주파수 응답의 기본 개념

주파수 응답은 시스템이 주어진 주파수에서 입력 신호에 어떻게 반응하는지를 나타낸다. 이를 통해 시스템의 동작 특성을 평가할 수 있으며, 특히 안정성에 대한 판단이 가능하다. 시스템의 주파수 응답은 전달 함수로부터 직접 도출할 수 있다.

전달 함수 G(s)는 시스템의 입력과 출력 사이의 관계를 표현하며, 주파수 응답은 라플라스 변환에서 s = j\omega로 치환함으로써 얻어진다. 여기서 j는 허수 단위, \omega는 각 주파수를 의미한다.

즉, 시스템의 주파수 응답은 다음과 같이 표현된다:

G(j\omega) = G(s) \Big|_{s = j\omega}

이때 G(j\omega)는 주파수 응답으로서, 크기와 위상을 포함한다. 크기는 시스템이 특정 주파수에서 입력 신호를 얼마나 증폭하거나 감쇠시키는지를 나타내고, 위상은 입력 신호에 대해 출력 신호가 얼마나 지연 또는 앞서 나가는지를 나타낸다.

주파수 응답과 안정성의 연관성

시스템의 안정성은 주파수 응답을 분석함으로써 예측할 수 있다. 주파수 응답에서 폴과 영점의 위치가 시스템의 안정성에 중요한 역할을 한다. 폴이 우반평면에 존재하면 시스템은 불안정해지고, 좌반평면에 있으면 안정적이다. 이러한 안정성 조건은 나이퀴스트 안정성 기준과 같은 주파수 응답 해석 방법을 통해 분석된다.

P(j\omega) = \lim_{\omega \to 0} \left| G(j\omega) \right|

위 수식을 통해 시스템의 주파수 응답 특성을 나타낼 수 있으며, 시스템이 특정 주파수에서 어떻게 반응하는지 알 수 있다.

나이퀴스트 안정성 기준

나이퀴스트 안정성 기준은 시스템의 주파수 응답을 통해 폐루프 시스템의 안정성을 판단하는 방법이다. 이 기준은 전달 함수의 나이퀴스트 선도를 분석하여 시스템이 안정한지 여부를 결정한다.

우선, 나이퀴스트 선도는 시스템의 주파수 응답을 복소평면에 나타낸 그래프로, 실수부와 허수부로 구성된다. 나이퀴스트 선도는 G(j\omega)가 허수축을 따라 \omega = -\infty에서 \omega = +\infty까지의 주파수에서 어떻게 변화하는지를 보여준다.

나이퀴스트 안정성 기준에서 가장 중요한 요소는 엔코서(Counterclockwise encirclements)이다. 이는 나이퀴스트 선도가 복소평면의 -1+j0 점을 반시계 방향으로 몇 번 감싸는지에 따라 시스템의 안정성이 결정된다. 만약 나이퀴스트 선도가 -1+j0를 감싸지 않으면 시스템은 안정하다. 반면, 감싸면 시스템은 불안정해질 수 있다.

나이퀴스트 기준 공식은 다음과 같이 표현된다:

Z = N + P

여기서, - Z는 폐루프 시스템의 우반평면 폴 개수를 나타내며, 즉 시스템의 불안정 모드를 의미한다. - N은 나이퀴스트 선도가 -1 점을 반시계 방향으로 감싼 횟수다. - P는 개루프 전달 함수 G(s)의 우반평면 폴 개수이다.

이 공식에 따르면 N과 P를 통해 폐루프 시스템의 폴 위치를 알 수 있고, 이를 통해 시스템이 안정한지 여부를 판단할 수 있다.

이득 여유와 위상 여유

시스템의 안정성을 평가하는 또 다른 방법으로 이득 여유와 위상 여유가 있다. 이 두 가지는 시스템이 얼마나 안정한지 또는 얼마나 불안정한지를 정량적으로 표현해 주는 값이다.

\text{이득 여유} = \frac{1}{\left| G(j\omega_{\text{180}}) \right|}
\text{위상 여유} = 180^\circ + \angle G(j\omega_{\text{cg}})

여기서 \omega_{\text{180}}는 위상이 -180^\circ인 주파수, \omega_{\text{cg}}는 크기가 1인 주파수이다.

이와 같은 방법들을 통해 시스템의 주파수 응답이 안정성에 어떻게 영향을 미치는지 분석할 수 있다.