전달 함수와 블록 다이어그램 해석

전달 함수의 정의

전달 함수(Transfer Function)는 시스템의 입력과 출력 사이의 관계를 나타내는 수학적 표현으로, 라플라스 변환을 사용하여 시스템을 분석할 때 주로 사용된다. 전달 함수는 일반적으로 시간 영역에서 미분 방정식으로 표현되는 시스템의 입력과 출력을 주파수 영역에서 나타낸 것으로, 시스템의 동작을 명확히 이해하는 데 도움을 준다.

전달 함수 $G(s)$ 는 입력 $X(s)$ 와 출력 $Y(s)$ 의 비율로 정의되며, 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

$G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$

여기서: - $G(s)$ : 시스템의 전달 함수 - $Y(s)$ : 시스템의 출력 신호의 라플라스 변환 - $X(s)$ : 시스템의 입력 신호의 라플라스 변환 - $s$ : 복소 평면의 라플라스 변수

전달 함수는 시스템의 시간에 따른 응답을 분석하고 안정성 및 성능을 평가하는 데 중요한 역할을 한다.

전달 함수의 계산

전달 함수는 시스템의 미분 방정식을 라플라스 변환한 후, 출력과 입력의 라플라스 변환 비율을 구함으로써 계산할 수 있다. 예를 들어, 1차 시스템의 미분 방정식이 다음과 같이 주어졌다고 가정해 보자.

$\tau \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = K u(t)$

이 미분 방정식에 라플라스 변환을 적용하면, 시간 미분 항은 $s$ 에 대응되므로 다음과 같이 변환된다.

$\tau s Y(s) + Y(s) = K U(s)$

이를 정리하여 전달 함수를 구하면 다음과 같다.

$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{K}{\tau s + 1}$

여기서: - $\tau$ : 시스템의 시간 상수 (time constant) - $K$ : 시스템의 이득 (gain) - $s$ : 라플라스 변수

이 결과는 1차 시스템의 전달 함수로, 입력에 대한 시스템의 출력을 주파수 영역에서 나타낸다.

블록 다이어그램 해석

블록 다이어그램(Block Diagram)은 시스템의 기능적 흐름을 직관적으로 표현하는 도구로, 제어 시스템에서 중요한 역할을 한다. 시스템의 입력과 출력 사이의 전달 함수를 나타내는 블록, 합산기(Summing Junction), 분기점(Branching Point) 등을 통해 시스템의 동작을 쉽게 시각화할 수 있다.

블록 다이어그램은 다음과 같은 구성 요소로 이루어진다. - 블록: 시스템의 특정 기능이나 전달 함수를 나타낸다. - 화살표: 신호의 흐름을 나타낸다. - 합산기: 여러 신호를 더하거나 빼는 역할을 한다. - 분기점: 신호를 여러 경로로 분리하여 전달한다.

시스템의 블록 다이어그램에서 각 구성 요소는 수학적 표현으로 변환될 수 있으며, 이를 통해 시스템의 전체 전달 함수를 구할 수 있다. 예를 들어, 단순한 개루프 시스템의 블록 다이어그램을 나타내면 다음과 같다.

graph TD A["입력 X(s)"] -->|"G(s)"| B["출력 Y(s)"]

여기서 $G(s)$ 는 시스템의 전달 함수로, 입력 $X(s)$ 에서 출력 $Y(s)$ 로의 관계를 나타낸다.

블록 다이어그램의 조합 규칙

복잡한 시스템은 여러 개의 블록으로 구성되며, 이를 결합하는 방법에는 몇 가지 규칙이 있다.

직렬 연결: 두 블록이 직렬로 연결되었을 때, 전체 전달 함수는 개별 블록의 전달 함수의 곱으로 구할 수 있다.

$G_{\text{total}}(s) = G_1(s) \cdot G_2(s)$

병렬 연결: 두 블록이 병렬로 연결된 경우, 전체 전달 함수는 각 블록의 전달 함수의 합으로 구할 수 있다.

$G_{\text{total}}(s) = G_1(s) + G_2(s)$

피드백 연결: 피드백 시스템에서는 전달 함수가 피드백 루프를 고려하여 계산된다. 피드백 시스템의 전달 함수는 다음과 같이 구할 수 있다.

$G_{\text{total}}(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)}$

여기서 $G(s)$는 순방향 전달 함수이고, $H(s)$는 피드백 전달 함수이다.

복잡한 블록 다이어그램을 해석할 때, 이러한 규칙들을 적용하여 전체 시스템의 전달 함수를 쉽게 계산할 수 있다.

블록 다이어그램 해석의 예시

직렬 연결 시스템 예시
직렬로 연결된 두 개의 시스템을 고려해보자. 첫 번째 시스템의 전달 함수는 $G_1(s)$ , 두 번째 시스템의 전달 함수는 $G_2(s)$ 라고 할 때, 전체 시스템의 전달 함수는 이 두 개의 전달 함수의 곱으로 구할 수 있다.

mermaid graph TD A["입력 X(s)"] -->|"G1(s)"| B -->|"G2(s)"| C["출력 Y(s)"]

이 블록 다이어그램의 전체 전달 함수는 다음과 같다.

$G_{\text{total}}(s) = G_1(s) \cdot G_2(s)$

예를 들어, 두 시스템의 전달 함수가 각각 $G_1(s) = \frac{1}{s+1}$ , $G_2(s) = \frac{2}{s+2}$ 인 경우, 전체 시스템의 전달 함수는 다음과 같이 구해진다.

$G_{\text{total}}(s) = \frac{1}{s+1} \cdot \frac{2}{s+2} = \frac{2}{(s+1)(s+2)}$

병렬 연결 시스템 예시
두 개의 시스템이 병렬로 연결된 경우를 살펴보자. 첫 번째 시스템의 전달 함수는 $G_1(s)$ , 두 번째 시스템의 전달 함수는 $G_2(s)$ 라고 할 때, 전체 시스템의 전달 함수는 두 시스템의 전달 함수의 합으로 구할 수 있다.

mermaid graph LR A["입력 X(s)"] --> B[+] B -->|"G1(s)"| C B -->|"G2(s)"| D C --> E["출력 Y(s)"] D --> E

이 경우 전체 전달 함수는 다음과 같다.

$G_{\text{total}}(s) = G_1(s) + G_2(s)$

예를 들어, 두 시스템의 전달 함수가 각각 $G_1(s) = \frac{1}{s+1}$ , $G_2(s) = \frac{2}{s+2}$ 일 경우, 전체 시스템의 전달 함수는 다음과 같다.

$G_{\text{total}}(s) = \frac{1}{s+1} + \frac{2}{s+2}$

이를 공통 분모로 정리하면 다음과 같이 된다.

$G_{\text{total}}(s) = \frac{(s+2) + 2(s+1)}{(s+1)(s+2)} = \frac{3s + 4}{(s+1)(s+2)}$

피드백 시스템 예시
피드백 시스템은 제어 시스템에서 자주 사용되며, 시스템의 출력이 다시 입력으로 피드백되는 구조를 가지고 있다. 순방향 전달 함수가 $G(s)$ , 피드백 전달 함수가 $H(s)$ 일 때, 전체 시스템의 전달 함수는 다음과 같이 계산된다.

mermaid graph LR A["입력 X(s)"] -->|"G(s)"| B["출력 Y(s)"] B -->|"H(s)"| C["피드백"] C --> A

이 피드백 시스템의 전체 전달 함수는 다음과 같이 계산된다.

$G_{\text{total}}(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)}$

예를 들어, $G(s) = \frac{1}{s+1}$ 이고, 피드백 전달 함수 $H(s) = 1$ 인 경우, 전체 시스템의 전달 함수는 다음과 같다.

$G_{\text{total}}(s) = \frac{\frac{1}{s+1}}{1 + \frac{1}{s+1}} = \frac{1}{s+2}$

블록 다이어그램의 변환 규칙

블록 이동: 블록 다이어그램에서 전달 함수 블록은 합산기와 분기점을 넘지 않는 한 자유롭게 이동할 수 있다. 이를 통해 복잡한 다이어그램을 단순하게 변환할 수 있다.
피드백 제거: 피드백이 있는 시스템은 앞서 설명한 공식에 따라 전달 함수를 계산하고, 그 피드백을 제거한 새로운 블록 다이어그램으로 변환할 수 있다.
병렬 및 직렬 결합: 병렬 및 직렬 연결 규칙을 사용하여 여러 블록을 하나의 블록으로 결합할 수 있다.

이러한 규칙들을 통해 복잡한 블록 다이어그램도 간단한 하나의 전달 함수로 변환할 수 있다.