제어시스템에서 시간 불변 시스템

시간 불변 시스템의 정의

시간 불변 시스템(Time-Invariant System)은 시스템의 동작이 시간에 따라 변하지 않는 시스템을 의미한다. 즉, 입력 신호가 시간에 관계없이 같은 형태라면, 출력 신호도 같은 형태를 유지한다. 시간 불변 시스템에서는 입력이 주어진 시간 $\mathbf{t}$ 만큼 지연되면, 출력도 동일하게 $\mathbf{t}$ 만큼 지연되게 된다.

이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

입력이 $\mathbf{x}(t)$ 이고, 시스템의 출력을 $\mathbf{y}(t)$ 라고 할 때, 시스템이 시간 불변 시스템이라면,

$\mathbf{x}(t-\tau) \quad \Rightarrow \quad \mathbf{y}(t-\tau)$

위의 수식에서 $\tau$ 는 임의의 시간 지연을 의미한다. 즉, 시스템에 주어지는 입력이 시간에 $\tau$ 만큼 지연되면, 출력도 동일하게 $\tau$ 만큼 지연되는 특성을 가지고 있다.

시간 불변 시스템의 수학적 모델

시간 불변 시스템은 수학적으로 시스템의 상태 방정식으로 나타낼 수 있다. 상태 변수 $\mathbf{x}(t)$ 와 입력 변수 $\mathbf{u}(t)$ , 출력 변수 $\mathbf{y}(t)$ 로 구성된 상태 방정식은 일반적으로 다음과 같은 형태를 갖는다.

$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t)$

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{C} \mathbf{x}(t) + \mathbf{D} \mathbf{u}(t)$

여기서, - $\mathbf{x}(t)$ : 시간 $t$ 에서의 상태 벡터 - $\mathbf{u}(t)$ : 시간 $t$ 에서의 입력 벡터 - $\mathbf{y}(t)$ : 시간 $t$ 에서의 출력 벡터 - $\mathbf{A}$ , $\mathbf{B}$ , $\mathbf{C}$ , $\mathbf{D}$ : 시간 불변 시스템의 상수 행렬

이 방정식에서 중요한 점은 시스템 행렬 $\mathbf{A}$ , $\mathbf{B}$ , $\mathbf{C}$ , $\mathbf{D}$ 가 시간에 따라 변하지 않으므로, 시스템이 시간에 관계없이 일정한 동작을 보인다는 것이다.

시간 불변 시스템의 특성

시간 불변 시스템의 중요한 특성 중 하나는 입력이 시간적으로 변화하더라도 시스템 자체의 특성은 변화하지 않는다는 점이다. 이를 통해 다음과 같은 특성을 논할 수 있다.

선형성과의 관계

시간 불변 시스템은 종종 선형 시스템과 함께 논의되곤 한다. 선형 시스템에서는 시스템이 중첩 원리를 만족해야 하며, 시간 불변 시스템이 선형성을 만족한다면 더욱 분석하기 용이한다. 그러나 시간 불변성은 반드시 선형성의 조건은 아니다.

주파수 응답에서의 시간 불변성

시간 불변 시스템에서는 시스템의 응답이 주파수 영역에서도 일정하게 유지된다. 즉, 특정 주파수 성분의 입력 신호가 주어지면, 시스템의 출력은 동일한 주파수를 유지하며 그 크기와 위상만 변할 뿐이다.

시간 불변 시스템의 예

시간 불변 시스템의 대표적인 예로는 물리적 시스템들이 있다. 이들 시스템은 시간에 따른 변화가 거의 없거나 매우 느리게 변하므로, 시간 불변 시스템으로 모델링할 수 있다.

1. RLC 회로

RLC 회로는 저항기(R), 인덕터(L), 커패시터(C)로 구성된 전기 회로이다. 이 회로는 시간이 지남에 따라 그 동작이 변하지 않으므로, 시간 불변 시스템으로 간주될 수 있다. RLC 회로의 미분 방정식은 다음과 같이 주어진다.

$L \frac{d^2 \mathbf{i}(t)}{dt^2} + R \frac{d \mathbf{i}(t)}{dt} + \frac{1}{C} \mathbf{i}(t) = \mathbf{v}(t)$

여기서, - $\mathbf{i}(t)$ : 시간 $t$ 에서의 회로 전류 - $\mathbf{v}(t)$ : 시간 $t$ 에서의 입력 전압 - $L$ : 인덕터의 인덕턴스 - $R$ : 저항 - $C$ : 커패시턴스

이 방정식에서 $L$ , $R$ , $C$ 값이 시간에 따라 변하지 않으므로, 시스템은 시간 불변이다.

2. 질량-스프링-댐퍼 시스템

질량-스프링-댐퍼 시스템은 기계적 시스템의 대표적인 예로, 질량에 매달린 스프링과 댐퍼로 구성된 시스템이다. 이 시스템 역시 시간이 지나도 스프링 상수나 댐퍼 계수가 변하지 않으면 시간 불변 시스템으로 간주된다.

이 시스템의 운동 방정식은 다음과 같다.

$m \frac{d^2 \mathbf{x}(t)}{dt^2} + c \frac{d \mathbf{x}(t)}{dt} + k \mathbf{x}(t) = \mathbf{f}(t)$

여기서, - $m$ : 질량 - $c$ : 댐퍼 계수 - $k$ : 스프링 상수 - $\mathbf{x}(t)$ : 시간 $t$ 에서의 변위 - $\mathbf{f}(t)$ : 시간 $t$ 에서의 외부 힘

이 방정식에서 $m$ , $c$ , $k$ 가 시간에 따라 변하지 않으면, 시스템은 시간 불변으로 간주된다.

시간 불변 시스템의 상태 공간 표현

시간 불변 시스템을 상태 공간에서 표현할 때, 상태 방정식은 앞서 언급한 것처럼 시간에 독립적인 상수 행렬로 표현된다. 이를 다시 정리하면,

$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t)$

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{C} \mathbf{x}(t) + \mathbf{D} \mathbf{u}(t)$

이 방정식에서 중요한 점은 행렬 $\mathbf{A}$ , $\mathbf{B}$ , $\mathbf{C}$ , $\mathbf{D}$ 가 모두 시간에 따라 변하지 않는다는 것이다. 따라서, 이러한 시스템은 시간 불변 시스템으로 정의된다.

시스템의 전이 행렬

시간 불변 시스템에서 시스템의 상태 변화는 전이 행렬에 의해 결정된다. 전이 행렬 $\mathbf{\Phi}(t)$ 는 다음과 같은 형태로 정의된다.

$\mathbf{\Phi}(t) = e^{\mathbf{A}t}$

이 전이 행렬은 시스템이 시간 $t$ 에 걸쳐 어떻게 상태가 변화하는지를 나타내며, $\mathbf{A}$ 가 시간 불변이므로 $\mathbf{\Phi}(t)$ 역시 시간 불변이다.

시간 불변 시스템의 해석적 풀이

시간 불변 시스템은 해석적으로 풀기 용이하며, 미분 방정식의 해는 일반적으로 입력 신호에 대한 선형 결합으로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 상태 공간에서 해는 다음과 같이 주어진다.

$\mathbf{x}(t) = \mathbf{\Phi}(t) \mathbf{x}(0) + \int_0^t \mathbf{\Phi}(t-\tau) \mathbf{B} \mathbf{u}(\tau) d\tau$

여기서, $\mathbf{x}(0)$ 은 초기 상태를 의미하며, 이 해는 시간 불변 시스템에서 일정한 시스템 특성을 유지함을 보여준다.

시간 불변 시스템의 주파수 응답

시간 불변 시스템은 주파수 영역에서 분석할 때 특히 유리한다. 시간 불변 시스템의 특성 중 하나는 입력 주파수 성분이 시스템을 통과할 때 동일한 주파수를 유지하면서 진폭과 위상이 변할 뿐이라는 점이다. 이는 주파수 응답을 이용한 시스템 해석에서 매우 중요한 역할을 한다.

전달 함수

시간 불변 시스템에서 가장 흔히 사용되는 도구 중 하나는 전달 함수이다. 시스템의 상태 방정식을 라플라스 변환을 통해 주파수 영역으로 변환하여 전달 함수를 구할 수 있다. 상태 공간에서 시스템의 전달 함수는 다음과 같이 정의된다.

$\mathbf{G}(s) = \mathbf{C}(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{B} + \mathbf{D}$

여기서, - $\mathbf{G}(s)$ : 시스템의 전달 함수 - $\mathbf{A}$ , $\mathbf{B}$ , $\mathbf{C}$ , $\mathbf{D}$ : 상태 공간 행렬 - $s$ : 복소수 주파수 변수

이 전달 함수는 시스템의 입력과 출력 간의 관계를 주파수 영역에서 표현하며, 시간 불변 시스템에서는 이 함수가 시간에 의존하지 않는 고정된 함수로 유지된다.

Bode 도표

시간 불변 시스템에서 주파수 응답을 시각적으로 분석하기 위해 자주 사용되는 방법 중 하나는 Bode 도표이다. Bode 도표는 주파수 성분에 따른 시스템의 이득과 위상 변화를 각각 로그 스케일로 표현한 그래프이다. 시간 불변 시스템에서는 특정 주파수 대역에서 시스템의 응답이 시간에 따라 변하지 않으므로, Bode 도표를 사용하여 시스템의 성능을 쉽게 평가할 수 있다.

다이어그램으로 Bode 도표를 시각화하면 아래와 같다.

graph TD; A(주파수) --> B("이득 | Gain"); A --> C("위상 | Phase"); B --> D(로그 스케일로 표현된 이득); C --> E(로그 스케일로 표현된 위상);

Bode 도표에서 주파수에 따른 이득과 위상 변화를 관찰함으로써 시스템의 안정성, 대역폭, 그리고 시스템이 특정 주파수에서 어떻게 반응하는지를 파악할 수 있다.

주파수 응답 함수

시간 불변 시스템에서 주파수 응답 함수는 주파수 $\omega$ 에 대한 복소수 함수로 정의되며, 전달 함수에서 $s = j\omega$ 를 대입하여 구할 수 있다. 이 주파수 응답 함수는 시스템이 주파수 $\omega$ 에서 어떻게 반응하는지를 나타낸다.

주파수 응답 함수는 다음과 같이 표현된다.

$\mathbf{H}(j\omega) = \mathbf{G}(j\omega)$

여기서 $\mathbf{H}(j\omega)$ 는 시스템의 주파수 응답을 나타내며, 시간 불변 시스템에서는 이 함수가 고정된 형태를 유지한다.

시간 불변 시스템의 안정성

시간 불변 시스템의 중요한 특성 중 하나는 안정성이다. 시스템의 안정성은 시스템이 시간이 지남에 따라 발산하지 않고 수렴하는지를 판단하는 기준이다. 시간 불변 시스템에서는 안정성을 시간 영역 또는 주파수 영역에서 분석할 수 있다.

극점의 위치와 안정성

시스템의 안정성은 시스템의 극점(pole)에 의해 결정된다. 극점은 전달 함수의 분모를 0으로 만드는 복소수 $s$ 의 값으로 정의된다. 시간 불변 시스템에서는 시스템의 극점이 복소 평면의 좌반평면에 위치해야만 시스템이 안정하다고 판단할 수 있다. 시스템이 안정하면, 출력은 시간이 지남에 따라 안정적으로 수렴하게 된다.

극점의 위치는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\det(s\mathbf{I} - \mathbf{A}) = 0$

극점의 실수부가 음수이면, 시스템은 안정적이며, 시스템이 시간에 따라 발산하지 않고 안정적으로 작동함을 의미한다.

안정성 분석 방법

시간 불변 시스템에서 안정성을 분석하는 방법은 여러 가지가 있지만, 대표적인 방법으로는 루스-허위츠 판별법과 근궤적법이 있다. 이러한 방법들은 주로 전달 함수의 극점 위치를 기반으로 시스템의 안정성을 판단한다.

1. 루스-허위츠 판별법

루스-허위츠 판별법은 전달 함수의 분모에 해당하는 특성 방정식의 계수를 사용하여 시스템이 안정한지를 판단하는 방법이다. 이 방법에서는 특성 방정식의 계수들로 행렬을 구성하고, 이 행렬의 성질을 이용하여 안정성을 분석한다.

특성 방정식이 다음과 같다고 가정하자.

$P(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \dots + a_1 s + a_0 = 0$

이때, 루스 배열(Routh array)을 구성하여 첫 번째 열의 부호 변화를 확인함으로써 시스템의 안정성을 판별한다. 첫 번째 열에 부호 변화가 없다면 시스템은 안정적이며, 부호 변화가 있을 경우 시스템은 불안정한다. 루스-허위츠 판별법은 복잡한 특성 방정식에서도 유용하게 사용된다.

2. 근궤적법

근궤적법은 전달 함수의 극점과 영점의 위치를 시각적으로 확인하여 시스템의 안정성을 분석하는 기법이다. 이 방법에서는 시스템의 전달 함수가 주어졌을 때, 폐루프 시스템의 극점이 어떻게 변화하는지를 그래프로 표현한다.

근궤적법을 mermaid로 간단히 시각화하면 다음과 같다.

graph TD; A(영점 위치) --> B(극점 위치); B --> C(극점의 변화 궤적); C --> D(안정성 판단);

이 방법은 루프 이득이 변할 때 시스템의 극점이 어떻게 이동하는지를 시각적으로 표현하므로, 시스템 설계자가 쉽게 안정성 변화를 확인할 수 있다. 특히 시간 불변 시스템에서는 극점이 좌반평면에 머무르면 안정성이 보장되므로, 근궤적을 통해 안정성을 직관적으로 확인할 수 있다.

시간 불변 시스템에서 시간 응답

시간 불변 시스템의 시간 응답은 입력에 대한 출력이 시간이 지남에 따라 어떻게 변하는지를 나타낸다. 시간 불변 시스템에서는 초기 조건과 외부 입력에 의해 시스템의 출력이 결정된다.

자연 응답

자연 응답은 외부 입력이 없는 상태에서 시스템이 초기 조건에 의해 어떻게 반응하는지를 나타낸다. 시간 불변 시스템에서 자연 응답은 주로 시스템의 고유 성질에 의해 결정되며, 일반적으로 시스템의 극점에 의해 좌우된다. 자연 응답을 수학적으로 나타내면 다음과 같다.

$\mathbf{x}(t) = \mathbf{\Phi}(t) \mathbf{x}(0)$

여기서 $\mathbf{x}(0)$ 은 시스템의 초기 상태를 나타내고, $\mathbf{\Phi}(t)$ 는 상태 전이 행렬로, 시간 불변 시스템에서는 시간이 지남에 따라 상태가 어떻게 변화하는지를 나타낸다.

강제 응답

강제 응답은 외부 입력에 의해 발생하는 시스템의 반응이다. 시간 불변 시스템에서 입력이 주어졌을 때, 시스템의 출력은 다음과 같은 형태로 나타난다.

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{C} \mathbf{\Phi}(t) \mathbf{x}(0) + \int_0^t \mathbf{C} \mathbf{\Phi}(t-\tau) \mathbf{B} \mathbf{u}(\tau) d\tau$

이 식은 외부 입력 $\mathbf{u}(t)$ 에 따른 시스템의 강제 응답을 나타내며, $\mathbf{B}$ 와 $\mathbf{C}$ 는 시스템의 입력과 출력에 대한 변환을 나타낸다. 시간 불변 시스템에서는 이 응답이 입력에 따라 일관되게 변하며, 시간에 따라 달라지지 않는 특성을 유지한다.

전달 함수와 시간 응답의 관계

시간 불변 시스템의 전달 함수는 시스템의 시간 응답을 주파수 영역에서 분석할 수 있는 도구이다. 전달 함수 $\mathbf{G}(s)$ 를 이용하여 시스템의 입력과 출력 간의 관계를 주파수 영역에서 분석할 수 있으며, 이를 통해 시간 응답을 쉽게 계산할 수 있다.

입력이 단위 계단 함수(step input)일 때, 시스템의 시간 응답은 전달 함수의 역라플라스 변환을 통해 구할 수 있다. 예를 들어, 단위 계단 입력을 가했을 때의 시간 응답은 다음과 같이 구해진다.

$\mathbf{y}(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ \mathbf{G}(s) \frac{1}{s} \right\}$

여기서 $\mathcal{L}^{-1}$ 은 라플라스 변환의 역변환을 의미하며, 이를 통해 시간 영역에서의 응답을 얻을 수 있다. 이와 같은 분석은 시간 불변 시스템의 성능 평가에 매우 유용하다.