선형 시스템의 정의

선형 시스템은 기본적으로 두 가지 중요한 특성을 만족하는 시스템이다: 중첩 원리와 동차성이다. 중첩 원리는 입력이 합해질 때 그에 대응하는 출력도 합해지는 성질을 의미하며, 동차성은 입력이 일정 배율로 증가하면 출력도 동일한 배율로 증가하는 성질을 의미한다.

수학적으로, 선형 시스템은 아래의 조건을 만족하는 시스템이다.

\mathcal{H}(u_1(t) + u_2(t)) = \mathcal{H}(u_1(t)) + \mathcal{H}(u_2(t))
\mathcal{H}(\alpha u(t)) = \alpha \mathcal{H}(u(t))

여기서 \mathcal{H}는 시스템의 전달 함수를 의미하고, u(t)는 시스템에 입력되는 신호, y(t)는 시스템의 출력이다.

비선형 시스템의 정의

비선형 시스템은 중첩 원리와 동차성을 만족하지 않는 시스템을 말한다. 다시 말해, 두 입력의 합에 대해 출력이 그 각각의 출력의 합이 아니거나, 입력의 크기가 변할 때 출력이 비선형적으로 반응하는 경우 비선형 시스템이 된다.

비선형 시스템은 다음과 같은 비선형 성질을 가질 수 있다.

y(t) = u^2(t)

비선형 시스템의 예로는 다음과 같은 시스템들을 들 수 있다: 1. 포화 시스템 (Saturation): 시스템의 출력이 일정 범위를 넘어서면 더 이상 증가하지 않는 시스템이다. 2. 데드존 (Dead Zone): 입력이 특정 범위 안에서는 출력이 발생하지 않는 시스템이다.

비선형 시스템은 선형 시스템과 달리 해석이 복잡하고, 일반적으로 라플라스 변환이나 전달 함수로 단순하게 표현할 수 없는 경우가 많다.

선형 시스템과 비선형 시스템의 수학적 예

선형 시스템의 예

선형 시스템은 주로 미분 방정식으로 표현되며, 예를 들어 다음과 같은 1차 미분 방정식을 생각할 수 있다.

\frac{d \mathbf{x}(t)}{dt} + a\mathbf{x}(t) = \mathbf{b}u(t)

여기서, \mathbf{x}(t)는 상태 벡터, u(t)는 입력, a와 \mathbf{b}는 시스템의 상수 또는 행렬이다. 이 방정식은 선형 시스템의 특성을 만족한다. 각 입력에 대한 출력의 합이 동일하고, 입력이 스칼라 상수로 배가 되면 출력도 동일하게 배가 된다.

비선형 시스템의 예

비선형 시스템은 아래와 같이 비선형 미분 방정식으로 표현될 수 있다.

\frac{d \mathbf{x}(t)}{dt} = \sin(\mathbf{x}(t)) + u(t)

이 시스템은 \sin(\mathbf{x}(t))와 같은 비선형 함수가 포함되어 있어, 입력과 출력 사이의 관계가 비선형적이다. 이 경우, 중첩 원리가 성립하지 않으며, 입력이 스칼라 배율로 증폭되더라도 출력이 동일하게 증폭되지 않는다.

선형 시스템의 해석 방법

선형 시스템은 주로 전달 함수나 상태 공간 표현으로 나타내며, 이를 통해 다양한 해석을 수행할 수 있다.

G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}
\frac{d \mathbf{x}(t)}{dt} = A\mathbf{x}(t) + B\mathbf{u}(t)
\mathbf{y}(t) = C\mathbf{x}(t) + D\mathbf{u}(t)

여기서 \mathbf{x}(t)는 상태 벡터, \mathbf{u}(t)는 입력, \mathbf{y}(t)는 출력, 그리고 A, B, C, D는 시스템을 나타내는 행렬들이다.

비선형 시스템의 해석 방법

비선형 시스템은 선형 시스템과 달리, 비선형 방정식 때문에 해석이 훨씬 복잡하다. 일반적인 비선형 시스템 해석 방법에는 다음과 같은 기법들이 있다.

f(\mathbf{x}) \approx f(\mathbf{x}_0) + \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}}\Bigg|_{\mathbf{x}=\mathbf{x}_0} (\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)