과도 응답과 정상 상태 응답의 구분

제어 시스템의 응답은 시스템이 입력 신호에 대해 어떻게 반응하는지를 분석하는 데 중요한 개념이다. 특히, 계단 응답을 분석할 때 시스템의 동작을 크게 두 가지로 구분할 수 있다: 과도 응답(Transient Response)과 정상 상태 응답(Steady-State Response).

과도 응답 (Transient Response)

과도 응답은 시스템이 초기 상태에서 목표 상태로 접근하는 동안 나타나는 일시적인 동작을 의미한다. 입력 신호가 갑자기 변화할 때, 시스템은 목표 상태에 도달하기 전까지 몇 가지 중요한 특성을 보이다. 과도 응답은 시스템이 일시적인 불안정성을 보일 때 나타나며, 일반적으로 다음의 주요 특성들로 설명된다.

상승 시간(𝑡_r, Rise Time): 시스템이 초기 상태에서 목표 값의 10%에서 90% 사이에 도달하는 데 걸리는 시간을 의미한다. 이는 시스템의 속도와 관련이 있으며, 빠른 상승 시간이면 시스템이 신속하게 목표 상태에 도달한다는 것을 의미한다.
최대 오버슈트(𝑀_p, Maximum Overshoot): 시스템이 목표 값을 초과하는 정도를 나타낸다. 최대 오버슈트는 시스템의 과잉 반응을 나타내며, 주로 비례-미분 제어(PD)와 같은 제어기 설계에서 문제가 될 수 있다. 오버슈트는 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다:

$M_p = \frac{C_{\text{peak}} - C_{\text{final}}}{C_{\text{final}}} \times 100\%$

여기서 $C_{\text{peak}}$ 는 시스템의 최대 응답 값, $C_{\text{final}}$ 은 정상 상태의 목표 값이다.

감쇠 비율(𝜁, Damping Ratio): 시스템의 진동 감소 속도를 나타낸다. 감쇠 비율이 1에 가까울수록 시스템은 진동 없이 목표 상태로 도달하며, 반대로 0에 가까울수록 진동이 심해진다. 감쇠 비율은 과도 응답에서 중요한 요소로 작용하며, 과도 응답의 동작 특성을 크게 좌우한다.
정착 시간(𝑡_s, Settling Time): 과도 응답이 끝나고 시스템이 일정한 범위 내에서 목표 값에 도달하는 데 걸리는 시간이다. 일반적으로 시스템이 목표 값의 ±2% 이내로 수렴하는 시간을 말하며, 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$t_s = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

여기서 $\omega_n$ 은 시스템의 고유 진동수이다.

과도 응답에서 이 네 가지 특성은 시스템의 응답 속도, 안정성, 진동 특성을 평가하는 데 중요한 역할을 한다.

정상 상태 응답 (Steady-State Response)

정상 상태 응답은 시스템이 과도 응답을 끝내고 목표 상태에 도달한 후, 장기적으로 유지되는 시스템의 동작을 의미한다. 정상 상태에서의 시스템 응답은 입력 신호와 정확히 일치해야 하며, 이는 시스템의 정확도를 평가하는 데 중요한 지표이다. 정상 상태 응답을 분석할 때는 오차에 주목해야 하며, 이때 사용되는 주요 개념들은 다음과 같다.

정상 상태 오차(𝑒_{ss}, Steady-State Error): 시스템이 목표 값에 도달했을 때 여전히 남아 있는 차이를 말한다. 제어 시스템에서 정상 상태 오차를 줄이는 것은 중요한 목표 중 하나이며, 이는 시스템의 정밀도와 성능을 좌우한다.

$e_{ss} = \lim_{{t \to \infty}} \left( R(t) - C(t) \right)$

여기서 $R(t)$ 는 입력 값, $C(t)$ 는 시스템의 출력 값이다.

정상 상태 오차는 피드백 제어기를 적절히 설계함으로써 줄일 수 있다. 정상 상태 오차가 0에 가까울수록, 시스템은 이상적인 동작을 한다고 평가된다.

정상 상태 응답의 분류

정상 상태 응답은 제어 시스템의 최종적인 출력이 입력과 얼마나 정확하게 일치하는지를 나타내며, 시스템의 성능을 평가하는 중요한 지표이다. 일반적으로 정상 상태 오차의 크기를 기준으로 제어 시스템을 다음과 같이 구분할 수 있다.

유형 0 시스템(Type 0 System): 제어 시스템에서 오픈 루프 전달 함수 $G(s)$ 에 $s$ 항이 없는 경우, 이를 유형 0 시스템이라고 한다. 이러한 시스템에서는 위치 오차(계단 입력에 대한 정상 상태 오차)가 발생할 수 있다. 정상 상태 오차는 다음과 같이 계산할 수 있다:

$e_{\text{ss}} = \lim_{{s \to 0}} \frac{1}{1 + G(s)H(s)}$

여기서 $H(s)$ 는 피드백 경로의 전달 함수이다.

유형 1 시스템(Type 1 System): 오픈 루프 전달 함수에 $s$ 항이 하나 있는 시스템을 유형 1 시스템이라고 한다. 이러한 시스템에서는 위치 오차는 0이 되지만, 속도 오차(램프 입력에 대한 정상 상태 오차)는 존재할 수 있다. 속도 오차는 다음과 같이 정의된다:

$e_{\text{ss}} = \lim_{{s \to 0}} \frac{1}{s G(s) H(s)}$

유형 2 시스템(Type 2 System): 오픈 루프 전달 함수에 $s$ 항이 두 개 이상 포함된 경우, 이를 유형 2 시스템이라고 한다. 이러한 시스템에서는 위치 및 속도 오차가 모두 0으로 수렴하며, 가속도 입력에 대해서도 정상 상태 오차가 최소화된다.

정상 상태 응답은 제어기의 성능을 평가하는 중요한 기준이며, 목표 값에 얼마나 정확하게 도달할 수 있는지를 판단하는 데 사용된다. 정상 상태 오차를 줄이기 위해서는 주로 적분 제어(Integral Control)와 같은 보상 기법을 사용한다.

정상 상태에서의 시스템 동작

정상 상태 응답에서 중요한 또 다른 요소는 시스템의 안정성이다. 시스템이 과도 응답을 마친 후 정상 상태에 도달한 후에도 안정적으로 목표 값을 유지할 수 있어야 한다. 이를 위해서는 시스템의 안정성 분석이 필요하며, 이는 시스템의 극점(pole)과 영점(zero)의 위치와 깊은 관련이 있다. 시스템의 안정성은 정상 상태 응답에서 중요한 기준으로 작용한다.

Mermaid를 활용하여 과도 응답과 정상 상태 응답의 전체 흐름을 다음과 같이 표현할 수 있다:

graph TD; A[입력 신호] --> B[과도 응답] B --> C[정상 상태 응답] C --> D[정상 상태 오차 계산] D --> E[제어기 조정] E --> B

이 다이어그램은 시스템의 동작 흐름을 나타내며, 과도 응답이 끝난 후 정상 상태 응답에 도달하고, 그 후 정상 상태 오차를 기반으로 제어기를 조정하여 다시 시스템의 과도 응답으로 돌아오는 과정을 보여준다.