선형 시스템 - 소프트웨어 융합

선형 시스템의 정의

제어공학에서 선형 시스템은 입력과 출력 간의 관계가 선형적인 특성을 갖는 시스템을 말한다. 이 선형성은 중첩 원리와 동차성을 만족하는 시스템에서 성립된다. 즉, 임의의 입력 $u_1(t)$ 와 $u_2(t)$ 에 대해 시스템이 각각 $y_1(t)$ , $y_2(t)$ 라는 출력을 가진다면, 임의의 상수 $a$ 와 $b$ 에 대해 다음과 같은 관계가 성립해야 한다:

$a u_1(t) + b u_2(t) \rightarrow a y_1(t) + b y_2(t)$

이를 중첩 원리라 한다. 또한, 동차성이란 시스템의 입력을 배로 늘리면 출력도 같은 비율로 변해야 함을 의미한다. 즉, $u(t) \rightarrow y(t)$ 일 때, $c u(t) \rightarrow c y(t)$ 가 성립한다.

선형 시스템의 수학적 표현

선형 시스템은 선형 미분방정식이나 상태 공간 표현으로 수학적으로 표현된다. 가장 일반적인 형태는 상태 방정식을 이용한 표현이다. 이를 통해 선형 시스템을 다루는 방식이 더욱 명확해진다.

선형 미분방정식

선형 시스템을 미분방정식으로 나타낼 때, 시스템의 입력을 $u(t)$ , 출력을 $y(t)$ 라 하면, 시스템은 일반적으로 다음과 같은 형태로 표현된다:

$a_n \frac{d^n y(t)}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y(t)}{dt^{n-1}} + \dots + a_1 \frac{dy(t)}{dt} + a_0 y(t) = b_m \frac{d^m u(t)}{dt^m} + b_{m-1} \frac{d^{m-1} u(t)}{dt^{m-1}} + \dots + b_1 \frac{du(t)}{dt} + b_0 u(t)$

이 방정식에서 $a_0, a_1, \dots, a_n$ 는 출력에 대한 계수들이고, $b_0, b_1, \dots, b_m$ 는 입력에 대한 계수들이다. 이 미분방정식은 시스템의 동작을 결정하는 중요한 도구로 사용된다.

상태 공간 표현

선형 시스템의 또 다른 중요한 표현 방법은 상태 공간 표현이다. 상태 공간 표현은 시스템의 동적 특성을 표현하기 위한 일련의 1차 미분방정식들로 이루어져 있으며, 주로 다음과 같은 형식으로 나타낸다:

$\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t)$

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{C} \mathbf{x}(t) + \mathbf{D} \mathbf{u}(t)$

여기서: - $\mathbf{x}(t)$ 는 상태 변수 벡터로 시스템의 내부 상태를 나타내며, 일반적으로 $n$ -차원 벡터이다. - $\mathbf{u}(t)$ 는 시스템에 입력되는 벡터이다. - $\mathbf{y}(t)$ 는 출력 벡터이다. - $\mathbf{A}$ , $\mathbf{B}$ , $\mathbf{C}$ , $\mathbf{D}$ 는 시스템을 기술하는 행렬들로, 각각 상태 행렬, 입력 행렬, 출력 행렬, 그리고 전달 행렬이다.

상태 공간 표현은 연속 시간 또는 이산 시간 시스템 모두에 적용될 수 있으며, 선형 시스템을 간결하게 표현하는 중요한 방법 중 하나다. 이를 통해 시간 영역에서 시스템의 동적 거동을 분석할 수 있다.

전달 함수

선형 시스템은 전달 함수로도 표현될 수 있다. 라플라스 변환을 사용하여 시스템의 입력과 출력을 주파수 영역에서 분석할 수 있다. 시스템의 전달 함수 $G(s)$ 는 다음과 같이 정의된다:

$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + \dots + b_1 s + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \dots + a_1 s + a_0}$

여기서 $Y(s)$ 는 출력의 라플라스 변환이고, $U(s)$ 는 입력의 라플라스 변환이다. 이 전달 함수는 시스템이 주파수 영역에서 어떻게 동작하는지를 설명해 주며, 시스템의 안정성과 응답 특성을 분석하는 데 유용하다.

선형 시스템의 안정성

선형 시스템에서 안정성은 매우 중요한 개념이다. 선형 시스템의 안정성을 판단하는 방법은 여러 가지가 있지만, 가장 일반적인 방법은 특성 방정식의 근을 분석하는 것이다.

특성 방정식

상태 공간 표현에서 시스템의 안정성을 확인하기 위해 특성 방정식을 사용한다. 상태 방정식 $\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t)$ 에서, 만약 입력이 0일 경우(즉, $\mathbf{u}(t) = 0$ ) 시스템의 동작은 다음과 같이 단순화된다:

$\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t)$

이때 시스템이 안정적인지 알아보기 위해서는 $\mathbf{A}$ 행렬의 고유값을 분석한다. 시스템의 특성 방정식은 다음과 같이 정의된다:

$\text{det}(s \mathbf{I} - \mathbf{A}) = 0$

여기서 $\mathbf{I}$ 는 항등행렬이고, $\text{det}$ 는 행렬의 행렬식을 의미한다. 이 방정식을 풀어서 나오는 근들은 시스템의 고유값이다. 고유값 $\lambda_i$ 들의 실수가 음수일 때, 시스템은 안정하다고 판단된다. 즉, 고유값이 모두 왼쪽 평면에 위치해야 시스템이 안정적이다.

안정성의 기준

선형 시스템의 안정성을 평가하기 위한 다양한 기준들이 존재한다. 대표적으로 리우스-허위츠 안정성 기준과 루스 안정성 기준이 사용된다.

리우스-허위츠 안정성 기준: 시스템의 특성 방정식이 주어졌을 때, 그 계수들을 이용해 시스템의 안정성을 평가하는 방법이다. 이 방법은 특성 방정식의 계수들이 특정한 조건을 만족하는지 여부에 따라 시스템이 안정한지 불안정한지를 판단한다.
루스 안정성 기준: 특성 방정식의 모든 근들이 복소 평면의 왼쪽 반평면에 존재하는지 확인하는 방법이다. 이를 위해 루스 배열표를 사용하여 간단히 근의 위치를 판단할 수 있다.

선형 시스템의 시간 응답

선형 시스템의 시간 응답은 과도 응답과 정상 상태 응답으로 나눌 수 있다.

과도 응답

과도 응답은 시스템이 초기 상태에서부터 새로운 상태로 변해가는 동안의 동작을 의미한다. 이 응답은 주로 시스템의 특성 방정식의 근에 의해 결정된다. 과도 응답은 다음과 같은 성분들로 나눌 수 있다:

자연 응답: 시스템이 외부 입력 없이도 자체적으로 보여주는 응답이다.
강제 응답: 외부 입력에 의해 유도된 응답이다.

선형 시스템에서 과도 응답은 고유값의 영향을 많이 받는다. 만약 시스템의 고유값들이 음수라면, 과도 응답은 시간이 지남에 따라 감소하여 시스템은 안정된 상태로 수렴한다.

정상 상태 응답

정상 상태 응답은 시간이 충분히 지난 후, 즉 시스템이 안정된 상태에 도달한 이후의 응답을 의미한다. 시스템의 정상 상태 응답은 주로 시스템의 전달 함수로부터 분석할 수 있다. 입력 $u(t)$ 에 대해 정상 상태 출력 $y_{\text{ss}}(t)$ 는 시스템이 시간에 따라 더 이상 변화하지 않을 때의 출력이다.

시스템의 정상 상태 오차는 입력과 출력 간의 차이를 나타내며, 이를 정상 상태 오차라고 부른다. 정상 상태 오차는 제어 시스템의 중요한 성능 지표 중 하나이며, 단위 계단 입력, 단위 램프 입력, 단위 포물선 입력에 대한 시스템의 응답을 통해 평가할 수 있다.

선형 시스템의 주파수 응답

선형 시스템의 주파수 응답은 시스템이 다양한 주파수의 입력 신호에 대해 어떻게 반응하는지를 분석하는 기법이다. 주파수 응답은 주로 시스템의 전달 함수를 사용하여 분석된다. 주파수 영역에서의 분석은 보드 선도(Bode plot), 나이퀴스트 선도(Nyquist plot), 그리고 나이퀴스트 안정성 기준 등의 도구를 통해 이루어진다.

보드 선도

보드 선도는 시스템의 주파수 응답을 시각적으로 나타내는 중요한 도구이다. 보드 선도는 주파수 응답을 두 개의 선도로 나누어 표현하는데, 하나는 크기 응답을 나타내고 다른 하나는 위상 응답을 나타낸다.

전달 함수 $G(s)$ 를 $s = j\omega$ 로 변환하여 주파수 영역에서의 시스템 동작을 분석할 수 있다:

$G(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{U(j\omega)}$

보드 선도에서, 주파수에 따른 전달 함수의 크기 $|G(j\omega)|$ 는 데시벨(dB) 단위로 표현되며, 위상은 각도(도)로 표현된다. 보드 선도는 시스템의 안정성과 성능을 평가하는 데 매우 유용하며, 특히 이득 여유(Gain Margin)와 위상 여유(Phase Margin)를 통해 시스템의 안정성을 판단할 수 있다.

이득 여유는 시스템이 불안정해지기 전까지 이득을 얼마나 증가시킬 수 있는지를 나타낸다.
위상 여유는 시스템의 위상이 $-180^\circ$ 에 도달하기 전까지 남은 여유를 나타낸다.

나이퀴스트 선도

나이퀴스트 선도는 복소 평면에서 시스템의 주파수 응답을 시각적으로 표현하는 방법이다. 시스템의 주파수에 따른 응답 $G(j\omega)$ 는 복소수로 표현되며, 나이퀴스트 선도를 통해 주파수 응답을 복소 평면에 나타낸다. 주파수 $\omega$ 가 0에서 무한대로 변화할 때, $G(j\omega)$ 는 복소 평면에서 특정한 경로를 그리게 된다.

나이퀴스트 선도를 사용하여 시스템의 안정성을 평가할 수 있다. 이때 중요한 개념은 나이퀴스트 안정성 기준이다. 나이퀴스트 안정성 기준은 폐루프 시스템이 안정적인지 여부를 주파수 응답을 통해 판단하는 방법이다. 전달 함수 $G(s)$ 와 폐루프 시스템의 특성 방정식 사이의 관계를 분석하여 시스템의 안정성을 보장할 수 있다.

나이퀴스트 안정성 기준

나이퀴스트 안정성 기준은 피드백 시스템의 안정성을 판단하는 데 사용되는 중요한 기법이다. 이 기준은 시스템의 개루프 전달 함수 $G(s)$ 와 $H(s)$ 에 대한 정보만으로 폐루프 시스템의 안정성을 결정할 수 있다. 이를 통해 시스템의 안정성을 분석하는 과정에서 특정한 조건을 만족해야만 시스템이 안정하다는 결론을 도출할 수 있다.

나이퀴스트 안정성 기준의 핵심은 개루프 전달 함수가 복소 평면의 $-1$ 점을 몇 번 감싸는지 분석하는 것이다. 이때, $-1$ 점을 감싸는 횟수와 시스템의 폐루프 특성에 따라 안정성이 결정된다.

선형 시스템의 상태 가변 궤적

선형 시스템에서 상태 궤적은 시스템의 동적 거동을 설명하는 중요한 개념이다. 상태 공간 표현에서, 시스템의 상태 $\mathbf{x}(t)$ 는 시간에 따라 변화하는 벡터로 표현된다. 상태 궤적은 시스템이 시간에 따라 상태 공간에서 어떻게 변화하는지를 나타내며, 상태 궤적의 형태는 시스템의 행렬 $\mathbf{A}$ 의 고유값에 의해 결정된다.

상태 공간에서의 상태 궤적은 시스템의 초기 상태 $\mathbf{x}(0)$ 와 입력 $\mathbf{u}(t)$ 에 따라 결정되며, 다음과 같은 형식으로 표현된다:

$\mathbf{x}(t) = e^{\mathbf{A} t} \mathbf{x}(0) + \int_0^t e^{\mathbf{A}(t-\tau)} \mathbf{B} \mathbf{u}(\tau) d\tau$

이 수식에서 $e^{\mathbf{A} t}$ 는 상태 전이 행렬을 의미하며, 시스템의 동적 거동을 결정하는 중요한 요소이다.

상태 전이 행렬

상태 전이 행렬 $e^{\mathbf{A} t}$ 는 선형 시스템의 상태가 시간에 따라 어떻게 변하는지를 설명하는 핵심 도구이다. 이는 다음과 같이 정의된다:

$e^{\mathbf{A} t} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\mathbf{A} t)^k}{k!}$

상태 전이 행렬을 사용하여 시스템의 과거 상태를 기반으로 미래 상태를 예측할 수 있다. 상태 전이 행렬은 시스템의 고유값 및 고유벡터에 의해 결정되며, 시스템의 안정성, 응답 시간 등을 분석하는 데 매우 유용하다.

선형 시스템의 상태 피드백 제어

상태 피드백 제어는 선형 시스템의 동작을 제어하기 위해 상태 변수를 피드백하는 기법이다. 상태 피드백을 통해 시스템의 동작을 원하는 방식으로 제어할 수 있으며, 특히 시스템의 고유값을 원하는 위치로 배치하는 것이 가능하다. 이를 고유값 배치(Eigenvalue Placement) 기법이라 한다.

상태 피드백 제어의 수학적 표현

상태 공간 표현에서 선형 시스템의 상태 방정식은 다음과 같이 표현된다:

$\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t)$

여기서 상태 피드백을 적용하려면 입력 $\mathbf{u}(t)$ 을 상태 변수 $\mathbf{x}(t)$ 에 비례하는 형태로 설정한다. 일반적으로 상태 피드백은 다음과 같은 형태를 갖는다:

$\mathbf{u}(t) = -\mathbf{K} \mathbf{x}(t)$

여기서 $\mathbf{K}$ 는 이득 행렬(Gain Matrix)로, 시스템의 상태에 따라 입력을 조절하는 역할을 한다. 이 상태 피드백을 상태 방정식에 대입하면 다음과 같은 폐루프 시스템을 얻는다:

$\mathbf{\dot{x}}(t) = (\mathbf{A} - \mathbf{B} \mathbf{K}) \mathbf{x}(t)$

이제 시스템의 동적 행렬이 $\mathbf{A} - \mathbf{B} \mathbf{K}$ 로 변경되었으며, 이를 통해 시스템의 고유값을 원하는 위치로 배치할 수 있다.

고유값 배치

고유값 배치(Eigenvalue Placement)는 상태 피드백을 통해 시스템의 동적 성질을 제어하는 방법이다. 시스템의 고유값은 시스템의 과도 응답과 안정성에 중요한 영향을 미치며, 고유값을 적절히 배치함으로써 시스템의 응답 속도, 감쇠비 등을 원하는 대로 조절할 수 있다.

고유값 배치는 다음과 같이 시스템의 동적 행렬 $\mathbf{A} - \mathbf{B} \mathbf{K}$ 의 고유값을 원하는 위치에 배치하는 과정을 통해 이루어진다:

원하는 고유값을 설정한다. 이는 시스템의 응답 시간, 감쇠비, 진동 주파수 등을 고려하여 선택한다.
고유값 배치를 위한 이득 행렬 $\mathbf{K}$ 를 계산한다. 이를 위해 폴 배치(Place Method) 또는 래크비츠 방법(Ackermann's Method) 등을 사용할 수 있다.

제어 가능성

상태 피드백을 성공적으로 적용하기 위해서는 시스템이 제어 가능(Controllable) 해야 한다. 제어 가능성은 시스템의 입력을 통해 모든 상태를 원하는 대로 조절할 수 있는지를 나타내는 성질이다. 제어 가능성을 확인하기 위해서는 제어 가능성 행렬(Controllability Matrix) $\mathbf{P}$ 를 이용한다:

$\mathbf{P} = \begin{bmatrix} \mathbf{B} & \mathbf{A}\mathbf{B} & \mathbf{A}^2 \mathbf{B} & \dots & \mathbf{A}^{n-1} \mathbf{B} \end{bmatrix}$

만약 $\mathbf{P}$ 가 풀랭크(Full Rank)라면, 즉 행렬의 랭크가 시스템의 차원과 같다면, 시스템은 제어 가능하다. 이 경우 상태 피드백을 통해 시스템의 상태를 원하는 대로 제어할 수 있다.

상태 관측기

상태 피드백 제어를 적용하려면 모든 상태 변수를 직접 측정할 수 있어야 한다. 그러나 많은 경우 시스템의 모든 상태 변수를 직접 측정하는 것은 불가능하다. 이때, 상태 관측기(State Observer)를 사용하여 측정할 수 없는 상태 변수를 추정한다.

상태 관측기의 기본적인 형태는 루엔베르거 관측기(Luenberger Observer)로, 이는 시스템의 출력을 기반으로 상태 변수를 추정한다. 루엔베르거 관측기의 상태 방정식은 다음과 같다:

$\mathbf{\dot{\hat{x}}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{\hat{x}}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t) + \mathbf{L} (\mathbf{y}(t) - \mathbf{C} \mathbf{\hat{x}}(t))$

여기서: - $\mathbf{\hat{x}}(t)$ 는 추정된 상태 변수 벡터, - $\mathbf{L}$ 은 관측기 이득(Observer Gain) 행렬이다.

관측기 이득 $\mathbf{L}$ 은 시스템의 고유값을 원하는 위치에 배치함으로써, 상태 추정이 빠르고 정확하게 이루어지도록 조정할 수 있다. 관측기의 고유값이 충분히 크다면, 상태 추정 오차는 빠르게 감소하여 정확한 상태 추정이 가능해진다.

제어 가능성과 관측 가능성

상태 피드백과 상태 관측기를 성공적으로 설계하기 위해서는 시스템이 제어 가능하고 관측 가능(Observable) 해야 한다. 관측 가능성은 시스템의 출력으로부터 모든 상태 변수를 추정할 수 있는지를 나타낸다. 관측 가능성은 관측 가능성 행렬(Observability Matrix) $\mathbf{Q}$ 을 통해 확인할 수 있다:

$\mathbf{Q} = \begin{bmatrix} \mathbf{C} \\ \mathbf{C} \mathbf{A} \\ \mathbf{C} \mathbf{A}^2 \\ \dots \\ \mathbf{C} \mathbf{A}^{n-1} \end{bmatrix}$

만약 $\mathbf{Q}$ 가 풀랭크라면, 즉 행렬의 랭크가 시스템의 차원과 같다면, 시스템은 관측 가능하다. 이 경우 상태 관측기를 사용하여 모든 상태 변수를 정확하게 추정할 수 있다.