벡터 투영 - 소프트웨어 융합

벡터 투영의 정의

벡터 투영은 한 벡터를 다른 벡터 위에 투영하는 연산으로, 벡터 공간에서 매우 중요한 개념이다. 두 벡터 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 가 주어졌을 때, $\mathbf{a}$ 를 $\mathbf{b}$ 에 대해 투영한 결과는 $\mathbf{b}$ 방향으로의 성분만을 남기고, $\mathbf{b}$ 에 수직인 성분을 제거한 벡터이다.

벡터 $\mathbf{a}$ 를 $\mathbf{b}$ 에 대해 투영한 벡터 $\mathbf{p}$ 는 다음과 같은 수식으로 정의된다:

$\mathbf{p} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} \mathbf{b}$

여기서: - $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ 는 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 의 내적, - $\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}$ 는 $\mathbf{b}$ 의 크기의 제곱을 의미한다.

투영 벡터의 기하학적 해석

벡터 투영은 $\mathbf{a}$ 에서 $\mathbf{b}$ 와 평행한 벡터 성분만을 추출하는 과정이다. 투영된 벡터는 항상 원래 벡터 $\mathbf{b}$ 와 평행하며, 크기는 $\mathbf{a}$ 의 $\mathbf{b}$ 방향 성분에 해당한다. 기하학적으로 보면, 이는 벡터 $\mathbf{a}$ 를 벡터 $\mathbf{b}$ 위에 직각으로 떨어뜨린 벡터라고 볼 수 있다.

Eigen 라이브러리를 활용한 벡터 투영 구현

Eigen 라이브러리에서는 벡터의 내적과 스칼라 곱 연산을 쉽게 수행할 수 있으므로, 벡터 투영도 간단히 구현할 수 있다. 아래의 예시는 Eigen 라이브러리를 사용하여 벡터 $\mathbf{a}$ 를 벡터 $\mathbf{b}$ 에 대해 투영하는 방법을 보여준다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    // Eigen 벡터 정의
    Eigen::Vector3d a(1.0, 2.0, 3.0);
    Eigen::Vector3d b(4.0, 5.0, 6.0);

    // 벡터 투영 계산
    Eigen::Vector3d projection = (a.dot(b) / b.dot(b)) * b;

    // 결과 출력
    std::cout << "Projection of a onto b: " << projection.transpose() << std::endl;

    return 0;
}

위 코드는 3차원 벡터 $\mathbf{a} = (1.0, 2.0, 3.0)$ 와 $\mathbf{b} = (4.0, 5.0, 6.0)$ 에 대해 $\mathbf{a}$ 를 $\mathbf{b}$ 에 투영하는 예제이다. a.dot(b)는 두 벡터의 내적을 계산하고, b.dot(b)는 벡터 $\mathbf{b}$ 의 크기의 제곱을 계산한다. 이를 통해 벡터 투영을 구현할 수 있다.

투영 벡터의 성질

벡터 투영에는 몇 가지 중요한 성질이 있다. 이러한 성질들은 수학적 특성과 물리적 해석에서 모두 유용하다.

1. 동일 방향 벡터 투영

만약 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 가 같은 방향을 가진 벡터라면, $\mathbf{a}$ 의 $\mathbf{b}$ 에 대한 투영은 단순히 $\mathbf{a}$ 그 자체가 된다. 이때, 두 벡터는 서로 평행하므로, 다음 관계가 성립한다:

$\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} \mathbf{b}$

2. 수직 벡터 투영

만약 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 가 서로 수직이면, $\mathbf{a}$ 의 $\mathbf{b}$ 에 대한 투영은 0 벡터가 된다. 즉, 내적 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ 이므로 투영 벡터는 다음과 같이 계산된다:

$\mathbf{p} = \frac{0}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} \mathbf{b} = \mathbf{0}$

3. 직교성

벡터 $\mathbf{a}$ 와 투영 벡터 $\mathbf{p}$ 를 비교하면, $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 에 수직인 성분은 투영된 벡터에서 완전히 제거된다. 이로 인해 벡터 $\mathbf{a} - \mathbf{p}$ 는 벡터 $\mathbf{b}$ 에 수직이 된다. 즉, 벡터 $\mathbf{a} - \mathbf{p}$ 와 $\mathbf{b}$ 는 직교하며, 이는 다음과 같은 수식으로 표현될 수 있다:

$(\mathbf{a} - \mathbf{p}) \cdot \mathbf{b} = 0$

Eigen 라이브러리로 투영 성질 확인

앞서 논의한 투영의 성질을 확인하기 위해, Eigen 라이브러리로 벡터 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{p}$ 의 관계를 구현할 수 있다. 아래 코드는 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{p}$ 의 차이가 $\mathbf{b}$ 와 직교하는지를 확인하는 예제이다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    // Eigen 벡터 정의
    Eigen::Vector3d a(1.0, 2.0, 3.0);
    Eigen::Vector3d b(4.0, 5.0, 6.0);

    // 벡터 투영 계산
    Eigen::Vector3d projection = (a.dot(b) / b.dot(b)) * b;

    // a - p가 b에 직교하는지 확인
    Eigen::Vector3d orthogonal_component = a - projection;
    double dot_product = orthogonal_component.dot(b);

    std::cout << "Dot product of (a - projection) and b: " << dot_product << std::endl;

    return 0;
}

위 코드는 $\mathbf{a} - \mathbf{p}$ 가 $\mathbf{b}$ 와 직교하는지를 확인하기 위해 내적을 계산한다. 결과적으로 내적이 0에 가까운 값이 나와야 직교 관계가 성립함을 알 수 있다.

투영 벡터와 유클리드 거리

벡터 투영은 벡터 간의 거리와도 밀접한 관련이 있다. 벡터 $\mathbf{a}$ 와 벡터 $\mathbf{b}$ 가 주어졌을 때, $\mathbf{a}$ 에서 $\mathbf{b}$ 방향으로의 최소 거리는 $\mathbf{a} - \mathbf{p}$ 의 크기, 즉 벡터 $\mathbf{a}$ 에서 벡터 $\mathbf{p}$ 까지의 거리로 계산할 수 있다. 이 거리는 수직선상의 거리이므로 유클리드 거리로 표현된다:

$\text{Distance} = \|\mathbf{a} - \mathbf{p}\|$

이를 통해, 벡터 $\mathbf{a}$ 에서 $\mathbf{b}$ 로의 가장 가까운 점은 벡터 $\mathbf{p}$ 에 해당하며, 이때 거리는 $\mathbf{a} - \mathbf{p}$ 의 크기이다.

Eigen을 사용하여 이 거리를 계산하는 방법은 다음과 같다:

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    // Eigen 벡터 정의
    Eigen::Vector3d a(1.0, 2.0, 3.0);
    Eigen::Vector3d b(4.0, 5.0, 6.0);

    // 벡터 투영 계산
    Eigen::Vector3d projection = (a.dot(b) / b.dot(b)) * b;

    // 유클리드 거리 계산
    double distance = (a - projection).norm();

    std::cout << "Distance between a and its projection onto b: " << distance << std::endl;

    return 0;
}

위 코드는 벡터 $\mathbf{a}$ 에서 벡터 $\mathbf{b}$ 에 대한 투영된 벡터 $\mathbf{p}$ 까지의 거리를 계산한다. norm() 함수는 벡터의 크기를 계산하는 함수로, 이를 통해 벡터 간의 유클리드 거리를 구할 수 있다.

정규화된 벡터를 사용한 투영

벡터 투영에서는 종종 단위 벡터를 사용하여 더 간단한 형태의 계산을 수행한다. 벡터 $\mathbf{b}$ 가 단위 벡터로 정규화된 경우, 즉 $\|\mathbf{b}\| = 1$ 일 때, 투영 공식은 더 간단해진다. 이 경우 벡터 $\mathbf{a}$ 를 벡터 $\mathbf{b}$ 에 대해 투영한 결과는 다음과 같다:

$\mathbf{p} = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{b}$

여기서 $\mathbf{b}$ 는 이미 정규화되어 있으므로, 분모에 있는 $\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}$ 는 1이 된다.

정규화된 벡터 사용 시의 Eigen 구현

Eigen 라이브러리를 사용하여 벡터 $\mathbf{b}$ 를 정규화한 뒤 벡터 $\mathbf{a}$ 를 투영하는 예제는 다음과 같다:

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    // Eigen 벡터 정의
    Eigen::Vector3d a(1.0, 2.0, 3.0);
    Eigen::Vector3d b(4.0, 5.0, 6.0);

    // 벡터 b를 정규화
    Eigen::Vector3d b_normalized = b.normalized();

    // 정규화된 벡터 b에 대한 a의 투영
    Eigen::Vector3d projection = (a.dot(b_normalized)) * b_normalized;

    // 결과 출력
    std::cout << "Projection of a onto normalized b: " << projection.transpose() << std::endl;

    return 0;
}

이 코드에서는 벡터 $\mathbf{b}$ 를 normalized() 함수를 사용하여 정규화한 후, 벡터 $\mathbf{a}$ 를 정규화된 $\mathbf{b}$ 에 대해 투영한다. 정규화된 벡터를 사용하면, 투영 계산이 단순해지고 계산의 안정성을 높일 수 있다.

벡터 투영의 응용

벡터 투영은 다양한 분야에서 응용된다. 특히 물리학, 컴퓨터 그래픽스, 신호 처리, 기계 학습 등의 분야에서 많이 사용되며, 이를 통해 데이터를 분석하거나 물체의 움직임을 예측하는 데 유용하다.

1. 기계 학습에서의 응용

기계 학습에서는 벡터 투영이 자주 사용된다. 예를 들어, 선형 회귀에서 데이터 점들을 회귀선으로 투영하는 과정은 벡터 투영과 매우 유사하다. 데이터를 하나의 하이퍼플레인에 맞추기 위해 각 데이터 벡터를 하이퍼플레인에 투영하고, 그 결과로 얻어진 투영 벡터들의 평균 제곱 오차를 최소화하는 것이 목표이다.

2. 컴퓨터 그래픽스에서의 응용

컴퓨터 그래픽스에서는 물체가 카메라에 의해 투영될 때, 화면 좌표계로 변환하는 과정에서 벡터 투영이 사용된다. 3D 공간의 물체는 2D 평면에 투영되어 화면에 나타나게 되며, 이 과정은 벡터 투영을 기반으로 한다.

3. 물리학에서의 응용

물리학에서 힘의 성분을 분석할 때 벡터 투영이 사용된다. 예를 들어, 물체에 작용하는 힘을 두 축으로 나누어 각각의 성분을 구하는 것은 벡터를 축에 대해 투영하는 것과 동일하다. 특히 경사면에서의 운동 분석이나 전기장 내의 입자 운동 분석 등에 벡터 투영이 활용된다.

벡터 투영과 직교 투영

투영 벡터는 여러 종류가 있으며, 그중에서도 가장 일반적인 형태는 직교 투영이다. 직교 투영은 두 벡터가 이루는 각을 고려하지 않고, 단순히 한 벡터를 다른 벡터에 수직으로 내리는 투영 방식이다. 이는 벡터 간의 관계를 분석할 때 매우 유용하다.

직교 투영의 정의

벡터 $\mathbf{a}$ 를 벡터 $\mathbf{b}$ 에 대해 직교 투영하는 경우, $\mathbf{a}$ 에서 $\mathbf{b}$ 와 수직인 성분이 제거되며, 결과는 벡터 $\mathbf{b}$ 방향으로만 남게 된다. 직교 투영은 다음과 같이 정의된다:

$\mathbf{p}_{\text{orth}} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} \mathbf{b}$

여기서, 직교 투영 벡터 $\mathbf{p}_{\text{orth}}$ 는 벡터 $\mathbf{a}$ 에서 벡터 $\mathbf{b}$ 에 수직인 성분이 제거된 벡터이다.

직교 투영의 성질

직교 투영의 중요한 성질 중 하나는 투영된 벡터 $\mathbf{p}_{\text{orth}}$ 와 벡터 $\mathbf{a} - \mathbf{p}_{\text{orth}}$ 가 서로 직교한다는 점이다. 즉, 벡터 $\mathbf{a}$ 에서 $\mathbf{p}_{\text{orth}}$ 를 빼면 남은 벡터는 벡터 $\mathbf{b}$ 와 수직이 된다. 이는 수학적으로 다음과 같이 표현된다:

$(\mathbf{a} - \mathbf{p}_{\text{orth}}) \cdot \mathbf{b} = 0$

직교 투영은 벡터의 직교성을 분석하거나 두 벡터 간의 관계를 직관적으로 파악할 때 매우 유용한 도구이다.

비직교 투영

비직교 투영은 벡터가 특정 방향으로 투영되지만, 투영할 대상이 직교하지 않은 경우를 말한다. 이 경우, 투영은 단순히 벡터를 다른 벡터의 축에 평행하게 투영하는 것이 아니라, 임의의 각도에서 벡터를 다른 벡터 방향으로 투영하는 것을 포함한다.

비직교 투영에서는 두 벡터가 이루는 각도에 대한 고려가 필요하다. 두 벡터 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 가 이루는 각을 $\theta$ 라 할 때, 투영된 벡터 $\mathbf{p}$ 는 다음과 같은 형태로 나타난다:

$\mathbf{p} = \|\mathbf{a}\| \cos(\theta) \hat{\mathbf{b}}$

여기서: - $\|\mathbf{a}\|$ 는 벡터 $\mathbf{a}$ 의 크기, - $\cos(\theta)$ 는 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 사이의 각도 $\theta$ 에 대한 코사인 값, - $\hat{\mathbf{b}}$ 는 단위 벡터 $\mathbf{b}$ 이다.

이 공식은 두 벡터가 직교하지 않는 상황에서, 벡터 $\mathbf{a}$ 의 $\mathbf{b}$ 방향으로의 성분을 구하는 방식이다.

Eigen 라이브러리로 비직교 투영 구현

비직교 투영을 구현하기 위해서는 두 벡터 간의 각도를 고려한 투영 계산이 필요하다. Eigen 라이브러리를 사용하면 이 계산을 쉽게 할 수 있으며, 다음과 같은 코드를 통해 비직교 투영을 구현할 수 있다.

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>
#include <cmath>

int main() {
    // Eigen 벡터 정의
    Eigen::Vector3d a(1.0, 2.0, 3.0);
    Eigen::Vector3d b(4.0, 5.0, 6.0);

    // 벡터 b를 정규화
    Eigen::Vector3d b_normalized = b.normalized();

    // 두 벡터 간의 각도 계산
    double angle_cos = a.dot(b_normalized) / a.norm();
    double angle = std::acos(angle_cos);

    // 비직교 투영 계산
    Eigen::Vector3d projection = (a.norm() * std::cos(angle)) * b_normalized;

    // 결과 출력
    std::cout << "Non-orthogonal projection of a onto b: " << projection.transpose() << std::endl;

    return 0;
}

이 코드는 벡터 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 가 직교하지 않는 상황에서 $\mathbf{a}$ 를 $\mathbf{b}$ 방향으로 투영하는 방법을 보여준다. std::acos() 함수는 두 벡터 사이의 각도를 계산하고, 이를 바탕으로 코사인 값을 활용해 투영 벡터를 계산한다.

직교 투영과 비직교 투영의 비교

직교 투영과 비직교 투영의 주요 차이점은 벡터가 투영되는 방향에 대한 제약 조건이다. 직교 투영에서는 두 벡터가 이루는 각도가 고려되지 않고, 수직으로 투영되기 때문에 결과 벡터는 항상 투영 대상 벡터에 평행하게 나타난다. 반면, 비직교 투영에서는 두 벡터가 이루는 각도가 고려되어야 하며, 결과 벡터는 벡터 간의 각도에 따라 달라진다.

직교 투영의 특성:

투영된 벡터는 항상 투영 대상 벡터와 평행하다.
두 벡터 간의 각도를 고려하지 않는다.
벡터 공간에서 직관적이며, 수직 성분을 제거하는 데 유용하다.

비직교 투영의 특성:

두 벡터 간의 각도를 고려한다.
투영된 벡터는 투영 대상 벡터와 평행하지 않을 수 있다.
보다 복잡한 기하학적 문제에 적합하다.

투영 행렬

벡터 투영은 행렬 연산으로도 표현될 수 있다. 특히, 투영 행렬을 사용하면 임의의 벡터를 행렬 곱셈을 통해 투영할 수 있다. 투영 행렬 $\mathbf{P}$ 는 주어진 벡터 $\mathbf{b}$ 에 대해 다음과 같이 정의된다:

$\mathbf{P} = \frac{\mathbf{b} \mathbf{b}^T}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}$

여기서: - $\mathbf{b}^T$ 는 벡터 $\mathbf{b}$ 의 전치 행렬, - $\mathbf{b} \mathbf{b}^T$ 는 벡터 $\mathbf{b}$ 와 그 전치 행렬의 곱으로, 결과는 행렬이 된다.

이 행렬 $\mathbf{P}$ 를 사용하면, 주어진 벡터 $\mathbf{a}$ 를 $\mathbf{b}$ 에 대해 투영하는 연산은 단순한 행렬 곱으로 표현할 수 있다:

$\mathbf{p} = \mathbf{P} \mathbf{a}$

투영 행렬을 사용한 Eigen 구현

Eigen 라이브러리를 사용하여 투영 행렬을 구현하고, 이를 사용해 벡터 $\mathbf{a}$ 를 벡터 $\mathbf{b}$ 에 대해 투영하는 방법은 다음과 같다:

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>

int main() {
    // Eigen 벡터 정의
    Eigen::Vector3d a(1.0, 2.0, 3.0);
    Eigen::Vector3d b(4.0, 5.0, 6.0);

    // 투영 행렬 계산
    Eigen::Matrix3d projection_matrix = (b * b.transpose()) / b.dot(b);

    // 투영 계산
    Eigen::Vector3d projection = projection_matrix * a;

    // 결과 출력
    std::cout << "Projection of a onto b using projection matrix: " << projection.transpose() << std::endl;

    return 0;
}

이 코드는 투영 행렬을 계산하고, 이를 사용해 벡터 $\mathbf{a}$ 를 벡터 $\mathbf{b}$ 에 대해 투영하는 예제이다. 투영 행렬은 특정 벡터에 대한 투영을 수식적으로 명확히 표현할 수 있는 도구로, 복잡한 벡터 연산을 단순화하는 데 유용하다.