입력(Input) - 소프트웨어 융합

입력의 정의

제어 시스템에서 입력(Input)은 시스템의 상태를 변화시키기 위해 외부에서 가해지는 자극 또는 명령을 의미한다. 입력은 일반적으로 시스템에 대해 목표로 하는 동작을 정의하며, 이를 통해 시스템이 특정한 동작을 수행하도록 유도한다. 입력은 스칼라 값일 수도 있고, 벡터일 수도 있으며, 시스템에 따라 다양한 형태로 나타날 수 있다.

수학적 표현

제어 시스템에서 입력은 주로 시간의 함수로 정의되며, 일반적으로 $u(t)$ 로 나타낸다. 여기서 $t$ 는 시간 변수이다. 다중 입력 시스템에서는 입력 벡터 $\mathbf{u}(t)$ 를 사용하며, 이를 일반적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$\mathbf{u}(t) = \begin{bmatrix} u_1(t) \\ u_2(t) \\ \vdots \\ u_n(t) \end{bmatrix}$

여기서, $n$ 은 입력의 개수를 나타낸다. 각 입력 $u_i(t)$ 는 시스템의 특정 부분에 작용하는 입력 신호를 나타낸다.

연속 입력과 이산 입력

입력은 시스템의 특성에 따라 연속 입력과 이산 입력으로 나눌 수 있다. 연속 입력은 시간의 연속적인 함수로 나타내며, 주로 물리적 시스템에서 사용된다. 예를 들어, 온도, 속도, 전압 등이 이에 해당한다. 이산 입력은 특정 시간 간격마다 정의되며, 디지털 시스템에서 많이 사용된다. 수식으로는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

연속 입력: $u(t)$
이산 입력: $u[k]$ , 여기서 $k$ 는 이산 시간 인덱스를 나타낸다.

제어 목적에 따른 입력의 유형

입력은 제어 목적에 따라 크게 두 가지 유형으로 나눌 수 있다:

참조 입력(Reference Input): 시스템이 따라야 할 목표 또는 명령을 정의한다. 일반적으로 $r(t)$ 로 표현되며, 시스템이 도달해야 할 목표 상태를 나타낸다. 예를 들어, 온도 조절 시스템에서는 사용자가 설정한 목표 온도가 참조 입력이 된다.
외란 입력(Disturbance Input): 시스템 외부에서 발생하여 시스템의 성능을 방해하는 입력을 말한다. 외란 입력은 시스템에서 예측하지 못하는 변화를 유발하며, 이를 $d(t)$ 로 나타낸다. 예를 들어, 자동차의 속도 제어 시스템에서 도로의 경사나 바람이 외란 입력이 될 수 있다.

상태-공간 표현에서의 입력

입력은 상태-공간 모델에서도 중요한 역할을 한다. 상태-공간 표현에서 입력은 시스템의 상태 변화에 직접적으로 영향을 미치며, 일반적으로 다음과 같은 형태로 나타낸다:

$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t)$

여기서: - $\mathbf{x}(t)$ 는 상태 벡터, - $\mathbf{A}$ 는 시스템 행렬, - $\mathbf{B}$ 는 입력 행렬, - $\mathbf{u}(t)$ 는 입력 벡터이다.

입력 벡터 $\mathbf{u}(t)$ 는 시스템 상태 $\mathbf{x}(t)$ 의 변화를 결정하는 중요한 요소이다.

입력의 특성

입력은 제어 시스템에서 다양한 특성을 가질 수 있으며, 이를 이해하는 것이 중요하다. 대표적인 입력의 특성으로는 선형성, 비선형성, 시간 의존성, 그리고 잡음의 존재 여부 등을 들 수 있다.

선형 입력과 비선형 입력

선형 입력은 입력과 출력 간의 관계가 선형적으로 유지되는 시스템에서 사용된다. 입력 $u(t)$ 가 출력에 선형적으로 영향을 미치며, 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다:

$y(t) = k u(t)$

여기서 $k$ 는 일정한 상수로, 입력에 대한 출력의 비율을 의미한다.

반면, 비선형 입력은 입력과 출력 간의 관계가 선형적으로 유지되지 않는 경우를 의미한다. 비선형 입력은 제어 시스템에서 복잡한 동작을 유발할 수 있으며, 일반적으로 다음과 같이 표현된다:

$y(t) = k u^2(t)$

또는 더 복잡한 형태로 나타날 수 있으며, 비선형 제어 시스템에서는 이를 고려한 추가적인 제어 전략이 필요하다.

시간 의존적 입력

입력은 시스템의 성능에 따라 시간에 의존할 수 있다. 시간 불변 입력(Time-Invariant Input)은 입력이 시간에 따라 변하지 않는 경우를 의미하며, 일정한 입력을 시스템에 가하는 경우가 이에 해당한다. 수식으로는 다음과 같이 표현된다:

$u(t) = u_0$

여기서 $u_0$ 는 시간과 무관한 일정한 값이다.

반면, 시간 의존 입력(Time-Dependent Input)은 입력이 시간에 따라 변하는 경우를 의미하며, 시스템이 주어진 시간에 따라 변하는 동작을 하도록 설계된 경우를 나타낸다. 시간 의존적 입력은 일반적으로 다음과 같은 형태로 표현된다:

$u(t) = f(t)$

여기서 $f(t)$ 는 시간에 따른 입력의 변화를 나타내는 함수이다.

잡음과 입력

실제 시스템에서는 입력 신호에 잡음이 포함될 수 있다. 이러한 잡음(Noise)은 제어 시스템의 성능에 부정적인 영향을 미칠 수 있다. 잡음이 포함된 입력 신호는 다음과 같이 표현된다:

$u(t) = u_{\text{signal}}(t) + n(t)$

여기서 $n(t)$ 는 입력 신호에 포함된 잡음을 의미한다. 잡음이 존재하는 시스템에서는 필터링과 같은 추가적인 처리가 필요할 수 있다.

입력과 출력의 관계

입력과 출력은 제어 시스템에서 밀접하게 연관되어 있으며, 입력에 따라 출력이 결정된다. 이는 전달 함수 또는 상태-공간 모델을 통해 표현된다. 일반적으로 전달 함수에서 입력과 출력의 관계는 다음과 같이 나타낸다:

$Y(s) = G(s) U(s)$

여기서: - $Y(s)$ 는 출력의 라플라스 변환, - $U(s)$ 는 입력의 라플라스 변환, - $G(s)$ 는 시스템의 전달 함수이다.

전달 함수 $G(s)$ 는 시스템이 입력에 어떻게 반응하는지를 설명하며, 입력 신호 $U(s)$ 에 따라 시스템의 출력 $Y(s)$ 가 결정된다.

입력의 제어 신호 유형

입력 신호는 제어 신호(Control Signal)로서 다양한 형태로 주어질 수 있다. 대표적인 입력 신호 유형은 다음과 같다:

단위 계단 입력(Unit Step Input): 가장 기본적인 입력 신호로, 시스템에 갑작스럽게 일정한 입력을 가하는 경우를 의미한다.

$u(t) = \begin{cases} 0 & t < 0 \\ 1 & t \geq 0 \end{cases}$

임펄스 입력(Impulse Input): 순간적인 입력 신호로, 시스템에 매우 짧은 시간 동안 강한 자극을 가하는 경우이다. 델타 함수로 표현된다.

$u(t) = \delta(t)$

사인파 입력(Sinusoidal Input): 주기적인 입력으로, 시스템이 주기적으로 변화하는 신호에 어떻게 반응하는지를 분석할 때 사용된다.

$u(t) = A \sin(\omega t)$

여기서 $A$ 는 진폭, $\omega$ 는 각속도를 나타낸다.

입력 신호의 또 다른 유형

입력 신호는 시스템의 성능을 평가하기 위한 여러 가지 형태로 나타낼 수 있다. 앞서 설명한 단위 계단 입력, 임펄스 입력, 사인파 입력 외에도 다양한 입력 신호가 제어 시스템에서 사용된다.

램프 입력 (Ramp Input)

램프 입력은 시간에 따라 선형적으로 증가하는 입력 신호를 의미한다. 이는 시스템이 시간에 따라 지속적으로 증가하는 외부 자극에 어떻게 반응하는지를 평가하는 데 사용된다. 수학적으로 램프 입력은 다음과 같이 정의할 수 있다:

$u(t) = \begin{cases} 0 & t < 0 \\ t & t \geq 0 \end{cases}$

램프 입력은 시스템이 일정한 속도로 증가하는 입력에 어떻게 반응하는지를 측정하는 데 유용하며, 예를 들어 속도 제어 시스템에서 유용하게 사용된다.

패러볼릭 입력 (Parabolic Input)

패러볼릭 입력은 시간에 따라 제곱 함수로 증가하는 신호로, 시스템이 점점 가속하는 입력에 어떻게 반응하는지를 평가하는 데 사용된다. 이는 특히 시스템의 적분 동작을 테스트할 때 유용하다. 패러볼릭 입력은 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$u(t) = \begin{cases} 0 & t < 0 \\ t^2 & t \geq 0 \end{cases}$

이 신호는 속도 제어 시스템에서 가속도를 평가하는 데 자주 사용되며, 적분 성분이 포함된 시스템에서 그 성능을 분석하는 데 적합하다.

랜덤 입력 (Random Input)

실제 시스템에서는 외부의 예측할 수 없는 요인에 의해 랜덤 입력이 발생할 수 있다. 이는 시스템이 랜덤한 외부 자극에 어떻게 반응하는지를 평가하기 위해 사용되며, 주로 잡음이나 외란을 시뮬레이션할 때 유용하다. 랜덤 입력은 시간에 따라 예측할 수 없는 변화를 보이며, 통계적 분포에 따라 모델링된다. 예를 들어, 백색 잡음(White Noise)는 랜덤 입력의 대표적인 예로서, 모든 주파수 대역에서 일정한 스펙트럼 밀도를 갖는 신호로 정의된다.

$u(t) \sim N(0, \sigma^2)$

여기서 $N(0, \sigma^2)$ 는 평균이 0이고 분산이 $\sigma^2$ 인 정규 분포를 따른다.

펄스 입력 (Pulse Input)

펄스 입력은 특정 시간 동안 일정한 크기를 유지하다가 그 이후에 0으로 돌아가는 입력 신호를 의미한다. 이는 시스템이 순간적으로 자극을 받고 이후에 반응하는 특성을 분석하는 데 사용된다. 수식으로는 다음과 같이 표현된다:

$u(t) = \begin{cases} A & 0 \leq t < T \\ 0 & t \geq T \end{cases}$

여기서 $A$ 는 펄스의 크기, $T$ 는 펄스가 지속되는 시간이다.

시스템 응답에서 입력의 역할

입력 신호는 시스템의 동작을 결정하는 가장 중요한 요소 중 하나이다. 입력에 따라 시스템의 응답은 크게 달라질 수 있으며, 시스템의 특성(예: 전달 함수나 상태-공간 모델)에 따라 입력에 대한 출력이 결정된다. 시스템의 시간 영역 응답(Time Domain Response) 및 주파수 영역 응답(Frequency Domain Response)을 분석할 때, 다양한 입력 신호를 통해 시스템의 안정성, 성능, 강건성 등을 평가할 수 있다.

다중 입력 다중 출력 (MIMO) 시스템에서의 입력

제어 시스템은 단일 입력 단일 출력(SISO) 시스템과 다중 입력 다중 출력(MIMO) 시스템으로 구분된다. MIMO 시스템에서는 여러 개의 입력이 여러 개의 출력에 영향을 미치며, 입력 벡터가 보다 복잡한 형태를 취한다. MIMO 시스템에서 입력과 출력은 다음과 같은 행렬 형태로 나타난다:

$\mathbf{Y}(s) = \mathbf{G}(s) \mathbf{U}(s)$

여기서: - $\mathbf{Y}(s)$ 는 출력 벡터, - $\mathbf{U}(s)$ 는 입력 벡터, - $\mathbf{G}(s)$ 는 시스템의 전달 행렬이다.

MIMO 시스템에서는 각 입력이 각 출력에 어떻게 영향을 미치는지를 분석하는 것이 중요하다. 시스템의 전달 행렬 $\mathbf{G}(s)$ 는 각 입력과 출력 사이의 상호 작용을 나타내며, 제어 시스템의 설계와 튜닝 과정에서 이를 정확히 이해해야 한다.

입력의 물리적 의미

입력은 제어 시스템에서 다양한 물리적 의미를 가질 수 있다. 예를 들어, 자동차 속도 제어 시스템에서 입력은 운전자가 가속 페달을 밟는 정도를 의미할 수 있으며, HVAC(Heating, Ventilation, and Air Conditioning) 시스템에서 입력은 설정 온도를 나타낼 수 있다. 입력 신호는 제어하고자 하는 대상의 목표 상태 또는 외부 환경 변화를 표현하는 중요한 요소로, 시스템이 입력에 어떻게 반응하느냐에 따라 시스템의 성능이 결정된다.