전달함수 - 소프트웨어 융합

전달함수의 정의

전달함수(Transfer Function)는 제어 시스템에서 입력과 출력의 관계를 나타내는 중요한 수학적 표현이다. 시스템의 동적 특성을 주파수 영역에서 분석할 때 주로 사용되며, 선형 시불변 시스템(Linear Time-Invariant, LTI)의 경우 라플라스 변환을 이용하여 입력과 출력의 비율을 주파수 영역에서 나타낸다.

전달함수는 일반적으로 다음과 같이 표현된다.

$H(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$

여기서: - $H(s)$ 는 시스템의 전달함수 - $Y(s)$ 는 출력의 라플라스 변환 - $U(s)$ 는 입력의 라플라스 변환 - $s$ 는 복소수 주파수 변수 (라플라스 변수)

전달함수의 유도

전달함수는 미분 방정식으로 표현된 시스템을 주파수 영역에서 나타내기 위해 사용된다. 예를 들어, 시스템이 다음과 같은 선형 미분 방정식으로 주어질 경우:

$a_n \frac{d^n y(t)}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y(t)}{dt^{n-1}} + \dots + a_1 \frac{dy(t)}{dt} + a_0 y(t) = b_m \frac{d^m u(t)}{dt^m} + b_{m-1} \frac{d^{m-1} u(t)}{dt^{m-1}} + \dots + b_1 \frac{du(t)}{dt} + b_0 u(t)$

라플라스 변환을 취하면, 미분은 라플라스 영역에서 $s$ 로 표현되며, 다음과 같은 다항식 형태로 전달함수를 정의할 수 있다:

$H(s) = \frac{b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + \dots + b_1 s + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \dots + a_1 s + a_0}$

전달함수의 구성

전달함수는 두 가지 주요 부분으로 나뉜다: 1. 분자(Numerator): 입력에 대응하는 출력의 영향을 나타낸다. 2. 분모(Denominator): 시스템의 특성 방정식을 나타내며, 시스템의 고유 주파수와 관련된다.

위 수식을 기반으로, 전달함수의 분자와 분모는 각기 다른 시스템 구성 요소의 특성을 반영하게 된다. 특히 분모는 시스템의 고유 주파수와 안정성을 나타내는 중요한 부분이다.

전달함수의 성질

전달함수는 시간 도메인에서의 성질을 주파수 도메인에서 직관적으로 이해하는데 도움을 준다. 몇 가지 중요한 성질은 다음과 같다:

선형성(Linearity): 전달함수는 선형 연산자를 이용하여 입력과 출력의 비례 관계를 나타낸다.
시불변성(Time Invariance): 전달함수는 시간에 대해 일정한 시스템을 다루며, 시간에 따라 변하지 않는다.
안정성(Stability): 전달함수의 극점(poles)이 시스템의 안정성을 결정한다. 극점이 모두 복소 평면의 좌측 반면에 위치해야 시스템이 안정하다.

전달함수와 극점, 영점

전달함수의 분모와 분자는 각각 극점(poles)과 영점(zeros)의 위치를 나타낸다.

영점(Zero): 전달함수의 분자를 0으로 만드는 $s$ 의 값.
극점(Pole): 전달함수의 분모를 0으로 만드는 $s$ 의 값.

$H(s) = K \frac{(s - z_1)(s - z_2) \dots (s - z_m)}{(s - p_1)(s - p_2) \dots (s - p_n)}$

여기서: - $z_i$ 는 영점의 위치 - $p_i$ 는 극점의 위치 - $K$ 는 시스템의 이득(Gain)

영점과 극점의 위치는 시스템의 주파수 응답을 결정하며, 시스템의 동적 특성에 중요한 영향을 미친다.

전달함수의 시간응답과 주파수응답

전달함수는 시스템의 시간응답과 주파수응답을 모두 분석하는 데 유용하다. 여기서 시간응답은 시스템에 특정 입력을 가했을 때 시간이 경과하면서 출력이 어떻게 변하는지를 나타내며, 주파수응답은 시스템이 다양한 주파수 성분에 대해 어떻게 반응하는지를 나타낸다.

시간응답

전달함수를 이용해 시간 도메인에서 시스템의 응답을 구할 수 있다. 입력이 단위 계단 입력(Unit Step Input)일 때, 전달함수를 이용하여 출력의 시간 응답을 구할 수 있으며, 이는 역 라플라스 변환을 통해 계산된다. 예를 들어, 단위 계단 입력 $U(s) = \frac{1}{s}$ 일 때 시스템의 출력은 다음과 같이 계산될 수 있다.

$Y(s) = H(s) \cdot U(s)$

역 라플라스 변환을 통해 시간 영역에서의 응답 $y(t)$ 를 구할 수 있다. 시스템의 시간응답은 과도응답(transient response)과 정상상태 응답(steady-state response)으로 나뉘며, 과도응답은 시스템이 안정화되기 전의 응답을 나타내고, 정상상태 응답은 시간이 충분히 경과한 후의 응답을 의미한다.

주파수응답

전달함수는 시스템의 주파수응답을 분석할 때도 매우 유용하다. 주파수응답은 시스템이 각 주파수 성분에 대해 어떻게 반응하는지 보여주며, 주파수 도메인에서의 해석을 통해 시스템의 안정성과 성능을 쉽게 평가할 수 있다.

시스템의 전달함수 $H(s)$ 에서, $s = j\omega$ 로 대입하여 복소수 주파수에서의 응답을 구할 수 있다.

$H(j\omega) = \frac{b_m (j\omega)^m + b_{m-1} (j\omega)^{m-1} + \dots + b_1 (j\omega) + b_0}{a_n (j\omega)^n + a_{n-1} (j\omega)^{n-1} + \dots + a_1 (j\omega) + a_0}$

여기서 $\omega$ 는 주파수이며, 이를 통해 주파수 응답을 분석할 수 있다. 주파수응답은 보드선도(Bode plot)나 니콜스선도(Nichols chart)를 통해 그래픽으로 표현할 수 있으며, 시스템의 대역폭(bandwidth), 위상 마진(phase margin), 이득 마진(gain margin) 등의 주요 성능 지표를 확인할 수 있다.

전달함수의 극점-영점 배치

전달함수의 극점과 영점은 시스템의 동적 특성을 결정짓는 중요한 요소다. 극점은 시스템의 고유 진동수를 나타내며, 시스템이 어떠한 방식으로 안정화되는지 결정한다. 영점은 특정 주파수에서 입력 신호에 대한 응답을 억제하는 역할을 한다. 극점-영점 배치에 따라 시스템의 응답 특성, 특히 시간응답 및 주파수응답이 달라지게 된다.

극점(Pole): 전달함수의 분모를 0으로 만드는 값, 즉 $H(s)$ 의 분모가 0이 되는 $s$ 의 값은 시스템의 극점이다. 극점이 우반평면에 있을 경우 시스템은 불안정해지고, 좌반평면에 있을 경우 안정적이다.
영점(Zero): 전달함수의 분자를 0으로 만드는 값, 즉 $H(s)$ 의 분자가 0이 되는 $s$ 의 값은 영점이다. 영점은 시스템의 특정 주파수 성분에 대한 응답을 억제하는 효과를 가진다.

이때 극점과 영점의 위치는 시스템의 안정성, 진동 특성, 과도응답 특성에 영향을 미친다. 예를 들어, 극점이 원점에 가까울수록 시스템의 응답 속도가 느려지며, 영점이 존재할 경우 특정 주파수 대역에서의 응답이 크게 변화할 수 있다.

극점-영점 배치의 예시

다음은 간단한 2차 시스템의 전달함수 예시이다.

$H(s) = \frac{s + 3}{s^2 + 2s + 1}$

이 전달함수의 극점과 영점을 분석해보면: - 영점: $s = -3$ - 극점: $s = -1 \pm 0$

이와 같은 배치는 시스템의 과도 응답에서 영점이 입력의 특정 주파수 성분에 강한 영향을 미치며, 시스템이 안정적인 방식으로 응답할 것을 예측하게 한다.

전달함수의 장점

전달함수는 시간영역에서 복잡한 미분 방정식을 해결하지 않고도 시스템을 분석할 수 있는 간단한 방법을 제공한다. 전달함수의 주요 장점은 다음과 같다.

시스템의 안정성 분석

전달함수는 시스템의 안정성을 분석하는 데 매우 유용하다. 극점(poles)의 위치에 따라 시스템의 안정성을 쉽게 평가할 수 있다. 전달함수의 분모를 0으로 만드는 값, 즉 극점의 실수부가 음수일 경우 시스템은 안정적이며, 실수부가 양수일 경우 시스템은 불안정해진다.

특히 루스-후르비츠 기준(Routh-Hurwitz criterion)을 이용하여 전달함수를 통해 시스템의 안정성을 수학적으로 분석할 수 있다. 이를 통해 시스템의 극점이 모두 좌반평면에 위치하는지 여부를 판단할 수 있다.

시간응답 예측

전달함수는 시스템의 시간응답을 쉽게 예측할 수 있게 해준다. 단위 계단 입력, 임펄스 입력 등의 표준적인 입력에 대해 전달함수를 이용해 라플라스 역변환을 통해 시간영역 응답을 계산할 수 있다.

예를 들어, 단위 계단 입력을 받는 1차 시스템의 전달함수:

$H(s) = \frac{1}{\tau s + 1}$

이 전달함수의 시간응답은 다음과 같다:

$y(t) = 1 - e^{-\frac{t}{\tau}}$

이 식은 $t$ 가 커질수록 시스템의 응답이 점차적으로 안정화되어 $y(t) = 1$ 에 수렴하는 것을 보여준다. 이처럼 전달함수를 통해 시스템의 시간적 동작을 예측할 수 있다.

주파수 응답 분석

전달함수는 시스템의 주파수 응답을 평가하는 데 중요한 도구다. 특히 보드 선도(Bode Plot)를 사용하여 전달함수의 주파수 응답을 시각화할 수 있다. 이는 시스템의 이득 마진(gain margin)과 위상 마진(phase margin)을 계산하는 데 유용하다.

$H(j\omega) = \frac{b_m (j\omega)^m + b_{m-1} (j\omega)^{m-1} + \dots + b_1 (j\omega) + b_0}{a_n (j\omega)^n + a_{n-1} (j\omega)^{n-1} + \dots + a_1 (j\omega) + a_0}$

이를 통해 주파수 응답에서 시스템이 특정 주파수에서 어떻게 반응하는지 분석할 수 있으며, 대역폭(bandwidth)과 시스템의 응답 속도를 평가할 수 있다.

전달함수의 직렬 및 병렬 연결

전달함수는 시스템 구성 요소가 직렬 또는 병렬로 연결된 경우 쉽게 분석할 수 있다. 직렬 연결된 시스템의 경우, 각 구성 요소의 전달함수를 곱하면 전체 시스템의 전달함수를 구할 수 있다. 반면, 병렬 연결된 경우 각 전달함수를 더하면 된다.

직렬 연결의 전달함수

두 시스템 $H_1(s)$ 와 $H_2(s)$ 가 직렬로 연결된 경우, 전체 시스템의 전달함수는 두 전달함수의 곱으로 표현된다.

$H(s) = H_1(s) \cdot H_2(s)$

병렬 연결의 전달함수

두 시스템 $H_1(s)$ 와 $H_2(s)$ 가 병렬로 연결된 경우, 전체 시스템의 전달함수는 두 전달함수의 합으로 표현된다.

$H(s) = H_1(s) + H_2(s)$

피드백 제어에서의 전달함수

전달함수는 피드백 제어 시스템에서도 중요한 역할을 한다. 피드백 제어 시스템에서는 출력이 입력으로 다시 전달되어 시스템의 성능을 조절하게 되는데, 이때 전달함수를 사용하여 시스템의 폐루프(closed-loop) 전달함수를 쉽게 구할 수 있다.

피드백 시스템의 전달함수는 다음과 같이 계산된다.

$H_{\text{closed}}(s) = \frac{H(s)}{1 + H(s) G(s)}$

여기서: - $H(s)$ 는 전방향 경로(forward path)의 전달함수 - $G(s)$ 는 피드백 경로(feedback path)의 전달함수

이 식을 통해 피드백이 포함된 시스템의 성능을 분석할 수 있으며, 안정성 평가와 성능 향상에 매우 유용하다.

전달함수의 인버스

전달함수의 역함수는 시스템의 응답을 반대로 되돌리는 데 사용할 수 있다. 전달함수의 분모와 분자를 교환하면 인버스 전달함수를 구할 수 있으며, 이를 통해 시스템의 역동작을 분석할 수 있다.

전달함수의 모델링 예시

전달함수는 다양한 시스템을 모델링하는 데 사용된다. 여기서는 몇 가지 대표적인 시스템의 전달함수를 살펴본다.

1. 1차 시스템 (First-Order System)

1차 시스템은 가장 간단한 형태의 시스템이며, 주로 지수 응답을 보이는 시스템을 모델링한다. 1차 시스템의 일반적인 형태는 다음과 같다.

$H(s) = \frac{K}{\tau s + 1}$

여기서: - $K$ 는 시스템의 이득 (Gain) - $\tau$ 는 시간 상수 (Time constant) - $s$ 는 복소수 주파수 변수

이 시스템의 시간 상수 $\tau$ 는 시스템이 응답을 시작하고 일정한 상태에 도달하는 속도를 결정한다. 시간이 $\tau$ 만큼 경과하면 시스템 응답이 최종 값의 약 63.2%에 도달하게 된다. 시간응답은 다음과 같다.

$y(t) = K \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$

이 응답은 $t \rightarrow \infty$ 일 때 $y(t) = K$ 에 수렴한다.

2. 2차 시스템 (Second-Order System)

2차 시스템은 더 복잡한 동적 특성을 나타내며, 진동하는 응답을 가질 수 있다. 2차 시스템의 전달함수는 일반적으로 다음과 같이 표현된다.

$H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$

여기서: - $\omega_n$ 은 자연 진동수 (Natural frequency) - $\zeta$ 는 감쇠 계수 (Damping ratio) - $s$ 는 복소수 주파수 변수

이 시스템의 감쇠 계수 $\zeta$ 는 시스템의 진동 특성과 안정성을 결정한다: - $\zeta = 0$ 일 때: 비감쇠 시스템 (Undamped), 지속적인 진동을 보인다. - $0 < \zeta < 1$ 일 때: 감쇠된 진동 (Underdamped), 시간이 지남에 따라 진동이 점차 줄어든다. - $\zeta = 1$ 일 때: 임계 감쇠 (Critically damped), 진동 없이 빠르게 안정화된다. - $\zeta > 1$ 일 때: 과감쇠 (Overdamped), 천천히 안정화된다.

3. 비정형 시스템 (Non-standard System)

비정형 시스템은 일반적인 형태의 전달함수로는 표현하기 어려운 복잡한 시스템을 나타낸다. 예를 들어, 비선형 요소가 포함된 시스템의 전달함수를 유도하기 위해서는 선형화를 거쳐야 한다.

비선형 시스템은 상태 공간 모델(State Space Model)을 통해 선형화된 후, 그에 따른 전달함수를 얻을 수 있다. 상태 공간 모델에서 전달함수는 다음과 같이 유도된다:

$H(s) = \mathbf{C}(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{B} + \mathbf{D}$

여기서: - $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}$ 는 상태 공간 행렬 - $s$ 는 복소수 주파수 변수 - $\mathbf{I}$ 는 단위 행렬

상태 공간 모델을 통해 비선형 시스템을 선형화하여 전달함수를 구하면, 시스템의 동적 특성을 더 쉽게 분석할 수 있다.

전달함수의 변환

전달함수는 다양한 수학적 연산을 통해 변환될 수 있으며, 이는 시스템의 해석 및 설계에 유용하다. 다음은 몇 가지 대표적인 변환 방법이다.

라플라스 변환을 이용한 전달함수 유도

전달함수는 시간 영역의 미분 방정식을 라플라스 변환을 통해 주파수 영역으로 변환하여 유도할 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 1차 미분 방정식을 고려해보자:

$\tau \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = K u(t)$

라플라스 변환을 취하면:

$\tau s Y(s) + Y(s) = K U(s)$

이 식을 정리하면 전달함수를 얻을 수 있다.

$H(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{K}{\tau s + 1}$

라플라스 변환은 선형 미분 방정식을 주파수 영역에서 쉽게 분석할 수 있는 도구로 제공하며, 전달함수를 유도하는 핵심적인 방법이다.

전달함수의 역변환

전달함수는 주파수 영역에서 시간 영역으로 변환하여 시스템의 시간 응답을 구할 수 있다. 이는 라플라스 역변환을 통해 이루어진다. 예를 들어, 1차 시스템의 전달함수:

$H(s) = \frac{1}{\tau s + 1}$

이 전달함수의 역변환을 통해 시간 응답은 다음과 같이 주어진다:

$y(t) = 1 - e^{-\frac{t}{\tau}}$

역 라플라스 변환은 전달함수를 다시 시간 영역으로 변환하여 시스템의 실제 응답을 확인하는 데 필수적이다.