설치 및 환경 설정 - 소프트웨어 융합

Eigen 라이브러리는 고성능 선형 대수 연산을 제공하는 C++ 템플릿 라이브러리로, 행렬 및 벡터 연산을 비롯하여 다양한 수학적 연산을 효율적으로 수행할 수 있다. Eigen을 사용하기 위해서는 먼저 환경 설정과 설치 과정을 정확하게 이해해야 한다. 이 섹션에서는 Eigen 라이브러리를 설치하고 환경을 설정하는 방법에 대해 설명하겠다.

설치 방법

Eigen 라이브러리는 헤더 온리(header-only) 라이브러리이다. 즉, 라이브러리 자체를 설치할 필요 없이, 프로젝트에서 헤더 파일을 포함하는 것만으로도 사용할 수 있다. Eigen의 설치는 크게 두 가지 방법으로 나뉜다:

패키지 매니저를 사용한 설치
소스 코드 직접 다운로드 및 설치

패키지 매니저를 사용한 설치

대부분의 리눅스 배포판에서는 apt, yum 등의 패키지 매니저를 통해 Eigen을 간편하게 설치할 수 있다. 이 방법은 Eigen을 최신 버전이 아니더라도 손쉽게 설치할 수 있다는 장점이 있다.

Ubuntu를 기준으로 한 설치 명령어는 다음과 같다:

sudo apt-get install libeigen3-dev

이 명령어는 eigen3 디렉토리에 필요한 헤더 파일들을 설치한다. 설치 후, #include <Eigen/Dense>와 같은 방법으로 헤더 파일을 포함할 수 있다.

소스 코드 직접 다운로드 및 설치

패키지 매니저에서 제공하는 버전보다 최신 버전을 사용하거나 특정한 목적을 위해 소스 코드를 직접 관리하고 싶은 경우, Eigen의 공식 GitHub 저장소나 Eigen 공식 홈페이지에서 소스 코드를 다운로드할 수 있다.

git clone https://gitlab.com/libeigen/eigen.git

다운로드한 후에는 프로젝트 디렉토리에서 Eigen 헤더 파일들을 참조할 수 있도록 설정해야 한다. 다운로드한 디렉토리 내의 Eigen 서브디렉토리를 프로젝트의 헤더 파일 경로에 추가한다. 이를 위해 다음과 같은 명령어를 프로젝트의 빌드 시스템에 추가할 수 있다.

CMake에서의 설정: cmake include_directories("/path/to/eigen")
Makefile에서의 설정: make CXXFLAGS += -I/path/to/eigen

환경 설정

C++ 프로젝트에서의 Eigen 설정

Eigen은 헤더 파일만 포함하면 바로 사용할 수 있기 때문에 별도의 빌드 과정은 필요 없다. 그러나 프로젝트에서 적절한 환경 설정을 통해 효율적인 개발 환경을 구성할 수 있다.

CMake와 Makefile은 대표적으로 사용되는 빌드 시스템이다. Eigen을 사용하는 프로젝트에서는 프로젝트의 빌드 시스템에서 헤더 경로를 설정하고, 필요에 따라 특정 옵션을 활성화할 수 있다.

CMake를 이용한 설정

CMake는 C++ 프로젝트에서 널리 사용되는 빌드 시스템이다. Eigen 라이브러리를 사용하는 프로젝트를 CMake로 설정할 때는 다음과 같은 방식으로 헤더 파일 경로를 추가한다:

먼저, find_package 명령을 사용하여 Eigen을 찾는다. 만약 시스템에 Eigen이 설치되어 있다면 CMake는 이를 자동으로 검색한다.

cmake find_package(Eigen3 REQUIRED)

이후, target_link_libraries를 통해 라이브러리를 링크한다. 그러나 Eigen은 헤더 온리 라이브러리이므로, 실제로는 링크할 대상이 없다. 대신 target_include_directories로 헤더 파일 경로를 명시해준다:

cmake target_include_directories(${PROJECT_NAME} PRIVATE${EIGEN3_INCLUDE_DIR})

이로써 CMake를 통해 프로젝트 내에서 Eigen을 사용할 준비가 완료된다. CMake는 프로젝트의 모든 파일에서 #include <Eigen/Dense>를 통해 Eigen 헤더 파일을 사용할 수 있도록 환경을 구성한다.

Makefile을 이용한 설정

Makefile을 사용하는 프로젝트에서 Eigen을 설정하는 과정은 매우 간단한다. Makefile의 컴파일 옵션에 헤더 파일 경로를 추가하는 방식이다. 다음은 간단한 예시이다:

CXX = g++
CXXFLAGS = -I/path/to/eigen

main: main.o
    $(CXX) -o main main.o$(CXXFLAGS)

main.o: main.cpp
    $(CXX) -c main.cpp$(CXXFLAGS)

이 설정을 통해, main.cpp 파일에서 Eigen 헤더 파일을 사용할 수 있다.

IDE에서의 환경 설정

Eigen을 사용하는 C++ 프로젝트를 개발할 때, IDE를 활용하면 더욱 편리하게 개발할 수 있다. 대표적인 C++ IDE로는 Visual Studio, CLion, Eclipse CDT 등이 있다. 각 IDE에서 Eigen을 설정하는 방법은 다음과 같다.

Visual Studio에서 Eigen 설정

Visual Studio에서 Eigen 라이브러리를 사용하려면, 프로젝트 설정에 헤더 파일 경로를 추가해야 한다. Visual Studio에서는 다음과 같은 절차로 설정할 수 있다:

프로젝트 속성(Project Properties)으로 이동한다.
C/C++ → 일반(General) 항목으로 이동하여 추가 포함 디렉터리(Additional Include Directories)에 Eigen 헤더 파일 경로를 추가한다. 예를 들어, 소스 코드를 다운로드한 경우 C:/path/to/eigen과 같은 경로를 추가한다.
확인(OK) 버튼을 눌러 설정을 저장하고, 프로젝트에서 Eigen을 사용할 수 있다.

이제 프로젝트 내에서 #include <Eigen/Dense>와 같은 방식으로 Eigen 라이브러리를 사용할 수 있다.

CLion에서 Eigen 설정

CLion은 기본적으로 CMake를 사용하여 프로젝트를 관리하므로, 이전에 설명한 CMake 설정 방법을 그대로 적용할 수 있다. 다음은 CLion에서 Eigen을 설정하는 방법이다:

프로젝트의 CMakeLists.txt 파일을 엽니다.
find_package(Eigen3 REQUIRED)와 target_include_directories 명령을 추가하여 Eigen 헤더 파일 경로를 지정한다.
CLion은 CMakeLists.txt를 자동으로 분석하고, 설정한 헤더 파일 경로를 사용하여 Eigen 라이브러리를 참조한다.

이후 CLion의 코드 편집기에서 Eigen 관련 함수 및 클래스에 대한 자동 완성 기능과 오류 탐지가 활성화된다.

Eclipse CDT에서 Eigen 설정

Eclipse CDT에서도 Eigen을 사용하기 위해 헤더 파일 경로를 지정해야 한다. Eclipse에서 설정하는 방법은 다음과 같다:

프로젝트 속성(Project Properties)을 엽니다.
C/C++ General → Paths and Symbols로 이동한다.
Includes 탭에서 GNU C++을 선택한 후, Add 버튼을 클릭하여 Eigen 헤더 파일 경로를 추가한다.
소스 코드 다운로드 경로나 패키지 매니저를 통해 설치된 경로를 지정한다. 예를 들어, /usr/include/eigen3와 같은 경로를 추가한다.

이 설정을 완료한 후, 프로젝트 내에서 Eigen을 사용할 수 있다.

Eigen의 디렉토리 구조

Eigen 라이브러리는 다양한 기능을 제공하며, 이를 효율적으로 관리하기 위해 헤더 파일들이 여러 디렉토리에 분산되어 있다. 주요 디렉토리 구조는 다음과 같다:

eigen/
│
├── Dense
├── Core
├── Geometry
├── LU
├── Cholesky
├── SVD
├── QR
└── Eigenvalues

각각의 디렉토리는 Eigen에서 제공하는 특정 기능을 담당한다. 예를 들어:

Dense: 기본적인 밀집 행렬 연산과 벡터 연산을 위한 헤더 파일들이 위치한다.
Core: 기본적인 선형 대수 연산을 지원하는 핵심적인 헤더 파일들이 포함되어 있다.
Geometry: 3D 변환, 회전 행렬, 쿼터니언과 같은 기하학적 연산에 관련된 헤더 파일들이 포함된다.
LU, Cholesky, SVD, QR: 각각 LU 분해, Cholesky 분해, 특이값 분해(SVD), QR 분해에 관련된 기능을 제공한다.
Eigenvalues: 행렬의 고유값과 고유벡터를 구하는 데 필요한 함수들이 포함되어 있다.

각 헤더 파일은 필요에 따라 선택적으로 포함하여 사용할 수 있으며, #include <Eigen/Dense>와 같은 방식으로 모든 기능을 한 번에 가져오는 방법도 가능한다.

벡터와 행렬의 선언

Eigen에서는 벡터와 행렬을 선언하는 것이 매우 직관적이다. VectorXd, MatrixXd 등의 클래스 템플릿을 사용하여 다양한 크기의 벡터와 행렬을 선언할 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 코드로 크기가 3인 벡터를 선언할 수 있다:

Eigen::Vector3d v;

이 코드는 3차원 실수 벡터를 선언한다. 만약 3x3 실수 행렬을 선언하고 싶다면, 다음과 같이 작성할 수 있다:

Eigen::Matrix3d m;

보다 일반적인 크기의 벡터나 행렬을 선언할 때는 다음과 같은 템플릿을 사용할 수 있다:

Eigen::VectorXd v(n);  // 크기가 n인 벡터
Eigen::MatrixXd m(n, m);  // 크기가 n x m인 행렬

여기서 $n$ 과 $m$ 은 행렬의 행과 열을 나타낸다.

행렬과 벡터의 기본 연산

Eigen에서는 행렬과 벡터의 기본적인 연산이 매우 간단하게 처리된다. 예를 들어, 덧셈, 뺄셈, 곱셈 등의 연산은 직관적인 연산자 오버로딩을 통해 C++ 코드에서 자연스럽게 사용할 수 있다.

벡터 연산

다음은 Eigen을 사용하여 벡터 간의 기본적인 연산을 수행하는 예시이다:

Eigen::Vector3d v1(1.0, 2.0, 3.0);
Eigen::Vector3d v2(4.0, 5.0, 6.0);

// 벡터 덧셈
Eigen::Vector3d v3 = v1 + v2;

// 벡터 스칼라 곱
Eigen::Vector3d v4 = v1 * 2.0;

// 벡터 내적
double dot_product = v1.dot(v2);

// 벡터 외적
Eigen::Vector3d cross_product = v1.cross(v2);

위 코드는 벡터의 덧셈, 스칼라 곱, 내적, 외적 연산을 보여준다. 벡터 내적은 dot() 함수를, 외적은 cross() 함수를 통해 수행된다. 또한, 스칼라 곱은 * 연산자를 사용하여 쉽게 구현할 수 있다.

행렬 연산

행렬에 대해서도 마찬가지로 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 전치 등의 연산을 매우 간단하게 수행할 수 있다:

Eigen::Matrix3d m1;
m1 << 1, 2, 3,
      4, 5, 6,
      7, 8, 9;

Eigen::Matrix3d m2;
m2 << 9, 8, 7,
      6, 5, 4,
      3, 2, 1;

// 행렬 덧셈
Eigen::Matrix3d m3 = m1 + m2;

// 행렬 곱셈
Eigen::Matrix3d m4 = m1 * m2;

// 행렬 전치
Eigen::Matrix3d m5 = m1.transpose();

위 코드에서 << 연산자는 행렬에 값을 한 번에 할당하는 데 사용된다. 행렬 간의 덧셈, 곱셈 연산은 각각 +와 * 연산자를 통해 간단하게 수행되며, 행렬의 전치는 transpose() 함수를 사용하여 수행할 수 있다.

행렬과 벡터 곱셈

Eigen에서 행렬과 벡터의 곱셈은 자연스러운 방식으로 처리된다. 다음은 $3 \times 3$ 행렬과 3차원 벡터 간의 곱셈 예시이다:

Eigen::Matrix3d m;
m << 1, 2, 3,
     4, 5, 6,
     7, 8, 9;

Eigen::Vector3d v(1, 2, 3);

// 행렬과 벡터 곱셈
Eigen::Vector3d result = m * v;

위 코드는 행렬 $\mathbf{m}$ 와 벡터 $\mathbf{v}$ 의 곱을 계산한다. 수학적으로 이는 다음과 같은 연산에 해당한다:

$\mathbf{m} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ 32 \\ 50 \end{pmatrix}$

이처럼, Eigen에서는 행렬과 벡터 간의 곱셈도 직관적으로 작성할 수 있다.

메모리 관리와 성능 최적화

Eigen은 성능을 극대화하기 위해 메모리 관리와 관련하여 여러 가지 최적화 기능을 제공한다. 특히, 자동으로 표현식을 평가하지 않고, 이를 늦추는 방식을 사용하여 불필요한 메모리 할당을 줄이는 지연 평가(Lazy Evaluation)가 중요한 역할을 한다.

지연 평가

지연 평가란, 연산을 즉시 수행하지 않고, 필요할 때까지 연산을 미루는 방식이다. 이로 인해 메모리 사용을 최소화하면서도 효율적으로 연산을 수행할 수 있다.

예를 들어, 다음과 같은 코드를 고려해 봅시다:

Eigen::MatrixXd m1(1000, 1000);
Eigen::MatrixXd m2(1000, 1000);
Eigen::MatrixXd m3(1000, 1000);

// 세 행렬의 덧셈
Eigen::MatrixXd result = m1 + m2 + m3;

일반적으로는 두 행렬의 덧셈 결과를 먼저 계산한 후, 그 결과와 다른 행렬을 다시 더하는 방식으로 진행된다. 그러나 Eigen에서는 지연 평가를 통해 중간 결과를 저장하지 않고, 최종 결과만 계산할 수 있다. 이를 통해 중간에 불필요한 메모리 사용을 피할 수 있다.

메모리 정렬

Eigen은 성능을 높이기 위해 메모리 정렬(memory alignment)을 지원한다. Eigen에서 사용되는 모든 동적 할당된 메모리는 16바이트 경계로 정렬되며, 이를 통해 SIMD(단일 명령 다중 데이터) 명령어 세트를 효율적으로 사용할 수 있다.

다음은 정렬된 메모리를 사용하는 예시이다:

Eigen::Matrix<float, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic, Eigen::AutoAlign> matrix;

Eigen::AutoAlign 옵션은 메모리를 자동으로 정렬하여 성능을 최적화한다.

Eigen에서의 블록 연산

행렬의 일부 블록에 접근하고 연산하는 것은 수치 해석에서 매우 중요한 작업이다. Eigen은 이러한 블록 연산을 쉽게 처리할 수 있는 기능을 제공한다. 이를 통해 큰 행렬을 작은 부분으로 나누어 처리하거나, 부분 행렬을 수정할 수 있다.

블록 접근

Eigen에서 블록을 접근하기 위해서는 block() 함수를 사용할 수 있다. 이 함수는 행렬의 특정 부분에 접근할 수 있도록 해준다. 다음은 블록 접근의 예시이다:

Eigen::Matrix4d m;
m << 1, 2, 3, 4,
     5, 6, 7, 8,
     9, 10, 11, 12,
     13, 14, 15, 16;

// 2x2 블록에 접근
Eigen::Matrix2d sub_matrix = m.block<2, 2>(1, 1);

위 코드는 $4 \times 4$ 행렬에서 $2 \times 2$ 블록을 추출하는 예시이다. m.block<2, 2>(1, 1)은 행렬 $m$ 에서 (1, 1) 위치에서 시작하는 $2 \times 2$ 크기의 부분 행렬을 추출한다. 결과는 다음과 같다:

$\mathbf{sub\_matrix} = \begin{pmatrix} 6 & 7 \\ 10 & 11 \end{pmatrix}$

블록 수정

블록 연산을 통해 행렬의 특정 부분을 수정할 수도 있다. 다음은 특정 블록을 수정하는 예시이다:

Eigen::Matrix4d m;
m << 1, 2, 3, 4,
     5, 6, 7, 8,
     9, 10, 11, 12,
     13, 14, 15, 16;

// 2x2 블록에 값 할당
m.block<2, 2>(1, 1) << 0, 0,
                       0, 0;

위 코드는 $m$ 행렬의 (1, 1) 위치에서 시작하는 $2 \times 2$ 블록에 새로운 값을 할당한다. 수정된 행렬은 다음과 같다:

$\mathbf{m} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 0 & 0 & 8 \\ 9 & 0 & 0 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{pmatrix}$

이처럼, 블록 연산을 사용하면 큰 행렬의 부분적인 연산을 매우 효율적으로 처리할 수 있다.

행 및 열 추출

Eigen에서는 행렬의 특정 행이나 열에 쉽게 접근할 수 있는 함수도 제공한다. row()와 col() 함수를 사용하여 행렬의 특정 행 또는 열에 접근할 수 있다.

예를 들어, $3 \times 3$ 행렬의 첫 번째 행과 두 번째 열을 추출하려면 다음과 같이 작성할 수 있다:

Eigen::Matrix3d m;
m << 1, 2, 3,
     4, 5, 6,
     7, 8, 9;

// 첫 번째 행 추출
Eigen::Vector3d first_row = m.row(0);

// 두 번째 열 추출
Eigen::Vector3d second_col = m.col(1);

위 코드에서 m.row(0)은 첫 번째 행인 $\mathbf{[1, 2, 3]}$ 을, m.col(1)은 두 번째 열인 $\mathbf{[2, 5, 8]}$ 을 각각 반환한다.

행렬 대각선 접근

Eigen에서는 행렬의 대각선 요소에 접근하거나 대각선 요소를 설정하는 것도 매우 간단한다. 다음은 대각선 접근과 수정의 예시이다:

Eigen::Matrix3d m;
m << 1, 2, 3,
     4, 5, 6,
     7, 8, 9;

// 대각선 추출
Eigen::Vector3d diag = m.diagonal();

// 대각선 수정
m.diagonal() << 10, 11, 12;

위 코드에서 m.diagonal() 함수는 행렬 $m$ 의 대각선 요소인 $\mathbf{[1, 5, 9]}$ 을 추출한다. 또한, 대각선을 수정하여 $10, 11, 12$ 로 변경할 수 있다. 수정된 행렬은 다음과 같다:

$\mathbf{m} = \begin{pmatrix} 10 & 2 & 3 \\ 4 & 11 & 6 \\ 7 & 8 & 12 \end{pmatrix}$

고급 분해 기법

Eigen은 다양한 행렬 분해 기법을 제공한다. 이러한 기법들은 선형 시스템의 해를 구하거나, 고유값 문제를 해결하는 데 필수적이다. Eigen이 제공하는 주요 분해 기법으로는 LU 분해, QR 분해, Cholesky 분해, SVD (특이값 분해) 등이 있다.

LU 분해

LU 분해는 행렬을 하삼각 행렬(Lower triangular matrix)과 상삼각 행렬(Upper triangular matrix)로 분해하는 방법이다. Eigen에서는 PartialPivLU 클래스가 LU 분해를 수행한다.

Eigen::Matrix3d m;
m << 2, -1, 0,
     -1, 2, -1,
     0, -1, 2;

Eigen::PartialPivLU<Eigen::Matrix3d> lu(m);
Eigen::Matrix3d L = lu.matrixL();
Eigen::Matrix3d U = lu.matrixU();

위 코드는 행렬 $m$ 에 대해 LU 분해를 수행한다. 결과는 다음과 같이 하삼각 행렬 $L$ 과 상삼각 행렬 $U$ 로 나뉜다.

QR 분해

QR 분해는 행렬을 직교 행렬 $\mathbf{Q}$ 와 상삼각 행렬 $\mathbf{R}$ 로 분해하는 방법이다. QR 분해는 선형 시스템의 해를 구하는 데 매우 유용하다. Eigen에서는 HouseholderQR 클래스를 사용하여 QR 분해를 수행한다.

Eigen::MatrixXd m(3, 2);
m << 1, 2,
     3, 4,
     5, 6;

Eigen::HouseholderQR<Eigen::MatrixXd> qr(m);
Eigen::MatrixXd Q = qr.householderQ();
Eigen::MatrixXd R = qr.matrixQR().template triangularView<Eigen::Upper>();

이 코드는 $\mathbf{Q}$ 와 $\mathbf{R}$ 을 구하는 과정이다.

Cholesky 분해

Cholesky 분해는 양의 정부호(positive definite) 행렬을 하삼각 행렬과 그 전치 행렬의 곱으로 분해하는 방법이다. 이 분해는 주로 대칭 행렬이나 양의 정부호 행렬을 다룰 때 사용된다. Eigen에서는 LLT 클래스와 LDLT 클래스를 사용하여 Cholesky 분해를 수행할 수 있다.

LLT 분해

LLT 분해는 행렬을 하삼각 행렬 $\mathbf{L}$ 과 그 전치 행렬 $\mathbf{L}^T$ 로 분해하는 방식이다.

다음은 LLT 분해를 수행하는 예시이다:

Eigen::Matrix3d m;
m << 4, 1, 2,
     1, 2, 0,
     2, 0, 3;

Eigen::LLT<Eigen::Matrix3d> llt(m);
Eigen::Matrix3d L = llt.matrixL();

위 코드는 $\mathbf{m}$ 행렬에 대해 LLT 분해를 수행한다. 행렬 $\mathbf{L}$ 은 하삼각 행렬로, 다음과 같은 형태로 나타난다:

$\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0.5 & 1.3228756555322954 & 0 \\ 1 & -0.3779644730092272 & 1.4907119849998598 \end{pmatrix}$

이때 $\mathbf{m}$ 은 $\mathbf{L} \mathbf{L}^T$ 로 표현될 수 있다.

LDLT 분해

LDLT 분해는 $\mathbf{m}$ 을 하삼각 행렬 $\mathbf{L}$ , 대각 행렬 $\mathbf{D}$ , 그리고 $\mathbf{L}^T$ 로 분해하는 방식이다. LDLT 분해는 Cholesky 분해와 유사하지만, 대칭이지만 양의 정부호가 아닌 행렬에도 적용 가능한다.

다음은 LDLT 분해를 수행하는 예시이다:

Eigen::Matrix3d m;
m << 4, 1, 2,
     1, 2, 0,
     2, 0, 3;

Eigen::LDLT<Eigen::Matrix3d> ldlt(m);
Eigen::Matrix3d L = ldlt.matrixL();
Eigen::Matrix3d D = ldlt.vectorD().asDiagonal();

이 코드는 행렬 $\mathbf{m}$ 에 대해 LDLT 분해를 수행하고, 하삼각 행렬 $\mathbf{L}$ 과 대각 행렬 $\mathbf{D}$ 를 구하는 과정을 보여준다.

SVD (특이값 분해)

SVD는 행렬을 세 개의 행렬의 곱으로 분해하는 방법으로, 수치 해석에서 매우 중요한 기법이다. 특이값 분해는 다음과 같은 형태로 행렬을 분해한다:

$\mathbf{A} = \mathbf{U} \mathbf{\Sigma} \mathbf{V}^T$

여기서: - $\mathbf{U}$ 는 직교 행렬이다. - $\mathbf{\Sigma}$ 는 대각 행렬로, 대각선에는 특이값이 들어간다. - $\mathbf{V}$ 는 직교 행렬이다.

Eigen에서는 JacobiSVD 클래스를 사용하여 특이값 분해를 수행한다.

다음은 SVD를 수행하는 예시이다:

Eigen::MatrixXd m(3, 2);
m << 1, 0,
     0, 1,
     1, 1;

Eigen::JacobiSVD<Eigen::MatrixXd> svd(m, Eigen::ComputeThinU | Eigen::ComputeThinV);
Eigen::MatrixXd U = svd.matrixU();
Eigen::MatrixXd S = svd.singularValues().asDiagonal();
Eigen::MatrixXd V = svd.matrixV();

이 코드는 행렬 $\mathbf{m}$ 에 대해 SVD를 수행하고, $\mathbf{U}$ , $\mathbf{\Sigma}$ , $\mathbf{V}$ 행렬을 추출한다. 특이값 분해는 주로 차원 축소나 데이터 분석에서 사용되며, 매우 중요한 역할을 한다.

고유값 분해

고유값 분해는 정사각 행렬의 고유값과 고유벡터를 구하는 방법이다. 고유값과 고유벡터는 선형 시스템의 해석, 미분 방정식의 해 구하기, 안정성 분석 등에 사용된다.

Eigen에서는 EigenSolver 클래스를 사용하여 고유값 분해를 수행할 수 있다.

다음은 고유값 분해를 수행하는 예시이다:

Eigen::Matrix3d m;
m << 1, 2, 3,
     0, 4, 5,
     0, 0, 6;

Eigen::EigenSolver<Eigen::Matrix3d> solver(m);
Eigen::Vector3d eigenvalues = solver.eigenvalues().real();
Eigen::Matrix3d eigenvectors = solver.eigenvectors().real();

위 코드는 행렬 $\mathbf{m}$ 의 고유값과 고유벡터를 계산하는 과정이다. 고유값은 $\mathbf{eigenvalues}$ 에, 고유벡터는 $\mathbf{eigenvectors}$ 에 저장된다. 계산된 고유값은 대각 행렬의 대각선에 위치하며, 고유벡터는 행렬의 열로 배치된다.

수치 안정성과 연산 정확도

Eigen 라이브러리는 다양한 수치 해석 문제를 효율적으로 해결할 수 있지만, 수치 안정성과 연산 정확도에도 주의가 필요하다. 특히 큰 행렬이나 조건 수가 나쁜 행렬을 다룰 때는 부동소수점 오차나 불안정성이 발생할 수 있다.

조건 수

행렬의 조건 수는 행렬이 얼마나 민감한지를 나타내는 지표이다. 조건 수가 크면 수치적으로 불안정한 행렬일 가능성이 높다. 조건 수는 다음과 같이 계산된다:

$\kappa(\mathbf{A}) = \|\mathbf{A}\| \|\mathbf{A}^{-1}\|$

Eigen에서 조건 수를 계산하는 방법은 다음과 같다:

Eigen::MatrixXd m(2, 2);
m << 1, 2,
     3, 4;

double cond = m.jacobiSvd().singularValues()(0) / m.jacobiSvd().singularValues()(1);

위 코드는 SVD를 사용하여 행렬의 조건 수를 계산하는 방법을 보여준다.

정규 방정식과 안정성

일반적으로, 선형 시스템을 풀 때는 직접적인 역행렬 계산을 피해야 한다. 대신, LU 분해, QR 분해, Cholesky 분해와 같은 분해 기법을 사용하는 것이 수치적으로 더 안정적이다.

정규 방정식 $\mathbf{A}^T \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{A}^T \mathbf{b}$ 를 사용하는 것은 수치적으로 불안정할 수 있으며, 가급적 QR 분해나 SVD를 사용하는 것이 좋다. 이를 통해 계산의 안정성과 정확도를 높일 수 있다.