모델링 과정에서의 가정과 한계

모델링의 기본 가정

제어 시스템의 모델링 과정에서 여러 가지 가정을 통해 시스템의 수학적 표현을 단순화할 수 있다. 이는 복잡한 현실 시스템을 수학적으로 다루기 쉽게 만들지만, 동시에 모델의 정확성에 영향을 미칠 수 있다. 일반적인 가정은 다음과 같다.

선형성 가정

많은 물리적 시스템은 본질적으로 비선형이다. 하지만 수학적 모델링에서 시스템을 선형으로 가정하면, 분석이 훨씬 간단해진다. 선형 시스템에서는 중첩 원리가 성립하므로 입력이 선형적으로 결합될 때 출력 역시 선형적으로 결합된다. 예를 들어, 입력 신호 $u_1(t)$ 와 $u_2(t)$ 에 대한 출력이 각각 $y_1(t)$ , $y_2(t)$ 라면, 선형 시스템에서는 아래와 같은 관계가 성립한다.

$y(t) = a_1 y_1(t) + a_2 y_2(t)$

여기서 $a_1$ , $a_2$ 는 상수이다. 그러나 실제 시스템에서 선형성은 제한적이며, 큰 입력이나 특정 범위 밖에서는 선형 가정이 타당하지 않을 수 있다.

시간 불변성 가정

많은 경우 시스템이 시간에 따라 변하지 않는다고 가정한다. 이를 시간 불변성 (Time Invariance)이라고 하며, 시스템의 동작이 시간이 지나도 동일하다는 의미이다. 시간 불변 시스템은 시간 변화에 무관하게 동일한 입력에 대해 동일한 출력을 생성한다. 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같다.

$\mathcal{H}[u(t)] = y(t) \implies \mathcal{H}[u(t-\tau)] = y(t-\tau)$

여기서 $\mathcal{H}$ 는 시스템을 나타내는 연산자, $u(t)$ 는 입력, $y(t)$ 는 출력, 그리고 $\tau$ 는 시간 지연이다. 그러나 실제 시스템은 종종 시간이 지남에 따라 변화하는 경우가 많아, 이 가정이 유효하지 않을 수 있다.

연속성 가정

모델링에서 시스템의 동작이 연속적이라고 가정하는 경우가 많다. 이는 시스템의 상태가 시간의 연속적인 함수로 표현될 수 있다는 것을 의미한다. 예를 들어, 물체의 속도나 위치 변화는 시간에 따라 연속적으로 변한다고 가정한다. 이러한 가정은 물리적 시스템의 모델링을 단순화하지만, 실제 시스템은 이산적 요소나 불연속적인 변화가 존재할 수 있다.

연속적인 시스템은 아래와 같은 형태로 상태 방정식으로 표현된다.

$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t)$

여기서 $\mathbf{x}(t)$ 는 상태 벡터, $\mathbf{u}(t)$ 는 입력 벡터, $\mathbf{A}$ 는 시스템 행렬, $\mathbf{B}$ 는 입력 행렬이다. 그러나 실제 시스템에서 센서나 제어기가 디지털 방식으로 작동하는 경우, 이산화된 모델이 필요하다.

정적 요소 무시

제어 시스템 모델링에서는 종종 작은 정적 요소들이 무시된다. 예를 들어, 마찰력이나 온도 변화 등은 시스템의 동작에 영향을 미칠 수 있지만, 모델을 단순화하기 위해 무시될 수 있다. 이러한 요소들은 시스템의 동작을 왜곡할 수 있으며, 무시한 요소들이 크거나 중요할 경우 모델의 정확성에 큰 영향을 미칠 수 있다.

완전한 관측 가능성 가정

시스템의 상태를 모두 관측할 수 있다고 가정하는 것도 일반적이다. 즉, 시스템의 모든 상태 변수들이 센서에 의해 정확하게 측정된다고 가정하며, 이를 통해 상태 추정 및 제어가 가능해진다. 예를 들어, 시스템의 상태가 다음과 같이 주어진다고 할 때,

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{C}\mathbf{x}(t)$

여기서 $\mathbf{y}(t)$ 는 출력 벡터, $\mathbf{C}$ 는 출력 행렬이다. 그러나 실제로는 센서의 한계로 인해 상태 변수를 완벽하게 측정할 수 없는 경우가 많다. 이로 인해 추가적인 상태 추정기(예: 칼만 필터)가 필요할 수 있다.

모델링의 한계

비선형 시스템의 복잡성

비선형 시스템을 선형적으로 근사할 경우 모델의 정확성이 떨어질 수 있다. 많은 시스템에서 입력이 큰 경우 비선형 효과가 무시할 수 없을 정도로 크게 나타난다. 예를 들어, 전력 시스템에서 높은 전압이나 전류가 흐를 때 비선형 현상인 자기 포화가 발생할 수 있다.

비선형 시스템은 다음과 같이 표현될 수 있다.

$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{f}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t))$

여기서 $\mathbf{f}$ 는 비선형 함수이다. 이러한 시스템을 선형으로 근사하면 큰 입력에 대해 정확하지 않은 결과를 초래할 수 있다.

모델 파라미터의 불확실성

모델링에서 시스템의 매개변수(파라미터)가 정확히 알려져 있다고 가정하지만, 실제로는 이러한 매개변수에 불확실성이 존재한다. 시스템의 질량, 저항, 용량 등의 값이 정확히 측정되지 않거나 환경 변화에 따라 달라질 수 있다. 파라미터 불확실성은 제어 성능에 직접적인 영향을 미치며, 모델의 신뢰성을 떨어뜨릴 수 있다.

예를 들어, 시스템의 전달함수가 다음과 같은 형태로 주어졌다고 가정한다.

$G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}$

여기서 $K$ 는 시스템 이득, $\tau$ 는 시간 상수이다. 만약 $K$ 나 $\tau$ 가 정확히 알려져 있지 않다면, 시스템의 응답을 예측하는 데 오차가 발생할 수 있다.

외란 및 노이즈

모델링에서는 시스템에 작용하는 외란이나 측정 노이즈가 무시되거나 단순한 형태로 가정되는 경우가 많다. 하지만 실제 시스템은 외부 환경으로부터 다양한 외란에 노출되며, 이러한 외란은 시스템 동작에 큰 영향을 미칠 수 있다. 또한 센서에서 발생하는 측정 노이즈는 시스템의 상태 추정과 제어 성능을 저하시킬 수 있다.

외란을 고려한 시스템 모델은 다음과 같이 표현될 수 있다.

$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t) + \mathbf{E}\mathbf{w}(t)$

여기서 $\mathbf{w}(t)$ 는 외란 벡터이고, $\mathbf{E}$ 는 외란의 영향을 나타내는 행렬이다. 외란과 노이즈의 존재로 인해 시스템 모델은 불완전하게 될 수 있으며, 이를 효과적으로 처리하지 못하면 제어 성능이 저하될 수 있다.

시스템의 고차원성

실제 시스템은 매우 복잡하고, 많은 상태 변수와 입력 변수를 가지고 있을 수 있다. 이러한 고차원 시스템의 모델링은 매우 어려울 수 있으며, 계산 복잡도가 기하급수적으로 증가한다. 예를 들어, 다체 시스템의 동역학을 모델링할 때 각 물체의 위치, 속도, 가속도를 모두 고려해야 하며, 상호 작용하는 힘들까지 포함되면 방정식의 수는 급격히 늘어난다.

시스템의 고차원성은 다음과 같은 행렬 방정식으로 나타낼 수 있다.

$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t)$

여기서 $\mathbf{x}(t)$ 는 매우 큰 차원의 벡터이며, $\mathbf{A}$ , $\mathbf{B}$ 역시 고차원 행렬이다. 고차원 시스템의 모델링과 해석은 전산 자원 및 시간이 많이 소요될 수 있으며, 현실적인 제어 알고리즘의 구현이 어려울 수 있다.

비선형성과 외란에 대한 강건성 부족

모델링 과정에서 선형화된 시스템은 실제 비선형성이나 외란에 대해 강건하지 않을 수 있다. 이러한 비선형성과 외란은 시스템이 기대와 다른 방식으로 동작하게 만들며, 제어기의 설계에 큰 영향을 미칠 수 있다. 예를 들어, 항공기의 비행 제어 시스템에서 작은 외란이나 기류 변화가 발생할 경우 선형 모델로 예측할 수 없는 비선형 효과가 발생할 수 있다.

강건한 제어를 위해서는 비선형성에 대한 대처가 필요하며, 이러한 시스템에 대한 모델링은 매우 복잡하고 시간이 많이 소요될 수 있다.