과도 응답의 감쇠 및 진동 해석

과도 응답 분석은 제어 시스템에서 중요한 부분으로, 시스템이 입력에 어떻게 반응하는지 이해하는 데 중점을 둔다. 특히, 감쇠와 진동은 시스템의 동작을 설명하는 핵심 요소 중 하나이다. 시스템의 과도 응답에서 중요한 특징 중 하나는 감쇠 비(damping ratio)와 자연 진동수(natural frequency)를 통해 시스템의 진동 성분을 파악하는 것이다.

감쇠 비의 정의

감쇠 비는 시스템의 과도 응답에서 진동의 감소율을 나타내는 중요한 매개변수이다. 이를 통해 시스템이 얼마나 빠르게 안정 상태로 수렴하는지 알 수 있다. 감쇠 비 $\zeta$ 는 다음과 같이 정의된다.

$\zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}}$

여기서,

$c$ 는 감쇠 계수 (damping coefficient),
$m$ 은 시스템의 질량 (mass),
$k$ 는 시스템의 스프링 상수 (spring constant)이다.

감쇠 비에 따라 시스템의 반응이 달라지며, 주로 다음과 같이 분류된다.

$\zeta = 0$ : 비감쇠 시스템 (Undamped system)
$0 < \zeta < 1$ : 저감쇠 시스템 (Underdamped system)
$\zeta = 1$ : 임계 감쇠 시스템 (Critically damped system)
$\zeta > 1$ : 과감쇠 시스템 (Overdamped system)

감쇠 진동의 일반 해

저감쇠 시스템 ( $0 < \zeta < 1$ )의 경우, 시스템의 응답은 진동을 포함하게 된다. 이때 시스템의 응답을 설명하는 일반 해는 다음과 같다.

$x(t) = A e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t + \phi)$

여기서,

$A$ 는 진폭 (amplitude),
$\omega_n$ 는 자연 진동수 (natural frequency),
$\omega_d = \omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}$ 는 감쇠 진동수 (damped frequency),
$\phi$ 는 위상각 (phase angle)이다.

이 식은 감쇠된 진동이 시간이 지남에 따라 점차적으로 감소하며, 결국 진동이 사라지고 시스템이 안정 상태로 돌아오는 과정을 설명한다.

감쇠 비와 과도 응답의 관계

감쇠 비는 시스템의 과도 응답 형태를 결정하는 중요한 매개변수이다. 감쇠 비 $\zeta$ 가 0에 가까운 경우, 시스템은 더 많은 진동을 가지며 천천히 안정 상태에 도달한다. 반면 $\zeta$ 가 1에 가까워지면, 진동 없이 빠르게 안정 상태에 도달하게 된다. 이러한 관계는 시스템의 설계 시 중요한 고려 사항이 된다.

감쇠 비가 시스템의 특성에 미치는 영향은 다음과 같이 요약할 수 있다.

비감쇠 시스템 ( $\zeta = 0$ ) : 시스템이 진동하며, 진폭이 일정하게 유지된다. 이 경우에는 에너지 손실이 없기 때문에 감쇠가 발생하지 않는다.
저감쇠 시스템 ( $0 < \zeta < 1$ ) : 시스템이 진동하지만, 진폭이 시간이 지남에 따라 감소한다. 감쇠 비가 낮을수록 진폭이 천천히 감소하고, 높을수록 더 빨리 감소한다.
임계 감쇠 시스템 ( $\zeta = 1$ ) : 진동이 발생하지 않으며, 가장 빠르게 안정 상태에 도달하는 응답을 나타낸다.
과감쇠 시스템 ( $\zeta > 1$ ) : 진동이 발생하지 않지만, 임계 감쇠 시스템보다 더 느리게 안정 상태에 도달한다.

감쇠 및 진동 해석을 위한 시스템 모델

과도 응답의 감쇠 및 진동을 해석하기 위해, 일반적으로 2차 시스템을 많이 사용한다. 2차 시스템은 제어 이론에서 기본적인 모델로, 다음과 같은 형태의 전달 함수를 갖는다.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

여기서,

$\omega_n$ 은 자연 진동수,
$\zeta$ 는 감쇠 비이다.

이 시스템의 과도 응답을 분석하기 위해서는 입력에 따른 출력의 동작을 살펴봐야 한다. 주로 단위 계단 입력에 대한 응답이 분석의 기준이 된다.

4.1. 단위 계단 입력에 대한 응답

단위 계단 입력은 다음과 같이 표현된다.

$u(t) = \begin{cases} 1 & t \geq 0 \\ 0 & t < 0 \end{cases}$

이 입력에 대한 시스템의 출력 $y(t)$ 는 다음과 같은 형태로 나타난다.

$y(t) = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \sin \left( \omega_d t + \phi \right)$

여기서, $\omega_d$ 는 감쇠된 진동수로, 다음과 같이 정의된다.

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}$

이 식은 시스템이 시간에 따라 감쇠된 진동을 겪으며 점차적으로 안정 상태에 도달함을 보여준다.

4.2. 시간적 특성

2차 시스템의 과도 응답에서 중요한 시간적 특성은 다음과 같다.

상승 시간 ( $t_r$ ): 응답이 처음으로 목표 값에 도달하는 시간이다. 이는 감쇠 비에 따라 달라진다.
최대 오버슈트 ( $M_p$ ): 응답이 목표 값을 초과하는 최대 값이다. 감쇠 비가 작을수록 오버슈트가 크게 나타난다.
정착 시간 ( $t_s$ ): 응답이 목표 값의 일정 범위 내에 머무르게 되는 시간이다. 일반적으로 2% 또는 5% 기준으로 정착 시간을 계산한다.

이러한 시간적 특성은 시스템의 성능을 평가하는 데 중요한 지표가 된다. 특히 감쇠 비와 자연 진동수는 시스템의 과도 응답을 설계하는 데 있어 핵심적인 역할을 한다.

진동 해석

진동 해석은 시스템의 과도 응답에서 필수적인 부분이다. 특히 감쇠 비가 $0 < \zeta < 1$ 인 저감쇠 시스템의 경우, 과도 응답에서 진동이 발생하며, 이를 해석하는 것은 매우 중요하다.

5.1. 진동 주기와 진동수

저감쇠 시스템에서 진동이 발생할 때, 진동의 주기와 진동수를 계산하는 것은 진동 해석의 기본이다. 진동 주기 $T_d$ 와 진동수 $f_d$ 는 다음과 같이 정의된다.

$T_d = \frac{2\pi}{\omega_d}$

$f_d = \frac{1}{T_d} = \frac{\omega_d}{2\pi}$

여기서,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}$ 는 감쇠된 진동수이다.

진동 주기 $T_d$ 는 시스템이 한 주기를 완성하는 데 걸리는 시간을 의미하며, 진동수 $f_d$ 는 주어진 시간 내에 몇 번의 진동이 발생하는지를 나타낸다.

5.2. 최대 오버슈트와 감쇠 비의 관계

저감쇠 시스템에서 과도 응답은 목표 값보다 더 큰 값을 초과한 후, 다시 안정 상태로 수렴하는 과정을 거치며, 이때 발생하는 최대 초과치가 오버슈트 $M_p$ 이다. 오버슈트는 감쇠 비와 밀접한 관계가 있으며, 감쇠 비에 따라 오버슈트의 크기가 결정된다. 오버슈트는 다음과 같이 계산된다.

$M_p = e^{\left( -\frac{\pi \zeta}{\sqrt{1 - \zeta^2}} \right)} \times 100 \%$

여기서,

$\zeta$ 는 감쇠 비이다.

감쇠 비가 작을수록 오버슈트가 커지며, 감쇠 비가 증가할수록 오버슈트는 줄어든다. 이러한 관계는 시스템의 안정성과 응답 속도를 동시에 고려해야 하는 설계 상황에서 중요한 요소이다.

5.3. 감쇠 비와 자연 진동수의 상호작용

감쇠 비 $\zeta$ 와 자연 진동수 $\omega_n$ 는 시스템의 과도 응답에 결정적인 영향을 미친다. 자연 진동수는 시스템이 진동할 때의 고유 진동수이며, 감쇠 비는 이 진동이 얼마나 빨리 감쇠되는지를 나타낸다. 일반적으로 자연 진동수가 높을수록 응답 속도가 빨라지며, 감쇠 비가 커질수록 진동이 더 빠르게 감쇠된다.

저감쇠 시스템에서 진동 해석은 주로 두 가지 측면에서 이루어진다.

응답 속도: 자연 진동수 $\omega_n$ 가 높을수록 시스템이 빠르게 반응하며, 응답 시간이 짧아진다.
감쇠 속도: 감쇠 비 $\zeta$ 가 클수록 시스템의 진동이 더 빨리 사라진다.

이 두 매개변수는 시스템의 성능을 결정하는 중요한 요소이며, 이들의 상호작용을 통해 시스템의 동적 특성을 설계할 수 있다.