계단 응답 분석 - 소프트웨어 융합

계단 응답 분석을 하기 위해서는 우선 계단 입력(Step Input)을 정의할 필요가 있다. 계단 입력은 시간 $t$ 에 따라 값이 급격하게 변화하는 입력 신호이다. 가장 흔한 형태는 유닛 스텝 입력 (Unit Step Input)으로 정의되며, 수학적으로 다음과 같이 표현된다.

$u(t) = \begin{cases} 0 & t < 0 \\ 1 & t \geq 0 \end{cases}$

유닛 스텝 입력은 시스템의 동적 특성을 평가하기 위해 자주 사용되며, 시스템이 급격한 변화를 어떻게 처리하는지 관찰할 수 있는 중요한 도구이다.

선형 시간 불변 시스템(LTI)의 계단 응답

선형 시간 불변 시스템의 계단 응답은 주어진 전달 함수 $G(s)$ 또는 상태 공간 모델을 이용하여 분석할 수 있다. 전달 함수로 표현된 시스템에서는 주로 라플라스 변환을 통해 계단 응답을 구한다. 유닛 스텝 입력의 라플라스 변환은 다음과 같다.

$\mathcal{L}\{ u(t) \} = \frac{1}{s}$

따라서, 시스템의 전달 함수 $G(s)$ 가 주어졌을 때, 시스템의 출력 $Y(s)$ 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$Y(s) = G(s) \cdot \frac{1}{s}$

이를 역라플라스 변환하여 시간 영역으로 변환하면 계단 입력에 대한 시스템의 응답을 얻을 수 있다. 예를 들어, 1차 시스템의 경우, 전달 함수가 $G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}$ 라면, 시스템의 출력은 다음과 같이 계산된다.

$Y(s) = \frac{K}{\tau s + 1} \cdot \frac{1}{s} = \frac{K}{s(\tau s + 1)}$

이를 부분 분수로 분해하면,

$Y(s) = \frac{K}{\tau s + 1} \cdot \frac{1}{s} = \frac{A}{s} + \frac{B}{\tau s + 1}$

이 값을 역라플라스 변환하면 시간 영역에서의 응답은 다음과 같다.

$y(t) = K \left( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right)$

이 결과는 1차 시스템의 계단 응답으로, 시간에 따라 지수적으로 증가하여 $K$ 에 수렴하는 것을 보여준다.

2차 시스템의 계단 응답

2차 시스템의 계단 응답은 더욱 복잡한 형태를 가지며, 시스템의 고유한 특성에 따라 다른 응답을 나타낼 수 있다. 2차 시스템의 전달 함수는 일반적으로 다음과 같이 표현된다.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

여기서 $\omega_n$ 은 자연 진동수, $\zeta$ 는 감쇠비이다. 계단 입력에 대한 응답은 다음과 같이 계산된다.

$Y(s) = \frac{\omega_n^2}{s(s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2)}$

이를 역라플라스 변환하면 시간 영역에서의 계단 응답을 얻게 된다. 감쇠비 $\zeta$ 에 따라 과도 응답의 형태가 달라지는데, 다음 세 가지 경우로 나눌 수 있다.

과소 감쇠 ( $0 < \zeta < 1$ ): 진동을 포함한 응답
임계 감쇠 ( $\zeta = 1$ ): 진동 없이 가장 빠르게 수렴하는 응답
과대 감쇠 ( $\zeta > 1$ ): 진동 없이 느리게 수렴하는 응답

계단 응답의 해석은 각 감쇠비에 따라 달라지며, 과소 감쇠 시스템의 경우 진동과 초과, 언더슛을 포함한 복잡한 응답을 보이다.

과소 감쇠 시스템의 계단 응답

감쇠비 $0 < \zeta < 1$ 인 과소 감쇠 시스템의 계단 응답은 진동 성분을 포함한다. 이때 시간 영역에서의 응답은 다음과 같이 표현된다.

$y(t) = 1 - \frac{1}{\sqrt{1 - \zeta^2}} e^{-\zeta \omega_n t} \sin{\left(\omega_n \sqrt{1 - \zeta^2} t + \phi \right)}$

여기서 $\phi$ 는 초기 위상으로, 다음과 같이 정의된다.

$\phi = \arctan{\left(\frac{\sqrt{1 - \zeta^2}}{\zeta} \right)}$

과소 감쇠 시스템에서는 응답이 진동하며, 이때 진폭은 시간이 지남에 따라 지수적으로 감소한다. 이는 실세계에서 스프링-댐퍼 시스템과 같은 동적 시스템에서 자주 관찰된다. 과소 감쇠 시스템의 계단 응답은 다음과 같은 주요 특성을 갖는다.

진동 주기: 진동 주기는 다음과 같이 계산된다.

$T = \frac{2\pi}{\omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}}$

최대 오버슈트: 시스템이 목표값을 초과하는 최대 오버슈트는 감쇠비에 따라 결정된다. 최대 오버슈트 $M_p$ 는 다음과 같다.

$M_p = e^{-\frac{\zeta \pi}{\sqrt{1 - \zeta^2}}}$

감쇠 시간: 응답이 목표값의 특정 범위 내로 수렴하는 데 걸리는 시간은 감쇠비와 자연 진동수 $\omega_n$ 에 따라 달라진다. 일반적으로 2% 감쇠 시간은 다음과 같이 추정된다.

$T_s = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

과대 감쇠 시스템의 계단 응답

과대 감쇠 시스템에서는 감쇠비 $\zeta > 1$ 인 경우로, 진동 없이 느리게 수렴하는 응답을 나타낸다. 이때 응답은 다음과 같이 표현된다.

$y(t) = 1 - \left( A_1 e^{-\lambda_1 t} + A_2 e^{-\lambda_2 t} \right)$

여기서 $\lambda_1$ 과 $\lambda_2$ 는 시스템의 고유값으로 다음과 같이 계산된다.

$\lambda_1 = \omega_n \left( \zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1} \right)$

$\lambda_2 = \omega_n \left( \zeta - \sqrt{\zeta^2 - 1} \right)$

과대 감쇠 시스템의 응답은 매우 안정적이나, 반응 속도가 느리며 실시간 시스템에서 과도하게 감쇠된 경우에는 응답 속도가 문제가 될 수 있다.

임계 감쇠 시스템의 계단 응답

감쇠비 $\zeta = 1$ 인 임계 감쇠 시스템은 진동 없이 가장 빠르게 수렴하는 시스템이다. 이 경우, 시스템의 계단 응답은 다음과 같이 표현된다.

$y(t) = 1 - (A_1 + A_2 t) e^{-\omega_n t}$

임계 감쇠 시스템은 실시간 제어에서 매우 중요한데, 시스템이 과도한 진동 없이 신속하게 목표값에 도달하기 때문에 실용적인 경우가 많다. 여기서 $A_1$ 과 $A_2$ 는 초기 조건에 의해 결정된다.

임계 감쇠 시스템의 주요 특성

빠른 수렴: 진동 없이 목표값에 도달하므로 실용적인 응답을 제공한다.
응답 시간: 임계 감쇠 시스템은 과소 감쇠 시스템보다 빠르게 수렴하지만, 과대 감쇠 시스템보다 느리게 반응할 수 있다.

계단 응답의 해석

계단 응답 분석은 시스템의 안정성, 과도 응답 특성, 그리고 최종 값에 얼마나 빨리 도달하는지를 평가하는 데 중요한 역할을 한다. 각 시스템의 계단 응답을 비교할 때 중요한 요소들은 다음과 같다.

과도 응답: 시스템이 목표값에 도달하기 전의 반응 특성을 의미한다. 과도 응답에서 주로 관찰되는 요소는 최대 오버슈트, 진동 주기, 감쇠 시간 등이다.
안정성: 시스템의 안정성은 응답이 발산하지 않고 수렴하는지를 평가하는 데 중요한 기준이다. 안정성 해석에서 Routh-Hurwitz 기준과 같은 안정성 판별 기법이 사용된다.
최종 값 응답: 계단 입력이 주어진 후 충분한 시간이 경과한 후, 시스템이 목표값에 도달하여 정착하는 값이다.

계단 응답 분석은 이러한 특성들을 이용하여 시스템의 성능을 평가하고, 제어기를 설계하는 데 매우 유용한 도구로 작용한다.