제어시스템에서 결정론적 시스템

결정론적 시스템(Deterministic System)은 제어공학에서 중요한 개념 중 하나로, 시스템의 현재 상태와 입력 값이 주어지면 미래의 상태가 유일하게 결정되는 시스템을 의미한다. 이러한 시스템에서는 시스템의 동작이 불확실성이 없고, 모든 결과가 정확하게 예측될 수 있다. 시스템의 모델이 주어졌을 때, 입력과 상태 간의 관계는 수학적으로 명확하게 정의되며, 외부의 랜덤한 요인들이 존재하지 않기 때문에 완전히 예측 가능한 상태로 동작한다.

수학적 표현

결정론적 시스템은 일반적으로 상태 공간 모델을 통해 수학적으로 표현된다. 상태 공간 모델은 다음과 같이 정의된다.

$\mathbf{x}(k+1) = \mathbf{A} \mathbf{x}(k) + \mathbf{B} \mathbf{u}(k)$

$\mathbf{y}(k) = \mathbf{C} \mathbf{x}(k) + \mathbf{D} \mathbf{u}(k)$

여기서,
- $\mathbf{x}(k)$ 는 시간 $k$ 에서의 상태 벡터이다.
- $\mathbf{u}(k)$ 는 입력 벡터이다.
- $\mathbf{y}(k)$ 는 출력 벡터이다.
- $\mathbf{A}$ , $\mathbf{B}$ , $\mathbf{C}$ , $\mathbf{D}$ 는 시스템의 행렬로, 시스템의 동역학을 정의한다.

상태 천이 방정식

결정론적 시스템에서 가장 중요한 부분은 상태 천이 방정식이다. 이 방정식은 현재 상태 $\mathbf{x}(k)$ 와 입력 $\mathbf{u}(k)$ 로부터 다음 상태 $\mathbf{x}(k+1)$ 을 예측하는 역할을 한다. 상태 천이 방정식은 시스템의 동적 성질을 나타내며, 특정한 입력에 따라 상태가 어떻게 변화하는지를 수학적으로 정의한다.

출력 방정식

출력 방정식은 상태 벡터 $\mathbf{x}(k)$ 와 입력 벡터 $\mathbf{u}(k)$ 에 기초하여 시스템의 출력 $\mathbf{y}(k)$ 를 계산한다. 결정론적 시스템에서는 입력과 상태가 고정되면 출력도 항상 동일하게 결정되며, 외부 요인에 의한 변동은 없다고 가정한다.

선형 시스템에서의 결정론적 특성

결정론적 시스템의 예로는 선형 시스템이 있다. 선형 시스템은 시간에 따라 일정한 성질을 유지하며, 시스템의 응답이 선형적으로 변화한다. 이러한 시스템에서는 초기에 설정한 조건과 입력 값이 주어지면, 미래의 모든 동작을 예측할 수 있다.

$\mathbf{x}(k+1) = \mathbf{A} \mathbf{x}(k)$

이와 같이 입력이 없는 상태에서도 시스템의 상태 변화는 오직 현재 상태에 의해 결정된다.

시간 불변 시스템

결정론적 시스템에서 중요한 특성 중 하나는 시간 불변 시스템(Time-Invariant System)이다. 시간 불변 시스템에서는 시스템의 동작이 시간이 지남에 따라 변하지 않으며, 입력에 따른 출력이 시간에 의존하지 않고 일정하게 유지된다. 즉, 동일한 입력이 주어지면 언제나 동일한 출력을 얻을 수 있는 시스템이다.

이러한 시스템은 다음과 같이 수학적으로 표현할 수 있다.

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{C} \mathbf{x}(t) + \mathbf{D} \mathbf{u}(t)$

여기서,
- $\mathbf{y}(t)$ 는 시간 $t$ 에서의 출력 벡터이다.
- $\mathbf{x}(t)$ 는 시간 $t$ 에서의 상태 벡터이다.
- $\mathbf{u}(t)$ 는 시간 $t$ 에서의 입력 벡터이다.

시간 불변 시스템에서는 시간에 따른 시스템의 동작이 변하지 않기 때문에 $t$ 는 시스템의 행렬 $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}$ 에 영향을 주지 않는다. 따라서 시스템의 행렬은 시간에 상관없이 일정하게 유지된다.

제어 가능성과 결정론적 시스템

결정론적 시스템에서 중요한 개념 중 하나는 제어 가능성(Controllability)이다. 제어 가능성은 시스템의 모든 상태를 원하는 시간 내에 원하는 값으로 제어할 수 있는지 여부를 나타낸다. 결정론적 시스템에서 제어 가능성은 시스템이 예측 가능하고, 입력에 의해 원하는 상태로 정확하게 이동할 수 있음을 의미한다.

제어 가능성은 상태 공간 표현에서 다음과 같이 정의된다.

$\mathcal{C} = \begin{bmatrix} \mathbf{B} & \mathbf{A}\mathbf{B} & \mathbf{A}^2\mathbf{B} & \dots & \mathbf{A}^{n-1}\mathbf{B} \end{bmatrix}$

행렬 $\mathcal{C}$ 의 계수가 최대인 경우, 시스템은 제어 가능한 시스템으로 간주된다. 즉, 시스템의 모든 상태를 제어할 수 있으며, 이는 결정론적 시스템의 중요한 특성이다.

결정론적 시스템의 안정성

결정론적 시스템에서는 안정성(Stability) 또한 중요한 요소로, 시스템이 외부 입력에 대해 어떻게 반응하는지 평가한다. 시스템이 안정적이라는 것은 작은 입력 변화가 시스템의 상태를 무한정으로 증가시키지 않고, 일정한 범위 내에서 유지되도록 하는 것을 의미한다.

안정성은 일반적으로 리아프노프(Lyapunov) 함수 등을 사용하여 분석할 수 있으며, 시스템의 행렬 $\mathbf{A}$ 의 고유값(eigenvalue)에 의해 결정된다. 안정적인 시스템은 고유값이 모두 음의 실수부를 가지며, 이는 시스템이 시간에 따라 수렴함을 의미한다.

결정론적 시스템의 응답

결정론적 시스템에서 응답(Response)은 주어진 입력에 대해 시스템이 어떻게 반응하는지를 나타낸다. 결정론적 시스템에서는 특정 입력이 주어졌을 때, 시스템의 상태 변화와 출력이 고정되며, 이는 시스템의 수학적 모델에 따라 예측 가능한다. 이러한 시스템에서 응답은 주로 시간 영역에서 분석되며, 시스템의 특성에 따라 다양한 방식으로 분석할 수 있다.

자유 응답과 강제 응답

결정론적 시스템의 응답은 두 가지로 나눌 수 있다: 자유 응답(Free Response)과 강제 응답(Forced Response)이다.

자유 응답: 외부 입력이 없는 경우, 시스템은 초기 상태로부터 시작하여 자연스럽게 변화한다. 이러한 상태 변화를 자유 응답이라고 한다. 수학적으로는 다음과 같이 표현된다.

$\mathbf{x}(t) = e^{\mathbf{A}t} \mathbf{x}(0)$

여기서,
- $\mathbf{x}(0)$ 는 초기 상태이다.
- $e^{\mathbf{A}t}$ 는 상태 변화 행렬로, 시스템의 고유값과 밀접하게 관련되어 있다.

강제 응답: 외부 입력이 있을 때, 시스템의 상태와 출력이 어떻게 변하는지를 나타낸다. 이는 입력 신호에 따라 시스템이 강제적으로 반응하는 부분이다. 강제 응답은 상태 공간 모델을 사용하여 다음과 같이 계산된다.

$\mathbf{x}(t) = e^{\mathbf{A}t} \mathbf{x}(0) + \int_0^t e^{\mathbf{A}(t-\tau)} \mathbf{B} \mathbf{u}(\tau) d\tau$

여기서, $\mathbf{u}(t)$ 는 시간에 따른 입력 신호이다. 이 방정식은 시스템이 입력에 따라 상태가 어떻게 변하는지를 수학적으로 표현한 것이다.

전달 함수와 주파수 영역 분석

결정론적 시스템을 분석할 때, 시간 영역뿐만 아니라 주파수 영역에서도 시스템의 성능을 평가할 수 있다. 주파수 영역에서의 시스템 분석은 시스템이 특정 주파수의 입력 신호에 어떻게 응답하는지를 분석하는 방법이다. 이를 위해 전달 함수(Transfer Function)가 자주 사용된다.

전달 함수는 라플라스 변환을 사용하여 시간 영역의 상태 방정식을 주파수 영역으로 변환한 것으로, 다음과 같이 정의된다.

$\mathbf{G}(s) = \mathbf{C}(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{B} + \mathbf{D}$

여기서,
- $s$ 는 복소수 주파수 변수이다.
- $\mathbf{G}(s)$ 는 시스템의 입력과 출력 간의 주파수 응답을 나타내는 함수이다.

이 전달 함수는 시스템이 주파수 영역에서 어떻게 동작하는지, 즉 특정 주파수의 입력에 대해 출력이 어떻게 변하는지를 분석하는 데 사용된다. 이를 통해 시스템의 안정성, 응답 속도, 그리고 주파수 특성을 쉽게 분석할 수 있다.

극과 영점

전달 함수를 분석할 때 시스템의 극(Poles)과 영점(Zeros)은 시스템의 특성을 결정짓는 중요한 요소이다. 극은 시스템이 자연스럽게 수렴하거나 발산하는 지점을 나타내며, 영점은 입력 신호가 특정 주파수에서 영향을 미치지 않는 지점을 나타낸다.

극: 전달 함수의 분모가 0이 되는 값
영점: 전달 함수의 분자가 0이 되는 값

극과 영점의 위치는 시스템의 응답 특성을 결정하며, 이를 통해 시스템이 얼마나 빨리 안정화되는지, 또는 불안정하게 되는지를 분석할 수 있다.

상태 천이 행렬

결정론적 시스템의 상태 천이를 정의하는 핵심 요소 중 하나는 상태 천이 행렬(State Transition Matrix)이다. 이 행렬은 시스템의 상태가 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 수학적으로 설명하며, 이는 시스템의 기본적인 동적 성질을 파악하는 데 매우 중요하다.

상태 천이 행렬은 다음과 같이 정의된다.

$\mathbf{\Phi}(t) = e^{\mathbf{A}t}$

여기서,
- $\mathbf{A}$ 는 시스템의 상태 행렬이다.
- $e^{\mathbf{A}t}$ 는 행렬 지수 함수로, 시간에 따른 시스템의 상태 변화에 대한 정보를 제공한다.

상태 천이 행렬은 입력이 없는 경우 시스템이 시간에 따라 자연스럽게 어떻게 상태가 변화하는지를 나타내며, 이는 자유 응답을 계산할 때 중요한 역할을 한다.