시스템 모델링의 개념

수학적 모델링은 물리적 시스템의 동작을 설명하기 위해 수학적 방정식이나 표현을 사용하여 시스템을 분석하고 제어하는 과정을 말한다. 이를 통해 시스템의 동적 특성을 파악하고, 다양한 입력 조건에서의 시스템 응답을 예측할 수 있다.

시스템 변수의 정의

시스템 모델링에서 가장 먼저 해야 할 일은 시스템을 구성하는 주요 변수를 정의하는 것이다. 일반적으로, 물리 시스템은 입력, 출력, 상태 변수로 정의되며, 이들은 시간의 함수로 나타난다.

미분 방정식을 통한 모델링

많은 물리적 시스템은 미분 방정식으로 모델링될 수 있다. 예를 들어, 기계적 시스템에서 뉴턴의 운동 법칙을 사용하면, 다음과 같은 2차 미분 방정식을 얻을 수 있다.

m \frac{d^2 x(t)}{dt^2} + c \frac{dx(t)}{dt} + kx(t) = F(t)

여기서: - m은 질량 (mass), - c는 감쇠 계수 (damping coefficient), - k는 스프링 상수 (spring constant), - x(t)는 변위 (displacement), - F(t)는 외부에서 가해지는 힘 (external force)을 의미한다.

이 미분 방정식은 시스템의 운동을 기술하며, 시스템의 동적 특성을 설명하는 기본적인 모델이다.

전기 시스템의 모델링

전기적 시스템의 경우, 키르히호프의 법칙을 사용하여 미분 방정식을 세울 수 있다. 예를 들어, 간단한 RLC 회로는 다음과 같이 모델링된다:

L \frac{d^2 q(t)}{dt^2} + R \frac{dq(t)}{dt} + \frac{q(t)}{C} = V(t)

여기서: - L은 인덕턴스 (inductance), - R은 저항 (resistance), - C는 커패시턴스 (capacitance), - q(t)는 전하량 (charge), - V(t)는 전압 (voltage)을 의미한다.

이 식은 시스템의 입력인 전압 V(t)가 어떻게 시스템 상태인 전하 q(t)에 영향을 미치는지 설명한다.

선형 시스템과 비선형 시스템

시스템 모델링은 크게 두 가지로 분류될 수 있다: 선형 시스템과 비선형 시스템. 시스템의 거동이 입력에 대해 선형성을 가지면 선형 시스템으로 간주하고, 비선형성을 가지면 비선형 시스템으로 분류한다.

선형 시스템

선형 시스템은 입력 u(t)와 출력 y(t) 사이의 관계가 선형적인 경우이다. 이를 수학적으로 나타내면 다음과 같다:

y(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} u(t)

여기서: - \mathbf{A}는 상태 변수 \mathbf{x}(t)와 관련된 행렬, - \mathbf{B}는 입력 변수 u(t)와 관련된 행렬이다.

선형 시스템은 슈퍼포지션 원리(중첩의 원리)를 따르며, 이는 두 개 이상의 입력 신호가 있을 때 각각의 입력에 대한 응답을 더하면 전체 시스템의 응답이 된다는 것을 의미한다. 이러한 시스템은 수학적으로 분석하기 쉽고, 많은 경우에서 시스템 모델링의 기초로 사용된다.

비선형 시스템

비선형 시스템은 입력과 출력 간의 관계가 비선형적일 때 발생한다. 비선형 시스템을 기술하는 방정식은 다음과 같은 형태일 수 있다:

\dot{\mathbf{x}}(t) = f(\mathbf{x}(t), u(t))

여기서: - f(\mathbf{x}(t), u(t))는 상태 변수와 입력에 의존하는 비선형 함수이다.

비선형 시스템은 선형 시스템과 달리 분석이 훨씬 더 복잡하다. 선형 시스템에서 적용 가능한 많은 해석 방법이 비선형 시스템에는 적용되지 않으며, 수치 해석 방법이나 근사적인 해석이 필요한 경우가 많다.

전달 함수와 상태 공간 표현

모델링 과정에서 시스템을 분석하고 제어하기 위해, 시스템의 전달 함수와 상태 공간 표현을 사용하는 방법이 있다. 이 두 가지는 시스템의 동작을 기술하는 중요한 도구이며, 서로 다른 방식으로 시스템을 표현한다.

전달 함수

전달 함수는 시스템의 입력과 출력 사이의 비율을 나타내는 함수이다. 선형 시불변 시스템(Linear Time-Invariant, LTI)의 경우, 라플라스 변환을 사용하여 시간 영역에서의 미분 방정식을 주파수 영역으로 변환할 수 있다. 이를 통해 시스템의 전달 함수를 다음과 같이 정의할 수 있다:

G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}

여기서: - G(s)는 전달 함수, - Y(s)는 출력의 라플라스 변환, - U(s)는 입력의 라플라스 변환이다.

전달 함수는 주로 주파수 영역에서의 시스템 분석에 유용하며, 시스템의 극점과 영점의 위치를 통해 시스템의 안정성 및 성능을 평가할 수 있다.

상태 공간 표현

상태 공간 표현은 시스템의 상태 변수를 사용하여 시스템의 동적 특성을 나타내는 방법이다. 주로 시간 영역에서 시스템을 분석하는 데 사용되며, 다음과 같은 상태 방정식과 출력 방정식으로 나타낼 수 있다.

상태 방정식:

\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t)

출력 방정식:

\mathbf{y}(t) = \mathbf{C} \mathbf{x}(t) + \mathbf{D} \mathbf{u}(t)

여기서: - \mathbf{x}(t)는 상태 변수 벡터, - \mathbf{u}(t)는 입력 벡터, - \mathbf{y}(t)는 출력 벡터, - \mathbf{A}는 상태 행렬 (system matrix), - \mathbf{B}는 입력 행렬 (input matrix), - \mathbf{C}는 출력 행렬 (output matrix), - \mathbf{D}는 전달 행렬 (feedthrough matrix)이다.

이 상태 공간 표현은 시스템의 동적 특성을 시간 영역에서 직관적으로 나타내며, 특히 다변수 시스템에 유용하다. 상태 공간 표현은 시스템의 상태 변수의 변화를 시간의 함수로 나타내며, 상태 공간 모델은 시스템의 응답을 해석하는 데 매우 유용하다.

모델링 과정에서의 가정과 한계

시스템을 모델링할 때는 실제 물리적 시스템의 복잡성을 단순화하기 위한 가정들이 필요하다. 이러한 가정들은 시스템 분석을 용이하게 하지만, 동시에 실제 시스템을 완벽히 반영하지 못하는 한계를 가져온다.

주요 가정

  1. 선형성 가정: 많은 시스템이 선형 시스템으로 근사될 수 있다고 가정한다. 하지만 실제로는 많은 시스템이 비선형적 특성을 가지고 있다.

  2. 시간 불변성 가정: 시스템의 특성이 시간에 따라 변하지 않는다고 가정한다. 그러나 실제로는 시스템이 시간이 지남에 따라 변하거나, 환경 조건에 의해 영향을 받을 수 있다.

  3. 외부 간섭 무시: 시스템이 외부에서 가해지는 간섭이나 노이즈에 영향을 받지 않는다고 가정하는 경우가 많다.

한계

이러한 가정들은 모델링의 복잡성을 줄이지만, 시스템의 실제 동작과 차이가 발생할 수 있다. 따라서 모델링 결과를 신뢰하기 위해서는 이러한 가정들이 시스템의 실제 동작에 미치는 영향을 항상 염두에 두어야 한다.