기계 시스템의 모델링

기계 시스템은 일반적으로 질량, 스프링, 댐퍼와 같은 구성 요소로 표현된다. 이러한 시스템을 분석하기 위해 뉴턴의 운동 법칙을 이용하여 물리적 시스템을 수학적으로 모델링할 수 있다.

1. 질량-스프링-댐퍼 시스템

기본적인 기계 시스템의 한 예로 질량-스프링-댐퍼 시스템이 있다. 이 시스템의 동적 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

질량 $m$, 댐핑 계수 $b$, 스프링 상수 $k$를 가진 시스템에서, 뉴턴의 운동 법칙에 따르면 시스템에 작용하는 힘 $f(t)$는 다음과 같다:

여기서: - $x(t)$는 시간 $t$에 따른 변위, - $\dot{x}(t)$는 속도, - $\ddot{x}(t)$는 가속도이다.

2. 회전 기계 시스템

회전 기계 시스템의 경우, 질량 대신 관성 $J$, 스프링 상수 대신 토크 상수 $k_\theta$, 그리고 댐핑 계수 대신 회전 저항 $b_\theta$가 사용된다.

회전 운동의 동적 방정식은 다음과 같다:

여기서: - $\theta(t)$는 각도, - $\dot{\theta}(t)$는 각속도, - $\ddot{\theta}(t)$는 각가속도, - $\tau(t)$는 외부에서 가해진 토크이다.

전기 시스템의 모델링

전기 시스템은 주로 저항기, 인덕터, 커패시터와 같은 요소들로 구성된다. 키르히호프의 법칙을 사용하여 전기 회로를 수학적으로 모델링할 수 있다.

1. RLC 회로

RLC 직렬 회로를 예로 들면, 저항 $R$, 인덕턴스 $L$, 커패시턴스 $C$가 직렬로 연결된 회로의 모델은 다음과 같은 차분 방정식으로 표현된다.

키르히호프의 전압 법칙(KVL)에 따르면:

여기서: - $v(t)$는 회로에 가해진 전압, - $i(t)$는 시간에 따른 전류이다.

이를 시간 도함수로 표현하면:

여기서 $q(t)$는 축적된 전하이며, $i(t) = \dot{q}(t)$이다.

2. 직류 모터 모델링

직류 모터는 전기적, 기계적 시스템을 결합한 시스템이다. 전기적 모델은 모터의 전기 회로를 기반으로 하며, 기계적 모델은 모터의 회전 운동을 설명한다.

전기적 모델

직류 모터의 전기적 동작은 키르히호프의 전압 법칙(KVL)에 의해 다음과 같이 설명된다:

여기서: - $V(t)$는 모터에 공급된 입력 전압, - $i(t)$는 모터 전류, - $L$은 모터의 인덕턴스, - $R$은 모터의 저항, - $e_b(t)$는 백 EMF(역기전력)로, 이는 모터의 회전 속도에 비례한다.

백 EMF는 다음과 같이 표현된다:

여기서: - $K_b$는 백 EMF 상수, - $\omega(t)$는 모터의 각속도이다.

기계적 모델

모터의 회전 운동은 뉴턴의 회전 운동 법칙을 기반으로 하며, 다음과 같은 방정식으로 설명된다:

여기서: - $J$는 모터의 관성, - $T(t)$는 모터에 의해 생성된 토크, - $b$는 회전 저항(점성 댐핑) 계수이다.

모터의 생성 토크는 모터 전류에 비례하며 다음과 같이 표현된다:

여기서: - $K_t$는 토크 상수이다.

모터의 종합적 모델링

모터의 전기적 및 기계적 모델을 결합하면, 모터의 전체 모델을 다음과 같이 상태 공간 표현으로 나타낼 수 있다:

이 시스템은 전기적 및 기계적 상태 변수 $i(t)$와 $\omega(t)$를 결합하여 모터의 동작을 설명한다.

3. 전기기계적 시스템의 모델링

전기기계적 시스템은 전기 및 기계적 요소를 모두 포함하는 시스템이다. 이러한 시스템은 보통 전기 신호를 입력으로 받아서 기계적 동작을 출력으로 얻는 방식으로 동작한다.

종합 모델링 예시

블록 다이어그램 표현

Mermaid를 사용하여 직류 모터 모델을 블록 다이어그램으로 표현하면 다음과 같다:

이 다이어그램은 전기적 입력 $V(t)$가 모터의 전류와 토크를 생성하고, 기계적 시스템을 통해 회전 운동으로 변환되는 과정을 시각적으로 보여준다.