나이퀴스트 안정성 기준은 주파수 응답을 기반으로 한 시스템의 안정성 판단 방법이다. 이 기준은 주파수 영역에서 시스템의 개루프 전달 함수(open-loop transfer function)를 분석하여 폐루프 시스템(closed-loop system)의 안정성을 판단한다. 나이퀴스트 안정성 기준은 주로 피드백 제어 시스템(feedback control system)의 안정성을 평가할 때 사용되며, 주파수 도메인에서 복소 평면(complex plane)을 이용해 시스템의 성질을 시각적으로 이해할 수 있다.

복소 평면에서의 분석

나이퀴스트 안정성 기준은 시스템의 개루프 전달 함수 G(s)와 피드백 전달 함수 H(s)가 이루는 개루프 전달 함수 G(s)H(s)의 주파수 응답을 복소 평면에서 분석하여 시스템의 안정성을 평가한다.

개루프 전달 함수의 일반적인 형태는 다음과 같다:

\mathbf{L}(s) = G(s) H(s)

여기서 G(s)는 제어기(controller)나 플랜트(plant)의 전달 함수, H(s)는 센서(sensor)의 전달 함수를 의미한다.

나이퀴스트 경로 (Nyquist Path)

나이퀴스트 안정성 기준은 주파수 영역에서 복소 평면 상의 경로를 분석하는 과정이다. 복소 평면에서 나이퀴스트 경로는 다음과 같은 경로로 정의된다:

s = j\omega \quad (-\infty < \omega < \infty)

즉, 주파수 영역에서 s는 허수 축(imaginary axis)을 따라 이동하며, 이를 나이퀴스트 도표(Nyquist Plot)에 투영하게 된다.

폐루프 시스템과 극점

나이퀴스트 안정성 기준은 폐루프 시스템의 극점(poles)과 관련된 중요한 정보를 제공한다. 폐루프 전달 함수는 다음과 같이 정의된다:

\mathbf{T}(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)}

폐루프 시스템의 안정성은 이 전달 함수에서 특성 방정식(characteristic equation)의 해인 극점의 위치에 의해 결정된다. 특성 방정식은 다음과 같이 정의된다:

1 + G(s) H(s) = 0

나이퀴스트 안정성 기준은 이 특성 방정식의 해인 폐루프 극점이 왼쪽 복소 평면(left-half complex plane)에 모두 위치하는지를 주파수 응답을 통해 판단한다.

나이퀴스트 도표의 해석

나이퀴스트 도표는 G(j\omega)H(j\omega)를 복소 평면에 플로팅한 것으로, 이를 통해 시스템의 안정성을 시각적으로 판단할 수 있다. 나이퀴스트 도표에서 중요한 점은 -1점을 기준으로 시스템의 응답이 어떻게 분포하는가이다.

안정성과 감싸는 법칙 (Encirclement Rule)

나이퀴스트 안정성 기준의 핵심은 복소 평면에서의 감싸는 법칙이다. 나이퀴스트 도표가 복소 평면의 -1점을 감싸는 방식에 따라 시스템의 안정성을 다음과 같이 결정할 수 있다:

이때, Z는 P와 N의 관계로 표현된다:

Z = P + N

이 식을 통해 폐루프 시스템의 극점 개수를 결정할 수 있으며, 안정성 여부는 이 극점들이 모두 왼쪽 복소 평면에 위치하는지에 따라 판단된다.

폐루프 시스템의 조건

폐루프 시스템이 안정하려면 다음과 같은 조건을 만족해야 한다: - 개루프 전달 함수의 극점(P)이 오른쪽 복소 평면에 없을 경우 (P = 0), 나이퀴스트 도표는 -1점을 한 번도 감싸지 않아야 한다. 즉, N = 0이어야 한다. - 개루프 전달 함수가 불안정한 경우 (P > 0), 나이퀴스트 도표는 P번 -1점을 반시계 방향으로 감싸야 한다. 즉, N = -P이어야 한다.

샘플 나이퀴스트 도표의 시각적 표현

나이퀴스트 안정성 기준을 설명하기 위해 예시로 나이퀴스트 도표를 mermaid를 활용하여 시각적으로 보여줄 수 있다. 예를 들어, 간단한 G(s)H(s)에 대한 나이퀴스트 도표를 그리면 다음과 같다:

graph TD; A["jω 축"] -->|나이퀴스트 경로| B["복소 평면 상의 경로"]; B --> C["-1 점 감싸는 법칙"]; C --> D["N: 감싸는 횟수"]; C --> E["P: 개루프 극점"]; D --> F["Z = P + N"];

나이퀴스트 도표와 시스템 응답의 예시

나이퀴스트 도표는 주파수 응답에 따라 시스템의 거동을 시각적으로 표현하는데 유용하다. 아래는 단순한 G(s)H(s)의 나이퀴스트 도표 예시이다. 이 예시는 G(s)H(s)의 특정 주파수 범위에서 어떻게 변하는지를 보여준다.

복소 평면에서 주파수가 낮을 때와 높을 때의 시스템 응답을 나이퀴스트 도표에서 확인할 수 있으며, 주파수가 증가할수록 시스템의 응답은 점차 복잡해진다. 이러한 나이퀴스트 도표는 시스템의 불안정성이 어디서 발생할 수 있는지를 확인하는 중요한 도구이다.

나이퀴스트 기준 적용 방법

나이퀴스트 안정성 기준을 실제 시스템에 적용하는 과정은 다음과 같다:

  1. 개루프 전달 함수 G(s)H(s)를 분석하여 주파수 응답을 구한다. 이때 s = j\omega로 설정하여 허수축을 따라 주파수 응답을 구하는 것이 일반적이다.

예를 들어, 개루프 전달 함수가 다음과 같이 주어졌다고 가정하자:

\mathbf{L}(s) = \frac{k}{s(s+1)}

여기서 k는 시스템 이득을 나타내며, s는 라플라스 변수이다.

  1. 주파수 응답 G(j\omega)H(j\omega)를 복소 평면에 플롯한다. 이 과정에서 주파수 \omega가 0에서 무한대까지 변함에 따라 복소 평면의 나이퀴스트 경로를 추적한다.

  2. 나이퀴스트 도표가 복소 평면에서 -1점을 몇 번 감싸는지를 확인한다. 감싸는 횟수를 계산하여 시스템의 안정성을 평가할 수 있다.

  3. 개루프 시스템의 우반복 복소 평면 내 극점의 개수 P를 확인한다. 이를 통해 감싸는 횟수 N을 고려하여 폐루프 시스템의 안정성을 결정한다.

나이퀴스트 도표에서의 주요 특성

나이퀴스트 도표를 해석할 때 주목해야 할 주요 특성은 다음과 같다:

나이퀴스트 기준의 실제 적용 사례

나이퀴스트 안정성 기준은 다양한 분야에서 사용되며, 특히 전기 시스템, 모터 제어, 로봇 제어, 네트워크 제어 시스템 등에서 널리 활용된다. 예를 들어, 모터 제어 시스템에서 나이퀴스트 기준을 적용하여 시스템의 안정성을 보장하는 것이 중요하다. 이 경우, 모터의 동특성 및 제어기의 응답을 복소 평면 상에서 주파수 도메인으로 분석하여 최적의 안정성을 유지한다.

나이퀴스트 기준의 장점과 한계

장점:

한계: