Eigen 라이브러리 - 소프트웨어 융합

정수형 데이터 타입

Eigen 라이브러리에서 정수형 데이터는 주로 행렬 및 벡터의 크기를 정의하거나 반복문에서 인덱스를 나타낼 때 사용된다. 이때 사용되는 주요 정수형 데이터 타입은 int와 long int이다. Eigen은 기본적으로 행렬과 벡터의 인덱스를 32비트 정수형인 int로 처리하지만, 매우 큰 크기의 행렬이나 벡터를 다룰 때는 64비트 정수형인 long int를 사용하는 것이 유리할 수 있다. 그러나 long int를 사용하는 경우 메모리와 성능에 영향을 미칠 수 있으므로 적절하게 선택해야 한다.

행렬의 크기 정의

정수형 데이터 타입은 주로 행렬의 크기를 정의할 때 사용된다. 예를 들어, 크기가 $3 \times 3$ 인 행렬을 정의하려면 다음과 같이 코드로 표현할 수 있다.

Eigen::Matrix<int, 3, 3> mat;

여기서 3, 3은 정수형 값으로 행렬의 행과 열의 크기를 정의한다. Eigen::Matrix<int, 3, 3>은 $3 \times 3$ 정수형 행렬을 나타낸다.

정수형 데이터의 한계와 주의점

정수형 데이터는 고정된 범위를 가지며, 해당 범위를 넘어서는 값은 오버플로우를 일으킬 수 있다. 특히 반복문에서 인덱스가 매우 클 경우, 이런 오버플로우 문제가 발생할 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 코드에서

for (int i = 0; i < n; ++i)
{
    // some operation
}

만약 n이 정수형 변수 i의 최대 값을 넘어선다면, 프로그램의 동작이 비정상적으로 이루어질 수 있다. 이를 방지하기 위해 필요에 따라 long int 또는 size_t 같은 더 큰 정수형 데이터 타입을 사용하는 것이 좋다.

실수형 데이터 타입

Eigen 라이브러리는 다양한 실수형 데이터 타입을 지원한다. 주로 사용되는 실수형 데이터 타입은 float, double 및 long double이다. 이러한 데이터 타입은 부동소수점 연산에 사용되며, 각 데이터 타입은 표현할 수 있는 소수점의 정확도와 범위가 다르다.

`float`

float 타입은 32비트 부동소수점 형식으로, 비교적 적은 메모리 공간을 차지하면서도 빠른 연산 속도를 제공한다. 그러나 소수점 이하 자릿수의 정밀도가 제한적이므로 매우 작은 값이나 큰 값을 다룰 때 오차가 발생할 수 있다. Eigen 라이브러리에서는 다음과 같이 float 타입의 행렬을 정의할 수 있다.

Eigen::Matrix<float, 3, 3> mat;

이는 크기가 $3 \times 3$ 인 float 타입 행렬을 정의한다.

`double`

double 타입은 64비트 부동소수점 형식으로, float에 비해 더 높은 정밀도를 제공한다. 대부분의 과학적 계산이나 엔지니어링 문제에서는 double 타입이 주로 사용된다. 이 타입은 상대적으로 더 많은 메모리를 사용하지만, 정밀도가 더 높고 부동소수점 연산에서 더 안정적이다. Eigen에서 double 타입의 행렬은 다음과 같이 정의된다.

Eigen::Matrix<double, 3, 3> mat;

이는 크기가 $3 \times 3$ 인 double 타입 행렬을 정의한다. 실수형 데이터가 포함된 연산에서 발생할 수 있는 누적 오차를 줄이기 위해 double 타입을 사용하는 것이 일반적이다.

`long double`

long double 타입은 double보다 더 높은 정밀도를 제공하며, 특히 매우 큰 수나 매우 작은 수를 다룰 때 유용하다. 그러나 대부분의 시스템에서 long double은 double보다 두 배 이상의 메모리를 사용하고, 연산 속도가 느려질 수 있다. 따라서 특수한 경우에만 사용하는 것이 좋다. Eigen 라이브러리에서 long double 타입의 행렬을 다음과 같이 정의할 수 있다.

Eigen::Matrix<long double, 3, 3> mat;

이는 크기가 $3 \times 3$ 인 long double 타입 행렬을 정의한다. 하지만 일반적인 계산에서는 double 타입이 충분히 정밀한 결과를 제공하기 때문에, long double은 자주 사용되지 않는다.

실수형 데이터의 정확도와 한계

부동소수점 연산은 오차가 발생할 수 있는 특성이 있다. 이는 실수형 데이터를 2진수로 표현하는 과정에서 일부 값이 정확하게 표현되지 않기 때문이다. 예를 들어, 실수형 데이터 $x$ 에 대해

$x = 0.1$

이라고 할 때, 0.1은 2진수로 정확히 표현될 수 없으므로 계산 중에 미세한 오차가 발생할 수 있다. 이런 오차는 여러 번의 연산이 누적되면 크게 증가할 수 있으며, 특히 행렬 연산에서 이러한 누적 오차는 주의해야 할 요소이다.

복소수형 데이터 타입

Eigen 라이브러리는 복소수형 데이터를 다룰 수 있도록 복소수 데이터 타입을 지원한다. 복소수는 실수부와 허수부로 이루어져 있으며, 수학적으로 다음과 같이 표현된다.

$z = a + bi$

여기서 $a$ 는 실수부, $b$ 는 허수부, $i$ 는 허수 단위이다. Eigen에서는 복소수를 표현하기 위해 std::complex 클래스를 사용하며, 이 클래스를 기반으로 복소수 행렬과 벡터를 정의할 수 있다.

`std::complex<float>`

복소수에서 실수부와 허수부가 모두 float 타입인 경우 std::complex<float>로 복소수를 정의한다. 이때, 복소수는 실수형 float에 대한 부동소수점의 특성을 가지므로, 소수점 이하 자릿수의 정밀도가 제한적이다. Eigen에서 복소수형 행렬을 정의하는 방법은 다음과 같다.

Eigen::Matrix<std::complex<float>, 3, 3> mat;

이 코드는 $3 \times 3$ 크기의 복소수 행렬을 정의하며, 각 요소는 std::complex<float> 타입이다. 복소수의 연산은 실수부와 허수부가 각각 독립적으로 처리되며, 복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈 등의 연산은 아래와 같이 정의된다.

복소수 $z_1 = a_1 + b_1i$ 와 $z_2 = a_2 + b_2i$ 의 덧셈은 다음과 같다.

$z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$

`std::complex<double>`

복소수에서 실수부와 허수부가 double 타입인 경우, std::complex<double> 타입을 사용한다. double 타입은 float에 비해 더 높은 정밀도를 제공하므로, 더 정확한 복소수 연산이 가능한다. Eigen에서 이를 정의하는 방법은 다음과 같다.

Eigen::Matrix<std::complex<double>, 3, 3> mat;

이 코드는 $3 \times 3$ 크기의 복소수 행렬을 정의하며, 각 요소는 std::complex<double> 타입이다. 복소수의 곱셈은 다음과 같이 정의된다.

$z_1 \times z_2 = (a_1 + b_1i) \times (a_2 + b_2i) = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)i$

이 수식을 보면 복소수의 곱셈은 실수부와 허수부의 곱으로 나뉘어 처리된다.

`std::complex<long double>`

복소수에서 실수부와 허수부가 long double 타입인 경우, std::complex<long double> 타입을 사용할 수 있다. 이는 매우 높은 정밀도를 요구하는 연산에 사용되며, 일반적인 계산에서는 자주 사용되지 않는다. long double 타입은 많은 메모리를 사용하므로 성능과 메모리 사용을 고려해야 한다. Eigen에서 이 타입의 행렬을 정의하는 방법은 다음과 같다.

Eigen::Matrix<std::complex<long double>, 3, 3> mat;

이 코드는 $3 \times 3$ 크기의 복소수 행렬을 정의하며, 각 요소는 std::complex<long double> 타입이다.

복소수 연산에서의 주의점

복소수 연산에서는 실수형 데이터의 부동소수점 연산에서 발생하는 오차가 복소수의 실수부와 허수부에 각각 누적될 수 있다. 특히 복잡한 계산을 반복적으로 수행할 경우, 이러한 오차가 더욱 커질 수 있으므로 이를 감안한 계산이 필요하다.

예를 들어, 복소수 행렬의 고유값을 계산할 때, 작은 오차가 고유값이나 고유벡터에 영향을 미칠 수 있다. 이때, double 또는 long double 타입을 사용하여 오차를 최소화할 수 있다.

복소수 행렬 연산의 결과를 시각적으로 확인할 때는 각 요소의 실수부와 허수부를 별도로 다루어야 한다. 필요하다면 허수부가 매우 작은 값으로 수렴하는지 확인해야 하며, 이는 수치적 안정성을 평가하는 데 중요하다.

복소수 행렬과 벡터의 예

복소수 행렬과 벡터는 다양한 수학적 및 물리학적 문제를 해결하는 데 사용된다. 예를 들어, 양자역학에서 복소수는 상태 벡터와 행렬을 표현하는 데 필수적이다. Eigen 라이브러리에서 복소수 행렬을 다루는 기본적인 예시는 다음과 같다.

복소수 벡터 정의

복소수 벡터는 실수 벡터와 유사하게 정의되며, 벡터의 각 요소가 복소수로 구성된다. 예를 들어, 3차원의 복소수 벡터는 다음과 같이 정의할 수 있다.

Eigen::VectorXcd vec(3);  // 복소수(double) 타입의 3차원 벡터
vec(0) = std::complex<double>(1.0, 2.0);  // 실수부 1.0, 허수부 2.0
vec(1) = std::complex<double>(3.0, -1.0); // 실수부 3.0, 허수부 -1.0
vec(2) = std::complex<double>(0.0, 1.5);  // 실수부 0.0, 허수부 1.5

위 코드에서 Eigen::VectorXcd는 크기를 동적으로 결정할 수 있는 복소수 벡터를 정의하며, 각 벡터 요소는 std::complex<double> 타입으로 복소수를 저장한다. 첫 번째 벡터 요소는 $1 + 2i$ , 두 번째 요소는 $3 - i$ , 세 번째 요소는 $1.5i$ 로 구성된다.

복소수 행렬 정의

복소수 행렬 역시 실수 행렬과 유사하게 정의된다. 예를 들어, $2 \times 2$ 복소수 행렬은 다음과 같이 정의할 수 있다.

Eigen::Matrix2cd mat;
mat(0, 0) = std::complex<double>(1.0, 2.0);  // (1 + 2i)
mat(0, 1) = std::complex<double>(3.0, -1.0); // (3 - i)
mat(1, 0) = std::complex<double>(0.0, 1.5);  // (1.5i)
mat(1, 1) = std::complex<double>(-2.0, 0.5); // (-2 + 0.5i)

위 코드에서 Eigen::Matrix2cd는 $2 \times 2$ 크기의 복소수 행렬을 정의한다. 이 행렬의 각 요소는 복소수로 저장되며, 실수부와 허수부를 각각 지정할 수 있다. 이 행렬을 수식으로 나타내면 다음과 같다.

$\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 1 + 2i & 3 - i \\ 1.5i & -2 + 0.5i \end{pmatrix}$

이 복소수 행렬은 양자역학, 전자기학 등의 복소수로 표현되는 수학적 문제에서 유용하게 사용될 수 있다.

복소수 행렬의 연산

복소수 행렬은 실수 행렬과 마찬가지로 덧셈, 뺄셈, 곱셈 등의 연산이 가능한다. 그러나, 각 연산에서 실수부와 허수부가 따로 처리되므로 주의가 필요하다.

덧셈과 뺄셈

복소수 행렬의 덧셈과 뺄셈은 실수 행렬의 경우와 동일한 방식으로 이루어진다. 두 복소수 행렬 $\mathbf{M}_1$ 과 $\mathbf{M}_2$ 가 있을 때, 이들의 덧셈은 다음과 같이 이루어진다.

$\begin{align} \mathbf{M}_1 + \mathbf{M}_2 &= \begin{pmatrix} a_1 + b_1i & c_1 + d_1i \\ e_1 + f_1i & g_1 + h_1i \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_2 + b_2i & c_2 + d_2i \\ e_2 + f_2i & g_2 + h_2i \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i & (c_1 + c_2) + (d_1 + d_2)i \\ (e_1 + e_2) + (f_1 + f_2)i & (g_1 + g_2) + (h_1 + h_2)i \end{pmatrix} \end{align}$

따라서 각 행렬의 대응하는 요소끼리 덧셈을 수행하며, 실수부와 허수부는 각각 독립적으로 계산된다.

행렬 곱셈

복소수 행렬 곱셈은 실수 행렬 곱셈과 유사하지만, 각 요소의 실수부와 허수부가 모두 곱해진다. 두 복소수 행렬 $\mathbf{M}_1$ 과 $\mathbf{M}_2$ 의 곱셈은 다음과 같다.

$\mathbf{M}_1 \times \mathbf{M}_2 = \begin{pmatrix} a_1 + b_1i & c_1 + d_1i \\ e_1 + f_1i & g_1 + h_1i \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a_2 + b_2i & c_2 + d_2i \\ e_2 + f_2i & g_2 + h_2i \end{pmatrix}$

이를 계산하면 실수부와 허수부에 대한 곱셈이 각각 처리되며, 다음과 같은 방식으로 결과가 도출된다.

$\mathbf{M}_1 \times \mathbf{M}_2 = \begin{pmatrix} (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)i & (c_1e_2 - d_1f_2) + (c_1f_2 + d_1e_2)i \\ (e_1a_2 - f_1b_2) + (e_1b_2 + f_1a_2)i & (g_1g_2 - h_1h_2) + (g_1h_2 + h_1g_2)i \end{pmatrix}$

이처럼 복소수 행렬 곱셈은 실수부와 허수부가 서로 영향을 주는 복잡한 연산이다.

복소수 행렬의 켤레 전치

복소수 행렬에서 중요한 연산 중 하나는 켤레 전치이다. 복소수 행렬 $\mathbf{M}$ 의 켤레 전치는 각 요소의 허수부에 대한 부호를 반대로 바꾸고, 행렬을 전치하는 연산이다. 즉, 행렬 $\mathbf{M}$ 의 켤레 전치는 다음과 같이 정의된다.

$\mathbf{M}^H = \overline{\mathbf{M}}^T$

여기서 $\overline{\mathbf{M}}$ 는 행렬 $\mathbf{M}$ 의 각 요소에 대해 허수부의 부호를 반대로 바꾼 켤레 복소수를 의미하며, $T$ 는 전치 연산을 의미한다.

복소수 행렬의 켤레 전치 예

켤레 전치는 신호 처리 및 양자역학에서 중요한 연산으로, 복소수 행렬을 다룰 때 자주 사용된다. 예를 들어, 다음과 같은 복소수 행렬 $\mathbf{M}$ 을 고려해 보자.

$\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 1 + 2i & 3 - i \\ 1.5i & -2 + 0.5i \end{pmatrix}$

이 행렬의 켤레 전치는 다음과 같이 계산된다.

각 요소의 허수부에 대한 부호를 반대로 바꾼다:

$\overline{\mathbf{M}} = \begin{pmatrix} 1 - 2i & 3 + i \\ -1.5i & -2 - 0.5i \end{pmatrix}$

행렬을 전치한다 (행과 열을 바꾼다):

$\mathbf{M}^H = \begin{pmatrix} 1 - 2i & -1.5i \\ 3 + i & -2 - 0.5i \end{pmatrix}$

따라서 $\mathbf{M}$ 의 켤레 전치는 $\mathbf{M}^H$ 가 되며, 이는 행렬의 허수부가 반전된 상태에서 전치된 행렬이다.

복소수 행렬의 고유값 및 고유벡터

복소수 행렬에서도 실수 행렬과 마찬가지로 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)를 계산할 수 있다. 고유값 문제는 다음과 같은 형태로 표현된다.

$\mathbf{M} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$

여기서: - $\mathbf{M}$ 은 복소수 행렬, - $\mathbf{v}$ 는 고유벡터, - $\lambda$ 는 고유값이다.

복소수 행렬에서 고유값과 고유벡터는 실수일 수도, 복소수일 수도 있다. Eigen 라이브러리는 복소수 행렬의 고유값 및 고유벡터를 쉽게 계산할 수 있는 기능을 제공한다. 예를 들어, 복소수 $2 \times 2$ 행렬의 고유값과 고유벡터를 계산하는 코드는 다음과 같다.

Eigen::Matrix2cd mat;
mat(0, 0) = std::complex<double>(1.0, 2.0);
mat(0, 1) = std::complex<double>(3.0, -1.0);
mat(1, 0) = std::complex<double>(0.0, 1.5);
mat(1, 1) = std::complex<double>(-2.0, 0.5);

// 고유값 및 고유벡터 계산
Eigen::EigenSolver<Eigen::Matrix2cd> solver(mat);
auto eigenvalues = solver.eigenvalues();  // 고유값
auto eigenvectors = solver.eigenvectors();  // 고유벡터

위 코드에서 Eigen::EigenSolver 클래스를 사용하여 복소수 행렬의 고유값과 고유벡터를 계산한다. 고유값은 eigenvalues() 함수로, 고유벡터는 eigenvectors() 함수로 얻을 수 있다.

복소수 고유값 문제의 수학적 해석

복소수 행렬 $\mathbf{M}$ 에 대해 고유값 $\lambda$ 와 고유벡터 $\mathbf{v}$ 는 다음과 같은 성질을 만족한다.

$\mathbf{M} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$

여기서 $\mathbf{v}$ 는 $\mathbf{M}$ 의 변환에 대해 자기 자신이 크기만 변하는 벡터를 의미하며, $\lambda$ 는 그 크기를 나타내는 스칼라 값이다. 복소수 행렬의 고유값은 일반적으로 복소수이며, 실수 고유값도 나타날 수 있다. 예를 들어, 복소수 행렬이 대칭인 경우 실수 고유값을 가질 가능성이 높다.

복소수 행렬의 대각화

복소수 행렬도 실수 행렬과 마찬가지로 대각화가 가능한다. 행렬 $\mathbf{M}$ 이 다음과 같이 대각화될 수 있다고 가정해 봅시다.

$\mathbf{M} = \mathbf{P} \mathbf{D} \mathbf{P}^{-1}$

여기서: - $\mathbf{D}$ 는 고유값을 대각선으로 가지는 대각행렬, - $\mathbf{P}$ 는 고유벡터를 열 벡터로 가지는 행렬이다.

대각화는 행렬의 고유값 문제를 간소화하고, 복잡한 행렬 연산을 효율적으로 처리할 수 있는 방법이다. 복소수 행렬도 고유값과 고유벡터를 사용하여 대각화할 수 있다. Eigen 라이브러리에서 복소수 행렬을 대각화하는 방법은 다음과 같다.

Eigen::Matrix2cd mat;
// 행렬 mat 정의

Eigen::EigenSolver<Eigen::Matrix2cd> solver(mat);
Eigen::Matrix2cd D = solver.eigenvalues().asDiagonal();  // 대각행렬
Eigen::Matrix2cd P = solver.eigenvectors();  // 고유벡터 행렬
Eigen::Matrix2cd P_inv = P.inverse();  // 고유벡터 행렬의 역행렬

Eigen::Matrix2cd M_diag = P * D * P_inv;  // 대각화된 행렬

위 코드에서 asDiagonal() 함수를 사용하여 고유값을 대각선으로 가지는 대각행렬 $\mathbf{D}$ 를 생성한다. 그 후, 고유벡터 행렬 $\mathbf{P}$ 와 그 역행렬 $\mathbf{P}^{-1}$ 를 계산하여 $\mathbf{M}$ 의 대각화된 행렬을 구한다.

대각화의 유용성

복소수 행렬의 대각화는 복잡한 연산을 단순화하는 데 매우 유용하다. 예를 들어, 복소수 행렬의 지수 행렬을 계산할 때, 대각화된 행렬을 사용하면 계산이 훨씬 간단해진다. $\mathbf{M}$ 이 대각화되었을 때, 그 지수 행렬 $e^{\mathbf{M}}$ 은 다음과 같이 계산할 수 있다.

$e^{\mathbf{M}} = \mathbf{P} e^{\mathbf{D}} \mathbf{P}^{-1}$

여기서 $e^{\mathbf{D}}$ 는 대각행렬 $\mathbf{D}$ 의 각 대각 성분에 대해 지수 함수가 적용된 행렬이다. 대각행렬에 대해 지수 함수를 적용하는 것은 매우 간단하므로, 전체 행렬에 대한 지수 계산이 크게 간소화된다.

복소수 행렬의 고유값 분해와 응용

복소수 행렬의 고유값 분해는 많은 물리적, 공학적 문제를 해결하는 데 필수적이다. 특히, 복소수 행렬의 고유값은 안정성 분석, 신호 처리, 양자역학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다. 이 섹션에서는 복소수 행렬의 고유값 분해와 그 응용에 대해 자세히 설명하겠다.

복소수 행렬의 고유값 분해

복소수 행렬 $\mathbf{M}$ 의 고유값 분해는 다음과 같이 표현된다.

$\mathbf{M} = \mathbf{V} \mathbf{\Lambda} \mathbf{V}^{-1}$

여기서: - $\mathbf{V}$ 는 $\mathbf{M}$ 의 고유벡터들로 이루어진 행렬, - $\mathbf{\Lambda}$ 는 고유값을 대각 성분으로 가지는 대각행렬, - $\mathbf{V}^{-1}$ 는 $\mathbf{V}$ 의 역행렬이다.

고유값 분해를 통해 복소수 행렬을 단순화할 수 있으며, 특히 복잡한 연산을 처리하는데 효율적으로 사용할 수 있다.

고유값 분해를 활용한 행렬의 거듭제곱

고유값 분해는 행렬의 거듭제곱 연산을 매우 효율적으로 수행할 수 있게 해준다. 예를 들어, 복소수 행렬 $\mathbf{M}$ 의 $n$ 제곱을 계산해야 할 경우, 다음과 같은 방법을 사용할 수 있다.

먼저, 행렬 $\mathbf{M}$ 을 고유값 분해한다:

$\mathbf{M} = \mathbf{V} \mathbf{\Lambda} \mathbf{V}^{-1}$

그런 다음, $\mathbf{M}^n$ 은 다음과 같이 계산된다:

$\mathbf{M}^n = \mathbf{V} \mathbf{\Lambda}^n \mathbf{V}^{-1}$

여기서 $\mathbf{\Lambda}^n$ 는 대각행렬 $\mathbf{\Lambda}$ 의 각 대각 성분에 대해 $n$ 제곱을 적용한 대각행렬이다.

예: 복소수 행렬의 거듭제곱 계산

복소수 행렬 $\mathbf{M}$ 의 고유값 분해를 활용하여 $\mathbf{M}^n$ 을 계산하는 방법을 예로 들면 다음과 같다.

Eigen::Matrix2cd mat;
mat(0, 0) = std::complex<double>(1.0, 2.0);
mat(0, 1) = std::complex<double>(3.0, -1.0);
mat(1, 0) = std::complex<double>(0.0, 1.5);
mat(1, 1) = std::complex<double>(-2.0, 0.5);

// 고유값 분해
Eigen::EigenSolver<Eigen::Matrix2cd> solver(mat);
Eigen::Matrix2cd V = solver.eigenvectors();  // 고유벡터 행렬
Eigen::Matrix2cd Lambda = solver.eigenvalues().asDiagonal();  // 고유값 대각행렬
Eigen::Matrix2cd V_inv = V.inverse();

// 행렬의 거듭제곱 계산 (예: 3제곱)
Eigen::Matrix2cd M_pow_3 = V * Lambda.pow(3) * V_inv;

위 코드에서 Lambda.pow(3)는 대각행렬 $\mathbf{\Lambda}$ 의 각 대각 성분에 대해 3제곱을 수행한 결과를 반환한다. 그 후, 고유벡터 행렬 $V$ 와 그 역행렬 $V^{-1}$ 을 곱하여 $\mathbf{M}^3$ 을 계산할 수 있다.

복소수 행렬의 지수 함수

고유값 분해는 행렬의 지수 함수 계산에도 유용하다. 행렬의 지수 함수는 다음과 같이 정의된다.

$e^{\mathbf{M}} = \mathbf{V} e^{\mathbf{\Lambda}} \mathbf{V}^{-1}$

여기서 $e^{\mathbf{\Lambda}}$ 는 대각행렬 $\mathbf{\Lambda}$ 의 각 대각 성분에 대해 지수 함수 $e^x$ 를 적용한 대각행렬이다. 이를 통해 복잡한 복소수 행렬의 지수 계산이 간단해진다.

예: 복소수 행렬의 지수 함수 계산

복소수 행렬의 지수 함수를 계산하는 방법은 다음과 같다.

Eigen::Matrix2cd mat;
mat(0, 0) = std::complex<double>(1.0, 2.0);
mat(0, 1) = std::complex<double>(3.0, -1.0);
mat(1, 0) = std::complex<double>(0.0, 1.5);
mat(1, 1) = std::complex<double>(-2.0, 0.5);

// 고유값 분해
Eigen::EigenSolver<Eigen::Matrix2cd> solver(mat);
Eigen::Matrix2cd V = solver.eigenvectors();
Eigen::Matrix2cd Lambda = solver.eigenvalues().asDiagonal();
Eigen::Matrix2cd V_inv = V.inverse();

// 행렬 지수 함수 계산
Eigen::Matrix2cd exp_M = V * Lambda.array().exp().matrix().asDiagonal() * V_inv;

이 코드에서 Lambda.array().exp()는 대각행렬 $\mathbf{\Lambda}$ 의 각 대각 성분에 대해 지수 함수 $e^x$ 를 적용한 결과를 반환한다. 고유값 분해를 통해 복소수 행렬의 지수 함수를 효율적으로 계산할 수 있다.

복소수 행렬의 특이값 분해(SVD)

복소수 행렬의 또 다른 중요한 분해 방법은 특이값 분해(Singular Value Decomposition, SVD)이다. 특이값 분해는 복소수 행렬을 세 개의 행렬의 곱으로 분해한다. 특이값 분해는 특히 데이터 분석과 신호 처리에서 중요한 역할을 한다.

복소수 행렬 $\mathbf{M}$ 에 대해, 특이값 분해는 다음과 같이 표현된다.

$\mathbf{M} = \mathbf{U} \mathbf{\Sigma} \mathbf{V}^H$

여기서: - $\mathbf{U}$ 는 유니터리 행렬, - $\mathbf{\Sigma}$ 는 대각 성분이 특이값으로 구성된 대각행렬, - $\mathbf{V}^H$ 는 $\mathbf{V}$ 의 켤레 전치 행렬이다.

특이값 분해는 고유값 분해와 다르게 모든 행렬에 대해 항상 존재하며, 데이터 압축, 잡음 제거, 신호 복원 등 다양한 응용에 사용된다.

특이값 분해의 예

Eigen 라이브러리에서 복소수 행렬에 대한 특이값 분해를 수행하는 방법은 다음과 같다.

Eigen::Matrix2cd mat;
mat(0, 0) = std::complex<double>(1.0, 2.0);
mat(0, 1) = std::complex<double>(3.0, -1.0);
mat(1, 0) = std::complex<double>(0.0, 1.5);
mat(1, 1) = std::complex<double>(-2.0, 0.5);

// 특이값 분해
Eigen::JacobiSVD<Eigen::Matrix2cd> svd(mat, Eigen::ComputeFullU | Eigen::ComputeFullV);
Eigen::Matrix2cd U = svd.matrixU();  // 유니터리 행렬 U
Eigen::Matrix2cd V = svd.matrixV();  // 유니터리 행렬 V
Eigen::Vector2d S = svd.singularValues();  // 특이값

위 코드에서 JacobiSVD 클래스를 사용하여 복소수 행렬의 특이값 분해를 수행할 수 있다. 결과로 얻은 $\mathbf{U}$ , $\mathbf{V}$ , $\mathbf{\Sigma}$ 는 각각 특이값 분해의 요소를 나타낸다.