전달함수와 상태 공간 표현

전달함수

전달함수는 선형 시불변 시스템(Linear Time-Invariant, LTI)의 입력과 출력 간의 관계를 나타내는 중요한 도구이다. 주로 라플라스 변환을 이용하여 시스템의 동적 특성을 설명한다. 전달함수는 시스템의 출력 $Y(s)$ 와 입력 $U(s)$ 사이의 관계를 정의하며, 아래와 같은 형태로 표현된다.

$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$

여기서, $G(s)$ 는 시스템의 전달함수이며, $Y(s)$ 와 $U(s)$ 는 각각 시스템의 출력과 입력의 라플라스 변환이다.

1차 및 2차 시스템 예시

전형적인 1차 시스템의 전달함수는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}$

여기서, $K$ 는 시스템의 이득(Gain), $\tau$ 는 시간 상수이다.

2차 시스템은 다음과 같이 표현된다.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$

여기서, $\omega_n$ 은 고유 진동수, $\zeta$ 는 감쇠 비율이다.

상태 공간 표현

상태 공간 표현은 시스템의 상태 벡터를 이용하여 시스템의 동작을 설명하는 방법이다. 이는 특히 다변수 시스템에서 유용하며, 행렬로 시스템의 동적 특성을 표현할 수 있다.

상태 공간 표현은 일반적으로 아래와 같은 두 개의 행렬 방정식으로 구성된다.

$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t)$

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{C} \mathbf{x}(t) + \mathbf{D} \mathbf{u}(t)$

여기서, - $\mathbf{x}(t)$ 는 상태 벡터로, 시스템의 내부 상태를 나타낸다. - $\mathbf{u}(t)$ 는 입력 벡터이다. - $\mathbf{y}(t)$ 는 출력 벡터이다. - $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}$ 는 각각 상태 행렬, 입력 행렬, 출력 행렬, 직접 전달 행렬이다.

상태 공간 표현에서 중요한 것은 시스템의 동적 특성을 시간에 따른 상태 변화로 설명한다는 점이다. 이를 통해 시스템의 현재 상태가 어떻게 변화하는지, 그 결과로 출력이 어떻게 결정되는지를 설명할 수 있다.

상태 공간과 전달함수 간의 변환

상태 공간 표현을 전달함수로 변환하려면, 먼저 상태 방정식의 라플라스 변환을 수행한다. 상태 방정식에서 라플라스 변환을 적용하면 아래와 같은 형태가 된다.

$s \mathbf{X}(s) = \mathbf{A} \mathbf{X}(s) + \mathbf{B} \mathbf{U}(s)$

$\mathbf{Y}(s) = \mathbf{C} \mathbf{X}(s) + \mathbf{D} \mathbf{U}(s)$

이를 이용해 상태 벡터 $\mathbf{X}(s)$ 를 풀면, 전달함수는 다음과 같이 구할 수 있다.

$G(s) = \mathbf{C} (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{B} + \mathbf{D}$

이는 상태 공간 모델에서 전달함수를 도출하는 과정이며, 시스템의 입력과 출력 간의 관계를 전달함수 형태로 표현한 결과이다.

상태 공간 표현의 장점

상태 공간 표현은 시스템의 동작을 행렬을 이용해 표현하기 때문에, 다변수 시스템(MIMO: Multiple Input, Multiple Output)에 대해 매우 유용하다. 즉, 전달함수에서는 다변수 시스템의 표현이 복잡해지는 반면, 상태 공간 표현은 이러한 복잡성을 상당히 줄여준다. 또한 비선형 시스템이나 시간 변화 시스템에도 쉽게 적용할 수 있는 유연성이 있다.

상태 공간에서의 시간 응답

상태 공간 표현은 시스템의 동작을 시간 영역에서 분석하는 데 강력한 도구이다. 특히, 시스템의 초기 상태가 시스템의 전체 응답에 미치는 영향을 쉽게 설명할 수 있다. 상태 공간에서 시스템의 응답은 아래와 같은 미분 방정식으로 표현된다.

$\mathbf{x}(t) = e^{\mathbf{A}t} \mathbf{x}(0) + \int_{0}^{t} e^{\mathbf{A}(t-\tau)} \mathbf{B} \mathbf{u}(\tau) d\tau$

출력 응답은 다음과 같이 표현된다.

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{C} \mathbf{x}(t) + \mathbf{D} \mathbf{u}(t)$

이 식에서 $e^{\mathbf{A}t}$ 는 상태 전이 행렬(State Transition Matrix)로, 시스템의 상태가 시간에 따라 어떻게 변하는지를 설명한다.

시스템의 안정성 분석

상태 공간 표현에서 시스템의 안정성을 분석할 때는 행렬 $\mathbf{A}$ 의 고유값을 주로 살펴본다. 고유값의 실수부가 모두 음수이면 시스템은 안정한다. 즉, 상태 행렬 $\mathbf{A}$ 의 고유값이 시스템의 안정성에 중요한 역할을 한다.

$\text{if } \Re(\lambda_i) < 0 \text{ for all } \lambda_i \in \text{eig}(\mathbf{A}), \text{ then the system is stable.}$

여기서, $\lambda_i$ 는 상태 행렬 $\mathbf{A}$ 의 고유값을 의미한다. 고유값의 실수부가 음수일 때 시스템은 시간이 지남에 따라 안정된 상태로 수렴한다.