이득 여유와 위상 여유의 해석

이득 여유 (Gain Margin)

이득 여유는 폐루프 시스템이 불안정해지기 전까지 시스템의 이득을 얼마나 더 증가시킬 수 있는지를 나타내는 값이다. 일반적으로 이득 여유는 보드(Bode) 도표나 나이퀴스트(Nyquist) 도표에서 확인할 수 있다. 폐루프 시스템의 안정성은 루프 전달 함수(Loop Transfer Function)의 이득이 특정 값 이상으로 증가할 경우에 영향을 받을 수 있다.

이득 여유는 주파수 응답에서 위상이 $-180^\circ$ 일 때의 이득에 의해 결정되며, 이 지점에서의 이득이 얼마만큼 여유가 있는지 계산한다. 수학적으로는 위상이 $-180^\circ$ 일 때의 진폭이 $A_m$ 이라고 하면, 이득 여유는 다음과 같이 정의된다:

$GM = \frac{1}{A_m}$

이득 여유가 1보다 크면 시스템은 여전히 안정적인 상태에 있으며, 1에 가까울수록 불안정성이 증가한다. 또한 이득 여유가 음수일 경우 시스템은 이미 불안정한 상태임을 의미한다.

위상 여유 (Phase Margin)

위상 여유는 주파수 응답에서 진폭이 1일 때, 위상이 $-180^\circ$ 까지 얼마나 여유가 있는지를 나타내는 값이다. 위상 여유는 폐루프 시스템이 위상 지연이 얼마나 더 증가해도 안정성을 유지할 수 있는지 측정하는 지표로 사용된다. 위상 여유가 클수록 시스템은 보다 안정적인 상태에 있다고 할 수 있으며, 작아질수록 불안정한 상태에 가까워진다.

위상 여유는 진폭이 1일 때의 위상 각을 $\phi_m$ 이라고 할 때, 위상 여유 $\text{PM}$ 은 다음과 같이 정의된다:

$PM = 180^\circ + \phi_m$

위상 여유가 $0^\circ$ 보다 크면 시스템은 안정성을 유지하고 있으며, $0^\circ$ 에 가까워지면 불안정성이 증가한다. 반면, 위상 여유가 음수일 경우 시스템은 불안정하다는 의미이다.

주파수 응답 해석

이득 여유와 위상 여유는 모두 시스템의 주파수 응답에서 중요한 역할을 한다. 특히 이 두 값은 시스템이 주어진 설계에서 얼마나 안정한지를 평가하는 기준으로 사용된다. 이를 통해 시스템의 성능을 개선하거나 안정성을 강화하기 위한 설계 조정을 할 수 있다.

이득 여유와 위상 여유의 해석 방법

이득 여유와 위상 여유는 보드(Bode) 도표나 나이퀴스트(Nyquist) 도표를 통해 주로 분석된다. 이 두 도표는 주파수 응답 특성을 시각적으로 나타내며, 이를 통해 시스템의 안정성이나 동특성을 쉽게 파악할 수 있다.

보드 도표에서의 해석

보드 도표는 주파수 응답을 진폭 응답과 위상 응답으로 나누어 표시한 그래프이다. 여기서 이득 여유와 위상 여유는 각각의 주파수에서 시스템이 얼마나 여유가 있는지를 나타내는 중요한 값으로 사용된다.

이득 여유 해석: 보드 도표에서 위상이 $-180^\circ$ 가 되는 지점을 찾는다. 이 지점에서의 진폭을 $A_m$ 이라 하며, 이득 여유는 $\frac{1}{A_m}$ 로 계산된다. 예를 들어, 진폭이 0dB에서 10dB로 증가하면 이득 여유는 감소하게 된다.
위상 여유 해석: 보드 도표에서 진폭이 1, 즉 0dB인 지점을 찾는다. 이 지점에서의 위상각을 $\phi_m$ 이라고 하며, 위상 여유는 $180^\circ + \phi_m$ 로 계산된다. 위상 여유가 작으면 시스템이 불안정해질 가능성이 높아지며, $0^\circ$ 에 가까운 경우 시스템이 매우 불안정한 상태에 있음을 의미한다.

나이퀴스트 도표에서의 해석

나이퀴스트 도표는 복소평면 상에서 주파수 응답을 나타낸 그래프이다. 시스템의 전달 함수 $\mathbf{H}(j\omega)$ 가 원점을 얼마나 감싸는지에 따라 시스템의 안정성을 평가할 수 있다.

이득 여유 해석: 나이퀴스트 도표에서 곡선이 실수축을 교차할 때, 즉 위상이 $-180^\circ$ 인 지점에서의 거리로 이득 여유를 측정한다. 이 거리가 짧을수록 이득 여유가 작아지며, 시스템이 불안정해질 위험이 커진다.
위상 여유 해석: 나이퀴스트 도표에서 진폭이 1인 점을 찾고, 이 점에서의 곡선과 실수축 사이의 각도로 위상 여유를 측정한다. 이 값이 작을수록 위상 여유가 작으며, 시스템이 불안정해질 가능성이 높다.

해석 시 고려사항

이득 여유와 위상 여유는 시스템 설계에서 매우 중요한 요소로, 적절한 값을 확보하는 것이 시스템의 안정성을 보장하는 데 필수적이다. 특히, 시스템이 외부의 교란이나 내부의 모델 불확실성에 대해 얼마나 강건하게 대응할 수 있는지 평가하는 기준으로 이 두 값이 자주 사용된다.

이득 여유는 일반적으로 6dB 이상이면 안정적인 것으로 간주되며, 시스템 설계 시 최소한 이 정도의 여유를 확보하는 것이 좋다.
위상 여유는 보통 $30^\circ$ 에서 $60^\circ$ 사이가 안정적인 상태로 간주된다.

이러한 기준을 통해 시스템의 안정성을 확보하고, 설계 과정에서 발생할 수 있는 불확실성이나 비선형성에 대한 대비를 할 수 있다.