블록 연산의 개요

블록 연산은 큰 행렬을 작은 서브 행렬로 분할하여 연산을 수행하는 방식이다. 이 방식은 메모리 관리와 효율적인 계산 성능 향상에 유리한다. 특히 고차원 행렬을 다루는 경우, 전체 행렬에 대해 연산을 수행하는 것보다 특정 블록 단위로 연산을 분리함으로써 연산 복잡도를 줄이고 성능을 최적화할 수 있다.

Eigen 라이브러리에서 블록 연산은 행렬의 부분 행렬에 대한 접근 및 연산을 지원한다. 이를 통해 사용자는 행렬의 특정 부분에만 연산을 수행할 수 있으며, 이를 활용하여 다양한 복잡한 계산을 단순화할 수 있다.

서브 행렬을 이용한 블록 연산

주어진 행렬을 서브 행렬로 나누어 계산하는 방식은, 예를 들어 큰 행렬의 일부분만 수정해야 할 때나, 전체 행렬에 대한 연산을 분할하고자 할 때 유용하다.

블록 연산을 활용할 수 있는 몇 가지 예시는 다음과 같다.

행렬의 특정 부분을 수정하기

아래는 $\mathbf{A}$가 $4 \times 4$ 행렬일 때, 특정 블록을 수정하는 예제이다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    Eigen::Matrix4d A;
    A << 1, 2, 3, 4,
         5, 6, 7, 8,
         9, 10, 11, 12,
         13, 14, 15, 16;

    // 2x2 블록을 0으로 설정
    A.block<2, 2>(1, 1) = Eigen::Matrix2d::Zero();

    std::cout << "Modified matrix A:\n" << A << std::endl;
    return 0;
}

위 코드에서 A.block<2, 2>(1, 1)은 행렬 $\mathbf{A}$의 2행, 2열 위치에서 $2 \times 2$ 크기의 블록을 선택하여 해당 부분을 $\mathbf{0}$으로 설정한다. 결과적으로 다음과 같은 행렬이 출력된다:

이처럼 블록 연산은 행렬의 특정 부분을 쉽게 조작하는 데 매우 유용하다.

서브 행렬의 추출과 연산

블록 연산은 단순히 행렬의 일부를 수정하는 데 그치지 않고, 원하는 부분만을 추출하여 연산에 활용할 수 있다. 이는 매우 큰 행렬에서 특정 영역의 데이터를 추출하여 처리할 때 유용하다.

예를 들어, 아래 예제에서는 행렬 $\mathbf{A}$에서 블록을 추출하고 이를 사용하여 새로운 행렬 $\mathbf{B}$를 생성한다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    Eigen::Matrix4d A;
    A << 1, 2, 3, 4,
         5, 6, 7, 8,
         9, 10, 11, 12,
         13, 14, 15, 16;

    // A의 우측 상단 2x2 블록을 추출하여 B에 복사
    Eigen::Matrix2d B = A.block<2, 2>(0, 2);

    std::cout << "Extracted matrix B:\n" << B << std::endl;
    return 0;
}

이 코드에서는 $\mathbf{A}$의 우측 상단 $2 \times 2$ 블록을 추출하여 $\mathbf{B}$에 저장한다. 결과적으로 $\mathbf{B}$는 다음과 같이 된다:

이와 같이, 블록 연산을 통해 원하는 서브 행렬을 쉽게 추출하여 별도의 연산에 활용할 수 있다.

블록 연산을 이용한 행렬 곱셈 최적화

블록 연산은 대형 행렬의 곱셈에서도 성능 최적화를 위해 많이 활용된다. 큰 행렬을 작은 블록으로 나누어 병렬 연산을 수행하거나, 캐시 메모리의 효율을 높이기 위해 사용될 수 있다.

예를 들어, 두 개의 행렬 $\mathbf{A}$와 $\mathbf{B}$를 블록 단위로 나누어 곱셈을 수행할 수 있다. 이 방식은 행렬의 크기가 매우 클 때, 계산을 작은 단위로 나누어 캐시 효율성을 극대화하고 병렬 처리를 용이하게 한다.

행렬 블록을 사용한 곱셈 예제

다음은 $4 \times 4$ 크기의 두 행렬 $\mathbf{A}$와 $\mathbf{B}$에 대해 블록 연산을 사용하여 곱셈을 수행하는 예제이다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    Eigen::Matrix4d A, B, C;
    A << 1, 2, 3, 4,
         5, 6, 7, 8,
         9, 10, 11, 12,
         13, 14, 15, 16;

    B << 16, 15, 14, 13,
         12, 11, 10, 9,
         8, 7, 6, 5,
         4, 3, 2, 1;

    // C를 블록을 사용하여 A와 B의 곱으로 계산
    C.block<2, 2>(0, 0) = A.block<2, 2>(0, 0) * B.block<2, 2>(0, 0)
                        + A.block<2, 2>(0, 2) * B.block<2, 2>(2, 0);

    C.block<2, 2>(0, 2) = A.block<2, 2>(0, 0) * B.block<2, 2>(0, 2)
                        + A.block<2, 2>(0, 2) * B.block<2, 2>(2, 2);

    C.block<2, 2>(2, 0) = A.block<2, 2>(2, 0) * B.block<2, 2>(0, 0)
                        + A.block<2, 2>(2, 2) * B.block<2, 2>(2, 0);

    C.block<2, 2>(2, 2) = A.block<2, 2>(2, 0) * B.block<2, 2>(0, 2)
                        + A.block<2, 2>(2, 2) * B.block<2, 2>(2, 2);

    std::cout << "Result matrix C:\n" << C << std::endl;
    return 0;
}

이 코드는 행렬 $\mathbf{A}$와 $\mathbf{B}$를 각각 $2 \times 2$ 블록으로 나누어 블록 단위로 곱셈을 수행하는 예제이다. 여기서 블록 단위로 행렬 곱셈을 하여 $\mathbf{C}$ 행렬을 계산한다.

행렬 곱셈의 결과는 다음과 같다:

이 예시에서 각 서브 행렬은 다음과 같이 정의된다: - $\mathbf{A}_{11}, \mathbf{A}_{12}, \mathbf{A}_{21}, \mathbf{A}_{22}$ - $\mathbf{B}_{11}, \mathbf{B}_{12}, \mathbf{B}_{21}, \mathbf{B}_{22}$

이와 같은 방식은 병렬 처리나 캐시 최적화를 통해 매우 큰 행렬의 곱셈을 효율적으로 수행하는 데 유리한다.

대각 블록 행렬 연산

대각 블록 행렬(diagonal block matrix)은 블록들이 대각선에 있는 형태의 행렬을 말한다. 이 블록 행렬은 시스템을 여러 개의 독립된 작은 문제로 분할하여 각각을 개별적으로 처리할 수 있게 해준다. 이러한 특성은 병렬 계산에 유리하고, 계산 비용을 줄이는 데 효과적이다.

대각 블록 행렬 예제

아래는 대각 블록 행렬을 생성하고, 이를 활용하여 연산하는 예제이다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    Eigen::Matrix2d A, B, C;
    A << 1, 2,
         3, 4;

    B << 5, 6,
         7, 8;

    // 대각 블록 행렬 생성
    Eigen::MatrixXd D = Eigen::MatrixXd::Zero(4, 4);
    D.block<2, 2>(0, 0) = A;
    D.block<2, 2>(2, 2) = B;

    std::cout << "Diagonal block matrix D:\n" << D << std::endl;
    return 0;
}

이 코드는 $2 \times 2$ 행렬 $\mathbf{A}$와 $\mathbf{B}$를 대각 블록으로 가지는 $4 \times 4$ 대각 블록 행렬 $\mathbf{D}$를 생성한다. 결과적으로 다음과 같은 행렬 $\mathbf{D}$가 생성된다:

대각 블록 행렬은 독립적인 서브 시스템을 처리할 때 유용하며, 각 블록을 병렬적으로 연산할 수 있는 장점을 가지고 있다.

블록 행렬을 이용한 선형 시스템 해법

블록 행렬을 이용하여 선형 시스템을 해결하는 방법도 블록 연산의 중요한 활용 사례이다. 특히, 특정 선형 시스템의 구조를 분석하고, 이를 블록 형태로 나누어 처리하면 계산 효율성을 크게 높일 수 있다.

예를 들어, 선형 시스템 $\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}$에서 $\mathbf{A}$가 블록 행렬의 형태를 가진다면, 이를 블록 단위로 나누어 연산을 수행함으로써 문제를 더 쉽게 풀 수 있다.

블록 가우스 소거법

블록 가우스 소거법(Block Gaussian Elimination)은 큰 시스템을 작은 서브 시스템으로 나누어 해결하는 기법이다. 이는 주로 블록 대각 행렬의 형태를 가진 시스템에 유용하다. 예를 들어, 다음과 같은 선형 시스템을 생각해 보자.

이 시스템에서 $\mathbf{A}_{11}, \mathbf{A}_{12}, \mathbf{A}_{21}, \mathbf{A}_{22}$는 각각 적절한 크기의 서브 행렬이고, $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2$는 벡터이다. 이 시스템을 블록 단위로 풀기 위해서는 다음 단계를 따를 수 있다.

1. 먼저 $\mathbf{A}_{11} \mathbf{x}_1 = \mathbf{b}_1 - \mathbf{A}_{12} \mathbf{x}_2$를 풀어 $\mathbf{x}_1$을 구한다.
2. 그런 다음, $\mathbf{A}_{22} \mathbf{x}_2 = \mathbf{b}_2 - \mathbf{A}_{21} \mathbf{x}_1$을 풀어 $\mathbf{x}_2$를 구한다.

이 방법을 통해 큰 시스템을 블록 단위로 분해하여 처리할 수 있다.

블록 가우스 소거법 코드 예제

다음은 Eigen 라이브러리에서 블록 가우스 소거법을 적용하는 예제이다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    // 블록 행렬 A 구성
    Eigen::Matrix2d A11, A12, A21, A22;
    A11 << 1, 2,
           3, 4;
    A12 << 5, 6,
           7, 8;
    A21 << 9, 10,
           11, 12;
    A22 << 13, 14,
           15, 16;

    // 벡터 b 구성
    Eigen::Vector2d b1, b2;
    b1 << 1, 2;
    b2 << 3, 4;

    // 단계 1: A11 * x1 = b1 - A12 * x2
    Eigen::Vector2d x2(1, 1); // 초기값 가정
    Eigen::Vector2d b1_mod = b1 - A12 * x2;
    Eigen::Vector2d x1 = A11.colPivHouseholderQr().solve(b1_mod);

    // 단계 2: A22 * x2 = b2 - A21 * x1
    Eigen::Vector2d b2_mod = b2 - A21 * x1;
    x2 = A22.colPivHouseholderQr().solve(b2_mod);

    std::cout << "Solution x1:\n" << x1 << std::endl;
    std::cout << "Solution x2:\n" << x2 << std::endl;

    return 0;
}

위 코드에서는 $\mathbf{A}$ 행렬을 네 개의 서브 행렬로 나누고, 각각에 대해 가우스 소거법을 적용하여 $\mathbf{x}_1$과 $\mathbf{x}_2$를 차례대로 구한다.

블록 대각화 (Block Diagonalization)

블록 대각화는 시스템의 대칭성이나 구조를 이용하여 행렬을 대각 블록 행렬로 변환하는 방법이다. 이 방법은 특히 특정한 물리적 시스템이나 네트워크 시스템에서 자주 사용된다.

예제: 블록 대각화

주어진 행렬을 블록 대각 행렬로 변환하는 과정은, 예를 들어 고유값 분해를 활용하거나 특수한 행렬 구조를 통해 가능한다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    // 4x4 행렬 생성
    Eigen::Matrix4d A;
    A << 1, 2, 3, 4,
         5, 6, 7, 8,
         9, 10, 11, 12,
         13, 14, 15, 16;

    // 고유값 분해
    Eigen::EigenSolver<Eigen::Matrix4d> eigensolver(A);
    if (eigensolver.info() != Eigen::Success) abort();

    std::cout << "Eigenvalues of A:\n" << eigensolver.eigenvalues() << std::endl;
    std::cout << "Eigenvectors of A:\n" << eigensolver.eigenvectors() << std::endl;

    return 0;
}

이 코드는 행렬 $\mathbf{A}$에 대해 고유값 분해를 수행하여, 대각 형태의 행렬로 변환할 수 있는지 확인한다. 이를 통해 대각 블록 구조를 갖는 행렬로 변환하여 효율적인 계산을 수행할 수 있다.

블록 연산을 이용한 대칭 행렬의 특성

대칭 행렬(symmetrical matrix)은 $\mathbf{A} = \mathbf{A}^T$를 만족하는 행렬로, 블록 연산을 통해 그 특성을 더욱 효율적으로 분석할 수 있다. 대칭 행렬은 고유값 분해, 특이값 분해 등의 방법을 적용할 때 계산 효율성이 높다. 특히, 블록 대칭 행렬(block symmetric matrix)로 행렬을 분할하면 이러한 특성을 더 쉽게 다룰 수 있다.

대칭 행렬의 고유값 분해

대칭 행렬의 고유값 분해는 다음과 같이 표현된다:

여기서 $\mathbf{A}$는 대칭 행렬, $\mathbf{Q}$는 직교 행렬, $\mathbf{\Lambda}$는 대각 행렬로, $\mathbf{Q}$는 $\mathbf{A}$의 고유벡터로 구성되고, $\mathbf{\Lambda}$는 고유값으로 이루어진 대각 행렬이다.

대칭 행렬의 블록 연산은 전체 행렬의 특정 블록에만 고유값 분해를 적용하거나, 부분 대칭성을 이용하여 연산을 최적화하는 데 사용될 수 있다.

대칭 행렬의 블록 구조 예제

다음은 대칭 행렬의 특정 블록에만 고유값 분해를 적용하는 방법을 보여주는 예제이다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    Eigen::Matrix4d A;
    A << 4, 1, 2, 3,
         1, 3, 5, 7,
         2, 5, 6, 8,
         3, 7, 8, 9;

    // A의 상단 좌측 2x2 블록에 대해 고유값 분해
    Eigen::SelfAdjointEigenSolver<Eigen::Matrix2d> eigensolver(A.block<2, 2>(0, 0));
    if (eigensolver.info() != Eigen::Success) abort();

    std::cout << "Eigenvalues of 2x2 block of A:\n" << eigensolver.eigenvalues() << std::endl;
    std::cout << "Eigenvectors of 2x2 block of A:\n" << eigensolver.eigenvectors() << std::endl;

    return 0;
}

이 예제에서는 대칭 행렬 $\mathbf{A}$의 $2 \times 2$ 상단 좌측 블록에 대해 고유값 분해를 수행한다. 이 방식으로 대형 대칭 행렬의 특정 부분만을 빠르게 분석할 수 있다. 결과는 해당 블록에 대한 고유값과 고유벡터를 반환하게 된다.

블록 삼각 행렬 (Block Triangular Matrix)

블록 삼각 행렬은 행렬이 상삼각 혹은 하삼각 구조를 가지는 블록들로 구성된 형태이다. 이는 시스템을 상부 및 하부로 분해하여 별도의 계산을 가능하게 해 준다. 이러한 구조는 예를 들어, LU 분해 또는 QR 분해와 같은 다양한 행렬 분해에 유용하게 사용된다.

상삼각 블록 행렬 예제

다음은 상삼각 블록 행렬을 생성하고, 이를 이용하여 행렬 연산을 수행하는 예제이다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    // 상삼각 블록 행렬 생성
    Eigen::Matrix4d A = Eigen::Matrix4d::Zero();
    A.block<2, 2>(0, 0) << 1, 2,
                           0, 1;
    A.block<2, 2>(0, 2) << 3, 4,
                           0, 1;
    A.block<2, 2>(2, 2) << 5, 6,
                           0, 1;

    std::cout << "Upper triangular block matrix A:\n" << A << std::endl;

    return 0;
}

이 코드는 상삼각 블록 구조를 가지는 $4 \times 4$ 행렬을 생성한다. 상삼각 행렬에서는 아래쪽 블록들이 모두 $0$으로 설정되며, 블록 단위로 연산이 수행된다. 이 구조는 수치적 안정성과 계산 효율성을 제공하며, 특히 선형 시스템을 풀 때 유리한다.

블록 연산을 이용한 역행렬 계산

대형 행렬의 역행렬을 구하는 것은 매우 복잡하고 계산 비용이 많이 드는 작업이다. 그러나 블록 행렬로 분해할 수 있다면, 각 블록에 대해 별도로 역행렬을 구한 후 이를 결합하여 전체 역행렬을 계산할 수 있다. 블록 연산을 사용한 역행렬 계산은 특히 시스템이 블록 대각 행렬의 형태를 가지는 경우에 효율적이다.

블록 행렬의 역행렬 계산 예제

다음은 블록 행렬의 역행렬을 구하는 방법을 보여주는 예제이다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    Eigen::Matrix2d A, B;
    A << 1, 2,
         3, 4;
    B << 5, 6,
         7, 8;

    // 대각 블록 행렬 생성
    Eigen::MatrixXd D = Eigen::MatrixXd::Zero(4, 4);
    D.block<2, 2>(0, 0) = A;
    D.block<2, 2>(2, 2) = B;

    // 각 블록의 역행렬을 구하고 대각 블록에 배치
    Eigen::MatrixXd D_inv = Eigen::MatrixXd::Zero(4, 4);
    D_inv.block<2, 2>(0, 0) = A.inverse();
    D_inv.block<2, 2>(2, 2) = B.inverse();

    std::cout << "Inverse of block matrix D:\n" << D_inv << std::endl;

    return 0;
}

이 코드는 두 개의 $2 \times 2$ 행렬 $\mathbf{A}$와 $\mathbf{B}$를 대각 블록으로 가지는 행렬 $\mathbf{D}$의 역행렬을 블록 단위로 구하는 예제이다. 각 블록의 역행렬을 계산한 후, 이를 다시 대각 블록에 배치하여 전체 행렬의 역행렬을 구성한다.

블록 연산을 통해 대형 시스템의 역행렬을 효과적으로 계산할 수 있으며, 특히 병렬 처리에도 적합한다.