안정성 기준 (Routh-Hurwitz 등)

Routh-Hurwitz 안정성 기준의 개요

Routh-Hurwitz 안정성 기준은 시스템의 특성 방정식의 근이 모두 좌반평면(Left Half Plane, LHP)에 존재할 때 시스템이 안정하다는 것을 확인하는 방법이다. 이는 폐루프 제어 시스템에서 중요한 안정성 평가 도구로 사용된다. 특성 방정식이 주어졌을 때, 이 방법을 통해 근들이 우반평면(Right Half Plane, RHP)에 있거나 허수축에 존재하는지 여부를 판단할 수 있다.

특성 방정식은 일반적으로 다음과 같이 주어진다:

$P(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0 = 0$

이때, $P(s)$ 는 시스템의 특성 방정식이며, 안정성을 평가하는데 중요한 역할을 한다.

Routh 배열의 구성

Routh-Hurwitz 안정성 기준의 핵심은 주어진 특성 방정식으로부터 Routh 배열을 구성하는 것이다. Routh 배열은 특성 방정식의 계수를 이용하여 행렬 형태로 배열한 후, 그 행렬의 첫 번째 열의 부호 변화를 통해 시스템의 안정성을 결정한다.

특성 방정식 $P(s)$ 의 계수 $a_0, a_1, \dots, a_n$ 를 이용하여 Routh 배열을 구성하는 방식은 다음과 같다:

첫 번째 행:

$a_n, a_{n-2}, a_{n-4}, \dots$

두 번째 행:

$a_{n-1}, a_{n-3}, a_{n-5}, \dots$

세 번째 행부터는 상위 두 행의 계수를 이용하여 계산된다. 일반적으로 세 번째 행의 첫 번째 항목 $b_1$ 은 다음과 같은 방식으로 계산된다:

$b_1 = \frac{a_{n-1} \cdot a_{n-2} - a_n \cdot a_{n-3}}{a_{n-1}}$

이와 같은 방식으로 Routh 배열을 완성한다.

안정성 판별

Routh 배열의 첫 번째 열의 부호 변화를 통해 시스템의 안정성을 판별한다. 첫 번째 열에 부호 변화가 없으면 시스템은 안정하고, 부호 변화가 있을 경우 시스템은 불안정하다. 부호 변화의 횟수는 우반평면에 있는 근의 개수를 나타낸다.

Routh 배열을 작성하는 과정에서 첫 번째 열에 0이 발생할 수 있다. 이 경우 추가적인 계산법을 사용해야 하며, 이는 Routh 배열의 특수 상황에서 설명된다.

Routh 배열에서 0이 발생할 경우

Routh 배열을 구성하는 과정에서 첫 번째 열에 0이 발생하는 경우, 직접적으로 다음 행의 값을 계산할 수 없으므로 추가적인 처리 과정이 필요하다. 이때 0이 발생하는 상황은 두 가지로 나뉜다.

1. 첫 번째 열에 단순한 0이 발생하는 경우

이 경우, 0 대신 매우 작은 값 $\epsilon$ 을 대체하여 배열을 계속해서 작성한 후, $\epsilon \rightarrow 0$ 으로 수렴하는 과정에서 안정성을 분석한다. 이 방법은 연속성을 보장하여 배열을 완성할 수 있게 해준다.

예를 들어, 세 번째 행의 첫 번째 항목이 0일 경우:

$b_1 = \frac{a_{n-1} \cdot a_{n-2} - a_n \cdot a_{n-3}}{a_{n-1}} = 0$

이 상황에서 $b_1$ 대신 $\epsilon$ 을 대입하여 후속 계산을 수행한다.

2. 전체 행이 0이 되는 경우

특정 행에서 첫 번째 열이 0일 뿐만 아니라 나머지 요소들 역시 모두 0이 되는 경우는, 시스템에 허수 축 상의 근이 있음을 나타낸다. 이 경우 특성 방정식을 해석하여 새로운 보조 방정식을 작성하고, 이를 통해 Routh 배열을 재구성해야 한다.

만약 $s = 0$ 이 포함된 전체 행이 발생했다면, 그 다음 행은 다음 방정식을 이용하여 재구성한다:

$Q(s) = s^k (b_2 s^2 + b_1 s + b_0)$

여기서 $Q(s)$ 는 특성 방정식의 남은 부분을 나타내는 보조 방정식이다. 이를 이용해 새로운 Routh 배열을 만들 수 있다.

Routh-Hurwitz 기준의 한계

Routh-Hurwitz 안정성 기준은 매우 유용하지만, 몇 가지 한계점이 있다. 첫째, 이 방법은 시스템이 안정한지 여부를 판별할 수 있지만, 근들이 정확히 어디에 위치하는지는 알 수 없다. 즉, 근의 위치를 구체적으로 계산하지 않고, 시스템이 안정한지 불안정한지 여부만을 확인할 수 있다. 둘째, 비선형 시스템에는 직접적으로 적용할 수 없으므로, 이 경우 다른 안정성 해석 기법을 사용해야 한다.

Routh-Hurwitz 기준은 선형 시스템의 안정성 해석에 매우 유용한 도구로, 주로 시스템의 과도 응답과 정상 상태 안정성 평가에 많이 사용된다. 시스템 모델링 후 주어진 특성 방정식으로 Routh 배열을 구성하고, 이 배열을 통해 안정성을 빠르게 평가할 수 있다.