전달함수의 정의

제어시스템에서 전달함수는 시스템의 입력과 출력 사이의 관계를 주파수 영역에서 나타내는 수학적 표현이다. 전달함수는 라플라스 변환을 통해 시간 영역에서의 미분 방정식을 주파수 영역으로 변환한 결과이다. 전달함수 G(s)는 일반적으로 다음과 같은 형태로 표현된다.

G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}

여기서: - Y(s)는 출력의 라플라스 변환 - U(s)는 입력의 라플라스 변환 - s는 복소수 주파수 변수

이득의 정의

이득은 시스템이 입력에 대해 얼마나 민감하게 반응하는지를 나타내는 값이다. 이득은 입력과 출력 사이의 비율로, 주로 비례 상수를 의미하며, 시스템의 특성에 따라 다르게 정의될 수 있다. 선형 시스템에서는 이득이 고정된 상수 값일 수 있으며, 이득이 큰 경우 입력에 대한 출력의 변화가 크다는 것을 의미한다.

전달함수와 이득의 관계

전달함수는 시스템의 이득을 포함하는데, 시스템의 정적 이득과 동적 특성을 모두 반영한다. 이득은 입력에 대한 출력의 크기를 조절하는 역할을 하며, 일반적으로 다음과 같은 방법으로 전달함수의 분모와 분자에 포함된다.

전달함수가 일반적으로 1차 시스템으로 주어졌을 때:

G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}

여기서: - K는 시스템의 정적 이득 - \tau는 시스템의 시간 상수 - s는 복소수 주파수 변수

이 식에서 이득 K는 시스템의 입력이 주어졌을 때 출력의 비율을 결정한다. K가 클수록, 동일한 입력에 대해 더 큰 출력이 발생한다.

고차 시스템에서의 이득과 전달함수

2차 또는 그 이상의 시스템에서도 이득은 전달함수의 분자에 나타난다. 예를 들어 2차 시스템의 전달함수는 다음과 같이 주어질 수 있다.

G(s) = \frac{K}{s^2 + 2\zeta \omega_n s + \omega_n^2}

여기서: - K는 시스템의 이득 - \zeta는 감쇠 계수 - \omega_n은 자연 진동수

이 시스템에서 이득 K는 동일하게 입력에 대한 출력의 비율을 결정하며, 시스템이 얼마나 빠르게 반응하는지 또는 얼마나 민감하게 반응하는지를 나타낸다. K 값이 커질수록 출력 값은 더 크게 변화하며, 이는 시스템의 응답에 영향을 미친다.

폐루프 시스템에서의 이득과 전달함수

폐루프 제어 시스템에서는 피드백을 통해 출력이 조절되며, 이때 시스템의 이득은 폐루프 전달함수에 중요한 영향을 미친다. 피드백 제어 시스템의 전달함수는 다음과 같은 일반적인 형태로 표현된다.

T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)}

여기서: - T(s)는 폐루프 시스템의 전달함수 - G(s)는 개루프 시스템의 전달함수 - H(s)는 피드백 경로의 전달함수

이 식에서 이득은 G(s)와 H(s)에 포함되어 있다. 폐루프 시스템에서 이득이 커지면 피드백 효과가 증가하여 시스템의 응답 특성이 크게 변할 수 있다. 특히, 이득이 너무 크면 시스템이 불안정해질 수 있다.

이득과 안정성

전달함수에서 이득 K는 시스템의 안정성에 중요한 영향을 미친다. 예를 들어, 시스템의 극점은 전달함수의 분모를 0으로 만드는 값으로, 이 극점의 위치는 시스템의 안정성을 결정한다. 이득이 증가하면 극점의 위치가 변하여 시스템의 안정성에 영향을 미칠 수 있다. 특히, 극점이 오른쪽 반평면으로 이동하면 시스템이 불안정해진다.

1차 시스템의 예로서 다음과 같은 전달함수를 고려해본다.

G(s) = \frac{K}{\tau s + 1}

이 시스템의 극점은 s = -\frac{1}{\tau}로, 이득 K는 극점의 위치에 영향을 미치지 않지만, 출력의 크기와 응답 속도에 영향을 준다. 그러나 고차 시스템의 경우 이득이 극점에 영향을 미칠 수 있다.

2차 시스템의 경우 다음과 같이 전달함수를 나타낼 수 있다.

G(s) = \frac{K}{s^2 + 2\zeta \omega_n s + \omega_n^2}

이 시스템에서 이득 K는 출력의 크기를 조절하지만, 감쇠 계수 \zeta와 자연 진동수 \omega_n도 시스템의 응답과 안정성에 영향을 미친다. 이득이 너무 커지면 시스템이 과도하게 진동하거나 불안정해질 수 있다.

루트 궤적을 통한 이득과 전달함수의 관계

루트 궤적은 전달함수에서 이득이 변화할 때 극점의 이동 경로를 시각화하는 도구이다. 이를 통해 이득이 시스템의 안정성에 미치는 영향을 분석할 수 있다. 루트 궤적은 s-평면에서 그려지며, 이득이 변화함에 따라 시스템의 극점이 어떻게 이동하는지를 보여준다.

루트 궤적은 개루프 전달함수 G(s)H(s)의 극점과 영점을 기준으로 그려지며, 이득이 증가함에 따라 극점이 영점으로 이동하는 경로를 나타낸다. 이 경로를 통해 시스템이 특정 이득 값에서 안정적인지 여부를 판단할 수 있다.

다이어그램으로 간단한 루트 궤적의 예를 다음과 같이 그릴 수 있다:

graph TD; A[극점] --> B[영점]; A --> C[불안정 영역]; B --> D[안정 영역];

루트 궤적을 분석함으로써 시스템이 안정적으로 유지될 수 있는 이득 범위를 결정할 수 있으며, 특정 이득 값에서 시스템이 불안정해지는 시점을 알 수 있다.