상수와 변수를 사용하는 블록 연산

블록 연산의 개요

Eigen 라이브러리에서는 행렬의 일부를 블록(block)으로 처리할 수 있으며, 이를 통해 행렬을 효율적으로 다룰 수 있다. 특히, 상수와 변수를 사용하는 블록 연산은 특정 크기의 블록을 추출하거나, 다른 행렬이나 상수로 블록을 채울 때 유용하게 사용된다.

상수를 사용하는 블록 연산

블록 연산에서는 행렬의 특정 부분을 상수 값으로 채우는 작업을 자주 수행할 수 있다. 예를 들어, 특정 크기의 블록을 추출한 후 상수 값으로 해당 블록을 설정할 수 있다.

다음은 3x3 행렬의 좌측 상단 2x2 블록을 상수 값으로 설정하는 예제이다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    Eigen::Matrix3d mat;
    mat << 1, 2, 3,
           4, 5, 6,
           7, 8, 9;

    // 좌측 상단 2x2 블록을 7로 설정
    mat.block<2,2>(0,0) = Eigen::Matrix2d::Constant(7);

    std::cout << "Updated matrix: \n" << mat << std::endl;
    return 0;
}

위 예제에서 mat.block<2,2>(0,0)은 3x3 행렬의 좌측 상단 2x2 블록을 추출하며, Eigen::Matrix2d::Constant(7)을 통해 이 블록을 7로 채운다.

변수를 사용하는 블록 연산

블록 연산에서는 상수뿐만 아니라 변수를 사용하여 특정 블록을 채울 수 있다. 이때 블록 크기 및 위치는 고정된 값뿐만 아니라, 변수로 지정된 값으로 설정할 수 있다.

다음은 변수를 사용하여 행렬의 블록을 업데이트하는 예제이다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    Eigen::Matrix3d mat;
    mat << 1, 2, 3,
           4, 5, 6,
           7, 8, 9;

    // 2x2 크기의 블록을 새로 정의된 행렬로 교체
    Eigen::Matrix2d newBlock;
    newBlock << 10, 11,
                12, 13;

    mat.block<2,2>(1,1) = newBlock;

    std::cout << "Updated matrix: \n" << mat << std::endl;
    return 0;
}

이 코드에서는 mat.block<2,2>(1,1)을 통해 행렬의 우측 하단 2x2 블록을 추출하고, 새로 정의된 newBlock 행렬을 그 블록에 할당하여 업데이트한다.

수학적으로 블록 연산 설명

블록 연산을 수학적으로 정의하면, 다음과 같다. 예를 들어, 주어진 행렬 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 이 있을 때, $\mathbf{A}$ 의 부분 행렬(블록)은 다음과 같이 표현될 수 있다.

$\mathbf{A}_{i:j, k:l} = \begin{bmatrix} a_{i,k} & a_{i,k+1} & \cdots & a_{i,l} \\ a_{i+1,k} & a_{i+1,k+1} & \cdots & a_{i+1,l} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{j,k} & a_{j,k+1} & \cdots & a_{j,l} \end{bmatrix}$

이때 $\mathbf{A}_{i:j, k:l}$ 는 $\mathbf{A}$ 의 $i$ 번째 행부터 $j$ 번째 행까지, $k$ 번째 열부터 $l$ 번째 열까지를 포함하는 블록 행렬을 의미한다.

동적 크기의 블록 연산

고정 크기의 블록 외에도, 동적으로 크기를 지정하여 블록을 추출할 수도 있다. 이를 위해 Eigen의 .block() 메소드를 사용하며, 이 메소드는 시작 위치와 크기를 동적으로 설정할 수 있다.

예를 들어, 아래와 같이 동적 크기의 블록을 정의할 수 있다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    Eigen::MatrixXd mat(4, 4);
    mat << 1, 2, 3, 4,
           5, 6, 7, 8,
           9, 10, 11, 12,
           13, 14, 15, 16;

    // 동적 크기의 블록 추출
    int startRow = 1, startCol = 1;
    int blockRows = 2, blockCols = 2;
    Eigen::MatrixXd block = mat.block(startRow, startCol, blockRows, blockCols);

    std::cout << "Extracted block: \n" << block << std::endl;
    return 0;
}

위 코드는 동적으로 시작 행과 열, 그리고 블록의 크기를 설정하여 2x2 블록을 추출한다.

수학적으로, 동적 크기의 블록은 다음과 같이 표현될 수 있다.

$\mathbf{A}_{i:(i+r-1), j:(j+c-1)} = \begin{bmatrix} a_{i,j} & a_{i,j+1} & \cdots & a_{i,j+c-1} \\ a_{i+1,j} & a_{i+1,j+1} & \cdots & a_{i+1,j+c-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i+r-1,j} & a_{i+r-1,j+1} & \cdots & a_{i+r-1,j+c-1} \end{bmatrix}$

여기서 $r$ 과 $c$ 는 각각 블록의 행과 열의 크기를 의미하며, 시작 위치 $i$ 와 $j$ 로부터 $r$ 행, $c$ 열 만큼을 포함하는 블록을 나타낸다.

블록 연산에서 상수를 채워넣는 방법

블록 연산에서는 블록의 크기를 지정한 후, 특정 값으로 해당 블록을 채워넣을 수 있다. 이를 통해 효율적으로 행렬의 일부를 특정 값으로 초기화하거나 업데이트할 수 있다. Eigen에서 제공하는 Constant() 함수는 블록을 상수 값으로 채울 때 사용된다.

아래는 블록을 특정 상수 값으로 설정하는 예제이다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    Eigen::Matrix3d mat;
    mat << 1, 2, 3,
           4, 5, 6,
           7, 8, 9;

    // 좌측 하단 2x1 블록을 상수 5로 채우기
    mat.block<2,1>(1,0) = Eigen::Matrix<double, 2, 1>::Constant(5);

    std::cout << "Updated matrix: \n" << mat << std::endl;
    return 0;
}

위 예제에서 mat.block<2,1>(1,0)은 행렬의 좌측 하단에 위치한 2x1 블록을 추출하며, Eigen::Matrix<double, 2, 1>::Constant(5)을 사용해 해당 블록을 5로 채운다.

수학적으로, 블록을 상수로 채우는 작업은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\mathbf{A}_{i:j, k:l} = c \mathbf{1}_{r \times c}$

여기서 $c$ 는 상수 값이고, $\mathbf{1}_{r \times c}$ 는 모든 요소가 1인 $r \times c$ 크기의 행렬을 의미한다. 이를 통해 블록 내의 모든 요소가 동일한 상수로 채워지게 된다.

변수 블록과 연산 적용

블록을 상수로 설정하는 대신, 블록에 변수를 적용한 후 여러 연산을 수행할 수 있다. 예를 들어, 블록에 대한 덧셈, 곱셈 등의 연산을 수행할 수 있다. 이는 복잡한 연산을 효율적으로 처리하는 데 중요한 역할을 한다.

다음은 블록에 변수와 수학적 연산을 적용하는 예제이다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    Eigen::Matrix4d mat;
    mat << 1, 2, 3, 4,
           5, 6, 7, 8,
           9, 10, 11, 12,
           13, 14, 15, 16;

    // 우측 상단 2x2 블록에 스칼라 값 3을 더하기
    mat.block<2,2>(0,2) += Eigen::Matrix2d::Constant(3);

    std::cout << "Updated matrix: \n" << mat << std::endl;
    return 0;
}

이 코드에서는 mat.block<2,2>(0,2)을 통해 우측 상단 2x2 블록을 추출하고, Eigen::Matrix2d::Constant(3)으로 해당 블록에 3을 더한다.

수학적으로, 이는 다음과 같이 표현된다.

$\mathbf{A}_{i:j, k:l} \leftarrow \mathbf{A}_{i:j, k:l} + c \mathbf{1}_{r \times c}$

이 식은 기존 블록에 상수 $c$ 를 더하는 연산을 나타낸다. 연산을 적용한 블록의 각 원소는 기존 값에 상수 값이 더해져 업데이트된다.

블록 연산의 실용적인 활용 예시

블록 연산은 대형 행렬의 특정 부분을 처리하거나, 복잡한 수식을 효율적으로 계산할 때 유용하게 사용된다. 예를 들어, 물리학, 공학, 특히 제어 이론에서 시스템의 일부를 구분하여 처리하는 경우, 이러한 블록 연산은 필수적인 도구로 사용된다.

다음은 제어 시스템에서 상태-공간 표현을 다룰 때 블록 연산을 사용하는 예시이다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    Eigen::MatrixXd A(4, 4);
    A << 1, 0, 0.1, 0,
         0, 1, 0, 0.1,
         0, 0, 1, 0,
         0, 0, 0, 1;

    Eigen::MatrixXd B(4, 2);
    B << 0.01, 0,
         0, 0.01,
         1, 0,
         0, 1;

    Eigen::MatrixXd C(2, 4);
    C << 1, 0, 0, 0,
         0, 1, 0, 0;

    Eigen::MatrixXd D(2, 2);
    D.setZero(); // D는 영행렬로 설정

    // 상태-공간 모델의 행렬들을 블록으로 결합
    Eigen::MatrixXd system(6, 6);
    system.block<4, 4>(0, 0) = A;
    system.block<4, 2>(0, 4) = B;
    system.block<2, 4>(4, 0) = C;
    system.block<2, 2>(4, 4) = D;

    std::cout << "State-space system matrix: \n" << system << std::endl;
    return 0;
}

이 코드는 상태-공간 시스템에서 행렬 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 를 블록으로 결합하여 하나의 큰 시스템 행렬을 구성한다. 제어 시스템을 구성할 때, 이러한 블록 연산은 매우 중요한 도구이다.

블록 대입과 연산의 유효성 조건

블록 연산에서 중요한 점은, 블록의 크기가 대입할 행렬의 크기와 일치해야 한다는 것이다. 그렇지 않으면 실행 중에 오류가 발생한다. 예를 들어, $3 \times 3$ 행렬에서 $2 \times 2$ 블록을 선택한 후 $2 \times 2$ 크기의 행렬로 대체하는 것은 가능하지만, 크기가 맞지 않는 행렬을 대입하면 오류가 발생한다.

// 잘못된 예시 (오류 발생)
mat.block<2,2>(0,0) = Eigen::Matrix2d::Random(3,3); // 오류 발생: 크기 불일치

Eigen은 이러한 크기 불일치에 대해 컴파일 또는 실행 중 오류를 발생시키며, 이를 통해 개발자가 크기 불일치를 방지할 수 있다.

블록 연산을 사용한 복합 연산

Eigen의 블록 연산은 단순한 대입 또는 상수 채우기뿐만 아니라, 다양한 연산을 블록에 직접 적용할 수 있다. 예를 들어, 특정 블록을 선택한 후, 행렬 곱셈, 역행렬 계산, 스칼라 곱셈 등의 연산을 수행할 수 있다. 이러한 연산은 대형 행렬의 일부를 효율적으로 다루는 데 매우 유용하다.

다음은 블록에 대한 곱셈 연산을 수행하는 예시이다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    Eigen::Matrix3d mat;
    mat << 1, 2, 3,
           4, 5, 6,
           7, 8, 9;

    // 우측 상단 2x1 블록을 2배로 증가
    mat.block<2,1>(0,2) *= 2;

    std::cout << "Updated matrix: \n" << mat << std::endl;
    return 0;
}

위 코드에서 mat.block<2,1>(0,2)는 3x3 행렬의 우측 상단 2x1 블록을 추출한 후, 해당 블록의 값들을 2배로 증가시킨다. 블록 연산을 활용하여 행렬의 특정 부분에만 연산을 적용할 수 있다.

수학적으로 이는 다음과 같이 표현될 수 있다.

$\mathbf{A}_{i:j, k:l} \leftarrow c \cdot \mathbf{A}_{i:j, k:l}$

여기서 $c$ 는 스칼라 값이며, $\mathbf{A}_{i:j, k:l}$ 는 행렬 $\mathbf{A}$ 의 특정 블록이다. 즉, 이 식은 블록 내의 모든 원소를 $c$ 배 증가시키는 연산을 의미한다.

블록의 부분 행렬을 추출한 후 연산

Eigen에서는 블록 자체를 추출하여 또 다른 연산의 입력으로 사용할 수도 있다. 예를 들어, 블록을 추출한 후 그 블록에 대한 행렬 곱셈이나 역행렬 계산 등을 수행할 수 있다.

다음 예시는 블록을 추출하여 새로운 행렬과 곱셈 연산을 수행하는 예시이다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    Eigen::Matrix4d mat;
    mat << 1, 2, 3, 4,
           5, 6, 7, 8,
           9, 10, 11, 12,
           13, 14, 15, 16;

    // 2x2 크기의 블록 추출
    Eigen::Matrix2d block = mat.block<2,2>(1,1);

    // 블록과 새로운 행렬 간의 곱셈 연산
    Eigen::Matrix2d result = block * Eigen::Matrix2d::Identity();

    std::cout << "Result of multiplication: \n" << result << std::endl;
    return 0;
}

이 코드는 행렬 mat에서 2x2 블록을 추출한 후, 그 블록과 단위 행렬의 곱셈을 수행한다. 이렇게 블록을 별도의 행렬로 추출하여 여러 연산을 진행할 수 있다.

수학적으로, 블록 $\mathbf{B}$ 를 추출한 후 다른 행렬 $\mathbf{C}$ 와 곱셈하는 과정은 다음과 같이 표현된다.

$\mathbf{B} = \mathbf{A}_{i:j, k:l}, \quad \mathbf{D} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{C}$

이 식에서 $\mathbf{B}$ 는 행렬 $\mathbf{A}$ 의 블록을 나타내며, $\mathbf{D}$ 는 추출된 블록 $\mathbf{B}$ 와 다른 행렬 $\mathbf{C}$ 간의 곱셈 결과이다.

블록 연산을 사용한 부분 역행렬 계산

블록 연산의 또 다른 유용한 응용 중 하나는, 대형 행렬의 부분에 대해 역행렬을 계산하는 것이다. 블록 연산을 사용하면 행렬의 일부만 선택하여 역행렬을 계산할 수 있으며, 이 방식은 특정 행렬 연산에서 계산 시간을 줄이는 데 매우 유리한다.

다음은 블록에 대해 역행렬을 계산하는 예시이다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    Eigen::Matrix4d mat;
    mat << 1, 2, 3, 4,
           5, 6, 7, 8,
           9, 10, 11, 12,
           13, 14, 15, 16;

    // 2x2 크기의 블록을 선택하여 역행렬 계산
    Eigen::Matrix2d invBlock = mat.block<2,2>(0,0).inverse();

    std::cout << "Inverse of block: \n" << invBlock << std::endl;
    return 0;
}

이 예시에서는 행렬 mat의 좌측 상단 2x2 블록을 선택한 후, 해당 블록의 역행렬을 계산한다. 블록에 대해 부분적으로 역행렬을 계산하면, 전체 행렬에 대한 계산 비용을 줄일 수 있다.

수학적으로, 블록의 역행렬을 계산하는 과정은 다음과 같이 표현된다.

$\mathbf{B} = \mathbf{A}_{i:j, k:l}, \quad \mathbf{B}^{-1}$

여기서 $\mathbf{B}$ 는 행렬 $\mathbf{A}$ 의 블록이며, $\mathbf{B}^{-1}$ 은 그 블록의 역행렬을 나타낸다. 역행렬 계산은 행렬이 정칙일 때만 가능하므로, 선택된 블록이 역행렬을 가질 수 있는지 확인하는 것이 중요하다.

블록 대 블록 연산

블록 간에도 연산을 수행할 수 있으며, 이는 두 블록 간의 덧셈, 뺄셈, 곱셈 등을 포함한다. 두 블록은 동일한 크기를 가져야 하며, 그 크기가 다르면 오류가 발생한다.

아래 예시는 두 블록 간의 덧셈 연산을 수행하는 코드이다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    Eigen::Matrix4d mat;
    mat << 1, 2, 3, 4,
           5, 6, 7, 8,
           9, 10, 11, 12,
           13, 14, 15, 16;

    // 두 블록을 더하기
    mat.block<2,2>(0,0) += mat.block<2,2>(2,2);

    std::cout << "Updated matrix: \n" << mat << std::endl;
    return 0;
}

이 코드에서는 4x4 행렬의 좌측 상단 블록과 우측 하단 블록을 더한다. 블록 간의 덧셈 연산은 두 블록이 동일한 크기일 때만 가능하므로, 크기 불일치가 발생하지 않도록 주의해야 한다.

수학적으로 이는 다음과 같이 표현된다.

$\mathbf{A}_{i:j, k:l} \leftarrow \mathbf{A}_{i:j, k:l} + \mathbf{A}_{m:n, p:q}$

여기서 두 블록 $\mathbf{A}_{i:j, k:l}$ 과 $\mathbf{A}_{m:n, p:q}$ 의 크기가 동일해야 덧셈 연산이 가능한다.

블록을 통한 전치 연산

블록 연산에서 유용하게 활용되는 또 다른 기능은 전치(transpose) 연산이다. Eigen의 블록에 대해서도 전치 연산을 수행할 수 있으며, 이를 통해 블록의 행과 열을 쉽게 뒤바꿀 수 있다.

다음은 블록을 전치하는 예시이다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    Eigen::Matrix4d mat;
    mat << 1, 2, 3, 4,
           5, 6, 7, 8,
           9, 10, 11, 12,
           13, 14, 15, 16;

    // 2x2 크기의 블록 전치
    mat.block<2,2>(1,1) = mat.block<2,2>(1,1).transpose();

    std::cout << "Transposed block: \n" << mat << std::endl;
    return 0;
}

이 코드는 4x4 행렬의 2x2 블록을 선택하여 전치 연산을 수행한다. 전치 연산은 블록의 행과 열을 뒤바꿔 저장한다.

수학적으로 이는 다음과 같이 표현된다.

$\mathbf{A}_{i:j, k:l} \ leftarrow \mathbf{A}_{i:j, k:l}^\top$

여기서 $\mathbf{A}_{i:j, k:l}^\top$ 는 블록 $\mathbf{A}_{i:j, k:l}$ 의 전치를 의미하며, 블록 내의 행과 열을 뒤바꾼 결과이다.