1차 및 2차 시스템의 동적 특성

1차 시스템의 동적 특성

1차 시스템은 기본적으로 다음과 같은 형태의 미분 방정식으로 표현된다:

$\tau \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = K u(t)$

여기서 $\tau$ 는 시스템의 시정수, $K$ 는 시스템의 이득, $u(t)$ 는 입력 신호, $y(t)$ 는 출력 신호이다. 이 미분 방정식을 라플라스 변환하면 다음과 같이 표현된다:

$(\tau s + 1) Y(s) = K U(s)$

이로부터 1차 시스템의 전달함수는 다음과 같이 정의된다:

$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{K}{\tau s + 1}$

계단 응답 분석

1차 시스템의 계단 응답은 입력 $u(t) = 1(t)$ (단위 계단 함수)일 때 시스템의 출력을 분석하는 것을 의미한다. 라플라스 변환에서 단위 계단 함수는 $U(s) = \frac{1}{s}$ 로 표현되므로, 계단 입력에 대한 출력은 다음과 같이 구할 수 있다:

$Y(s) = G(s) U(s) = \frac{K}{\tau s + 1} \cdot \frac{1}{s} = \frac{K}{s(\tau s + 1)}$

이 식을 부분 분수로 분해하면:

$Y(s) = \frac{K}{\tau} \left( \frac{1}{s} - \frac{1}{\tau s + 1} \right)$

이를 시간 영역으로 변환하면:

$y(t) = K \left( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right)$

이는 1차 시스템의 계단 응답을 나타낸다. 중요한 동적 특성으로는 시스템의 시정수 $\tau$ 가 있다. 시정수 $\tau$ 는 시스템이 최종 값의 약 63.2%에 도달하는 시간으로 정의된다.

2차 시스템의 동적 특성

2차 시스템은 다음과 같은 형태의 미분 방정식으로 표현된다:

$\frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 2 \zeta \omega_n \frac{dy(t)}{dt} + \omega_n^2 y(t) = \omega_n^2 u(t)$

여기서 $\omega_n$ 은 고유 진동수, $\zeta$ 는 감쇠 비율, $u(t)$ 는 입력 신호, $y(t)$ 는 출력 신호이다. 이를 라플라스 변환하면 다음과 같은 전달함수를 얻는다:

$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

계단 응답 분석

2차 시스템의 계단 응답은 입력 $u(t) = 1(t)$ 일 때 시스템의 응답을 나타낸다. 라플라스 변환에서 계단 입력은 $U(s) = \frac{1}{s}$ 로 표현되므로 출력은 다음과 같다:

$Y(s) = G(s) U(s) = \frac{\omega_n^2}{s(s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2)}$

이 방정식을 시간 영역으로 변환하여 해석할 수 있다. 감쇠 비율 $\zeta$ 에 따라 응답의 형태가 크게 달라지는데, $\zeta = 1$ 이면 임계 감쇠, $\zeta > 1$ 이면 과도 감쇠, $\zeta < 1$ 이면 저감쇠 또는 진동 응답이 발생한다.

2차 시스템의 계단 응답은 다음과 같이 정의할 수 있다:

과감쇠 응답 ( $\zeta > 1$ )
임계 감쇠 응답 ( $\zeta = 1$ )
저감쇠 응답 ( $\zeta < 1$ )에서, 감쇠 비율이 작을수록 시스템은 더 많이 진동하고, 최종 값에 도달하기까지 더 많은 시간이 소요된다.

저감쇠 시스템의 응답

저감쇠 시스템( $0 < \zeta < 1$ )에서는 계단 응답이 다음과 같은 식으로 표현된다:

$y(t) = 1 - e^{-\zeta \omega_n t} \left( \cos(\omega_d t) + \frac{\zeta}{\sqrt{1 - \zeta^2}} \sin(\omega_d t) \right)$

여기서 $\omega_d = \omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}$ 는 감쇠된 진동수이다.

임계 감쇠 시스템의 응답

임계 감쇠 시스템( $\zeta = 1$ )의 경우, 시스템은 빠르게 최종 값에 도달하지만 진동 없이 점차적으로 안정화된다. 임계 감쇠에서의 계단 응답은 다음과 같은 식으로 표현된다:

$y(t) = 1 - (1 + \omega_n t) e^{-\omega_n t}$

이 응답은 진동이 없고, 최대 오버슈트가 발생하지 않으며, 시스템이 안정적으로 최종 값에 수렴한다. 시스템이 빠르게 안정되므로 실제 제어 시스템에서 많이 사용된다.

과감쇠 시스템의 응답

과감쇠 시스템( $\zeta > 1$ )에서는 감쇠가 매우 커서 시스템이 매우 느리게 최종 값에 도달한다. 과감쇠 시스템의 계단 응답은 다음과 같이 표현된다:

$y(t) = 1 - \frac{e^{-\omega_n (\zeta - \sqrt{\zeta^2 - 1}) t}}{2\sqrt{\zeta^2 - 1}} - \frac{e^{-\omega_n (\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}) t}}{2\sqrt{\zeta^2 - 1}}$

이 시스템의 특성은 진동 없이 천천히 안정화되며, 너무 큰 감쇠 비율로 인해 응답 속도가 매우 느려진다.

동적 특성 분석

2차 시스템에서 중요한 동적 특성으로는 오버슈트, 상승 시간, 정착 시간, 감쇠 비율 등이 있다.

오버슈트: 저감쇠 시스템에서 일어나는 현상으로, 출력이 목표 값을 초과하여 일시적으로 높은 값을 가지는 것을 의미한다. 이는 주로 감쇠 비율 $\zeta$ 에 의해 결정되며, 감쇠 비율이 작을수록 오버슈트가 크다.
상승 시간: 출력이 처음 응답하여 최종 값의 10%에서 90%에 도달하는 데 걸리는 시간이다. 상승 시간은 시스템의 고유 진동수 $\omega_n$ 에 영향을 받으며, 고유 진동수가 클수록 상승 시간이 짧아진다.
정착 시간: 출력이 목표 값의 ±2% 범위 안에서 안정화되기까지 걸리는 시간이다. 감쇠 비율이 작으면 진동이 많이 발생하고 정착 시간이 길어진다.
감쇠 비율 $\zeta$ : 감쇠 비율이 클수록 진동 없이 안정화되지만 응답 속도가 느려진다. 반대로, 감쇠 비율이 작으면 빠르게 응답하지만 진동과 오버슈트가 커진다.

이와 같이 1차 및 2차 시스템의 동적 특성은 시스템의 안정성과 응답 속도에 큰 영향을 미치며, 이를 기반으로 제어 시스템의 성능을 평가하고 개선할 수 있다.