v}_3$에서 $\mathbf{u}_1$과 $\mathbf{u}_2$의 성분을 제거한 후, 크기를 1로 만든 벡터이다:

1. 이 과정을 모든 벡터에 대해 반복하여 직교 정규 벡터 집합을 얻는다.

그람-슈미트 과정은 기저 벡터를 직교 정규화하는 데 사용되며, 주로 선형 대수에서 매우 유용한 도구로 활용된다. 특히, 직교 기저를 구할 때 많이 사용된다.

벡터의 차원과 차원 정리

벡터 공간에서의 차원(dimension)은 그 공간의 모든 벡터를 선형 결합을 통해 표현할 수 있는 기저 벡터의 개수로 정의된다. 차원은 벡터 공간의 중요한 속성 중 하나로, 주어진 공간이 얼마나 큰지를 나타낸다. 예를 들어, $\mathbb{R}^n$에서의 차원은 $n$이다. $\mathbb{R}^3$의 경우 3개의 기저 벡터가 필요하며, 이 공간의 모든 벡터는 3개의 기저 벡터의 선형 결합으로 표현된다.

차원 정리

차원 정리(Dimension Theorem)는 선형 대수에서 벡터 공간과 부분 공간의 관계를 설명하는 중요한 정리 중 하나이다. 이 정리에 따르면, 주어진 벡터 공간의 차원은 그 벡터 공간을 이루는 기저 벡터의 수와 동일하다. 또한, 차원 정리는 다음과 같이 핵공간(null space)과 행공간(row space)의 차원 관계를 설명한다.

어떤 행렬 $\mathbf{A}$의 열 공간과 핵공간에 대해 다음이 성립한다:

여기서 $n$은 행렬 $\mathbf{A}$의 열의 개수이다. 이 관계는 주어진 행렬의 선형 독립성과 종속성에 대해 중요한 정보를 제공한다.

벡터의 방향과 코사인 유사도

벡터 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$의 방향은 벡터의 코사인 유사도(cosine similarity)를 통해 비교할 수 있다. 코사인 유사도는 두 벡터가 이루는 각도의 코사인 값을 통해 그 유사성을 나타내며, 다음과 같이 계산된다:

이때, $\theta$는 벡터 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$ 사이의 각도이다. 코사인 유사도는 다음과 같은 범위를 가진다:

• $\cos \theta = 1$: 두 벡터의 방향이 완전히 같다.
• $\cos \theta = 0$: 두 벡터가 직교한다.
• $\cos \theta = -1$: 두 벡터의 방향이 완전히 반대이다.

코사인 유사도는 벡터의 방향을 비교할 때 주로 사용되며, 특히 정보 검색, 텍스트 마이닝 등에서 두 벡터(문서 간의 벡터 표현)의 유사성을 측정할 때 유용하다.

벡터의 변환

벡터 공간에서의 선형 변환(linear transformation)은 한 벡터를 다른 벡터로 변환하는 함수로 정의된다. 선형 변환은 벡터에 대해 두 가지 연산, 즉 벡터의 덧셈과 스칼라 곱을 보존하는 변환이다. 즉, 선형 변환 $T$는 다음 두 조건을 만족한다:

1. $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$
2. $T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u})$

여기서 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$는 벡터, $c$는 스칼라이다.

행렬을 통한 벡터 변환

모든 선형 변환은 행렬을 통해 표현될 수 있다. 즉, 선형 변환 $T$는 주어진 행렬 $\mathbf{A}$를 사용하여 벡터 $\mathbf{v}$를 다음과 같은 방식으로 변환할 수 있다:

여기서 $\mathbf{A}$는 선형 변환을 나타내는 행렬이고, $\mathbf{v}$는 변환의 대상이 되는 벡터이다. 행렬 $\mathbf{A}$는 선형 변환의 특성에 따라 다양한 형상을 가질 수 있다. 예를 들어, 회전, 확대/축소, 대칭 변환 등 다양한 선형 변환이 행렬을 통해 표현된다.

회전 변환

2차원 공간에서의 회전 변환은 주어진 벡터를 일정 각도만큼 회전시키는 변환으로, 다음과 같은 회전 행렬에 의해 표현된다:

이때, $\theta$는 회전 각도이다. 회전 행렬을 벡터 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$에 곱하면, 그 결과 벡터는 원점을 기준으로 $\theta$만큼 회전된 벡터가 된다.

확대/축소 변환

확대/축소 변환은 주어진 벡터의 크기를 일정 비율만큼 변화시키는 선형 변환이다. 이 변환은 다음과 같은 행렬로 표현된다:

여기서 $k$는 확대 또는 축소 비율이다. 행렬 $\mathbf{S}(k)$를 벡터에 곱하면 벡터의 모든 성분이 $k$만큼 확대 또는 축소된다.

반사 변환

반사 변환(reflection transformation)은 주어진 벡터를 특정 축이나 평면에 대해 반사시키는 선형 변환이다. 2차원 공간에서의 반사 변환은 주로 x축 또는 y축을 기준으로 하여 벡터를 대칭적으로 변환한다.

x축에 대한 반사

x축에 대한 반사 변환은 y좌표의 부호를 반대로 하는 변환이다. 이를 위한 반사 행렬은 다음과 같이 표현된다:

이 행렬을 벡터 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$에 적용하면, 벡터는 x축에 대해 반사된 결과를 나타낸다:

y축에 대한 반사

y축에 대한 반사 변환은 x좌표의 부호를 반대로 하는 변환이다. 이를 위한 반사 행렬은 다음과 같다:

이 행렬을 벡터 $\mathbf{v}$에 적용하면 y축에 대해 반사된 결과를 얻을 수 있다:

대각선에 대한 반사

2차원 공간에서 대각선 $y = x$에 대한 반사는 벡터의 x좌표와 y좌표를 교환하는 변환이다. 이를 위한 반사 행렬은 다음과 같다:

이 행렬을 벡터 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$에 적용하면, 대각선에 대해 반사된 결과는 다음과 같다:

이와 같은 반사 변환은 기하학적인 문제뿐만 아니라, 그래픽스, 물리 시뮬레이션 등 다양한 분야에서 활용된다.

벡터의 직교 투영

어떤 벡터를 특정 공간이나 축에 직교 투영(orthogonal projection)하는 것은, 벡터가 그 공간이나 축 위에 가지는 성분을 계산하는 것을 의미한다. 벡터 $\mathbf{v}$를 주어진 벡터 $\mathbf{u}$에 직교 투영한 결과는 $\mathbf{u}$ 방향에 있는 $\mathbf{v}$의 성분을 의미하며, 다음과 같이 계산된다:

이 식은 벡터 $\mathbf{v}$가 벡터 $\mathbf{u}$ 방향으로 가지는 크기를 $\mathbf{u}$로 스칼라 배하는 방식으로, $\mathbf{u}$의 크기를 표준화하여 투영한다.

여러 벡터에 대한 투영

주어진 벡터 $\mathbf{v}$를 여러 벡터에 대해 투영하는 경우, 그 벡터들이 서로 직교하면 각 벡터에 대한 투영을 독립적으로 계산하여 더할 수 있다. 예를 들어, $\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \dots, \mathbf{b}_n$이 서로 직교하는 벡터들이고 $\mathbf{v}$를 이들에 대해 투영한다고 하면, 다음과 같이 벡터의 성분을 구할 수 있다:

각 투영 성분은 $\mathbf{b}_i$에 대한 $\mathbf{v}$의 투영 결과로 계산된다.

벡터의 합과 직교 성분

어떤 벡터 $\mathbf{v}$를 두 직교 벡터 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{w}$로 나누어 표현할 때, 다음과 같은 성질을 이용할 수 있다. 벡터 $\mathbf{v}$는 벡터 $\mathbf{u}$ 방향의 성분과 $\mathbf{w}$ 방향의 성분으로 나뉠 수 있다:

이 식은 벡터를 직교 성분으로 분리하는 데 매우 유용하며, 물리학에서 벡터를 특정 방향으로 분해하는 데도 자주 사용된다. 두 성분이 직교하므로, 벡터의 전체 크기는 두 직교 성분의 크기의 제곱을 더한 후 제곱근을 취한 값과 같다:

이 성질은 피타고라스의 정리와 유사하며, 벡터의 직교 분해에서 중요한 역할을 한다.