제어 시스템의 분류 - 소프트웨어 융합

선형 시스템과 비선형 시스템

제어 시스템은 동작 특성에 따라 선형 시스템과 비선형 시스템으로 나뉜다.

선형 시스템

선형 시스템은 시스템의 입력과 출력 사이의 관계가 선형으로 나타나는 시스템을 말한다. 즉, 입력이 변화하면 그에 비례하여 출력이 변화하며, 이는 중첩의 원리가 성립하는 경우이다. 선형 시스템의 일반적인 수학적 표현은 다음과 같다.

$\mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t) = \mathbf{y}(t)$

여기서: - $\mathbf{x}(t)$ : 상태 벡터 - $\mathbf{u}(t)$ : 입력 벡터 - $\mathbf{y}(t)$ : 출력 벡터 - $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ : 시스템의 선형 매개변수 행렬

비선형 시스템

비선형 시스템은 시스템의 입력과 출력 사이의 관계가 비선형으로 나타나는 경우를 말한다. 비선형 시스템에서는 입력의 변화에 따라 출력이 비례하지 않고, 그 관계는 복잡한 비선형 함수로 표현될 수 있다. 이러한 시스템은 중첩의 원리가 성립하지 않으며, 일반적으로 해석이 어렵고 제어가 복잡한다. 비선형 시스템의 일반적인 형태는 다음과 같다.

$\mathbf{f}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t)) = \mathbf{y}(t)$

여기서: - $\mathbf{f}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t))$ : 상태와 입력의 비선형 함수

시간 불변 시스템과 시간 가변 시스템

시스템이 시간에 따라 변하는지 여부에 따라 시간 불변 시스템과 시간 가변 시스템으로 나뉜다.

시간 불변 시스템 (Time-Invariant System, TIS)

시간 불변 시스템은 시스템의 특성이 시간에 따라 변하지 않는 경우이다. 즉, 시스템의 응답이 특정 시간에서 측정되든, 다른 시간에서 측정되든 동일한 입력에 대해 같은 출력을 발생시킨다. 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같다.

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{f}(\mathbf{u}(t))$

이 경우 시스템의 매개변수는 시간에 따라 변하지 않는다.

시간 가변 시스템 (Time-Varying System, TVS)

시간 가변 시스템은 시스템의 특성이 시간에 따라 변하는 경우를 말한다. 시간에 따라 입력에 대한 응답이 달라지며, 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같다.

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{f}(\mathbf{u}(t), t)$

이 경우 시스템의 매개변수는 시간 $t$ 에 따라 변한다.

결정론적 시스템과 확률적 시스템

결정론적 시스템

결정론적 시스템은 입력과 시스템의 상태가 주어졌을 때, 출력이 명확하게 결정되는 시스템을 말한다. 즉, 입력과 초기 조건이 같다면, 언제나 동일한 출력을 얻게 된다. 결정론적 시스템의 수학적 표현은 다음과 같다.

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{f}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t))$

여기서: - $\mathbf{x}(t)$ : 상태 벡터 - $\mathbf{u}(t)$ : 입력 벡터 - $\mathbf{y}(t)$ : 출력 벡터 - $\mathbf{f}$ : 시스템의 상태 방정식

이 시스템에서는 시스템의 모든 동작이 예측 가능하며, 입력과 상태가 동일하면 결과 또한 항상 동일하게 나온다.

확률적 시스템

확률적 시스템은 시스템의 출력이 확률적으로 결정되는 경우를 말한다. 입력이나 상태가 동일하더라도 출력에 불확실성이 존재하며, 이는 노이즈나 외부 요인으로 인해 발생한다. 이러한 시스템은 확률적인 특성을 고려하여 설계되어야 하며, 수학적으로는 다음과 같이 표현될 수 있다.

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{f}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t)) + \mathbf{n}(t)$

여기서: - $\mathbf{n}(t)$ : 노이즈 벡터, 확률적인 변수로서 출력에 영향을 줌

확률적 시스템에서는 시스템의 동작이 불확실하기 때문에, 결과를 예측하기 위해서는 확률 이론과 통계적인 기법이 필요하다.

연속 시간 시스템과 이산 시간 시스템

연속 시간 시스템

연속 시간 시스템은 시스템이 연속적인 시간 동안 동작하는 시스템을 의미한다. 즉, 시간 변수 $t$ 는 연속적인 값을 가질 수 있으며, 이 시스템은 일반적으로 미분 방정식으로 표현된다. 연속 시간 시스템의 예는 다음과 같다.

$\frac{d\mathbf{x}(t)}{dt} = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t)$

여기서: - $\frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}$ : 상태 변화율 - $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ : 시스템 매개변수 행렬

이산 시간 시스템

이산 시간 시스템은 이산적인 시간 구간에서 동작하는 시스템을 의미한다. 시간 변수 $k$ 는 이산적인 정수 값만을 가지며, 시스템은 차분 방정식으로 표현된다. 이산 시간 시스템의 수학적 표현은 다음과 같다.

$\mathbf{x}[k+1] = \mathbf{A}\mathbf{x}[k] + \mathbf{B}\mathbf{u}[k]$

여기서: - $\mathbf{x}[k+1]$ : 다음 상태 벡터 - $\mathbf{x}[k]$ : 현재 상태 벡터 - $\mathbf{u}[k]$ : 입력 벡터

연속 시간 시스템과 이산 시간 시스템 모두 제어 이론에서 중요한 개념이며, 이산 시간 시스템은 특히 디지털 컴퓨터를 사용한 제어 시스템에서 많이 사용된다.

단일 입력 단일 출력 시스템과 다중 입력 다중 출력 시스템

단일 입력 단일 출력 시스템 (SISO: Single Input Single Output)

단일 입력 단일 출력 시스템은 하나의 입력과 하나의 출력만을 가지는 시스템을 의미한다. 이 시스템은 제어 이론에서 가장 기본적인 형태로, 시스템의 동작을 분석하고 설계하기 용이한다. SISO 시스템은 다음과 같은 전달함수로 표현될 수 있다.

$G(s) = \frac{\mathbf{Y}(s)}{\mathbf{U}(s)}$

여기서: - $G(s)$ : 시스템의 전달함수 - $\mathbf{Y}(s)$ : 출력의 라플라스 변환 - $\mathbf{U}(s)$ : 입력의 라플라스 변환

SISO 시스템은 단일 입력과 단일 출력 사이의 관계를 단순화하여 제어 설계를 할 수 있다는 장점이 있다.

다중 입력 다중 출력 시스템 (MIMO: Multiple Input Multiple Output)

다중 입력 다중 출력 시스템은 여러 개의 입력과 여러 개의 출력을 가지는 시스템을 의미한다. MIMO 시스템은 입력과 출력의 수가 많아질수록 복잡도가 증가하며, 다변수 시스템으로 분류된다. MIMO 시스템은 상태 공간 표현으로 자주 사용되며, 일반적인 형태는 다음과 같다.

$\mathbf{X}(s) = \mathbf{A}\mathbf{X}(s) + \mathbf{B}\mathbf{U}(s)$

$\mathbf{Y}(s) = \mathbf{C}\mathbf{X}(s) + \mathbf{D}\mathbf{U}(s)$

여기서: - $\mathbf{X}(s)$ : 상태 벡터 - $\mathbf{U}(s)$ : 입력 벡터 - $\mathbf{Y}(s)$ : 출력 벡터 - $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}$ : 시스템 행렬

MIMO 시스템의 경우, 각각의 입력이 다양한 출력을 발생시키기 때문에 교차 영향을 고려한 제어 설계가 필요하다. 주로 항공, 로봇, 네트워크 제어 시스템에서 많이 활용된다.

개루프 시스템과 폐루프 시스템

개루프 시스템 (Open-Loop System)

개루프 시스템은 피드백이 없는 제어 시스템이다. 즉, 시스템의 출력이 다시 입력으로 피드백되지 않으며, 시스템의 제어는 순전히 입력에 의해 결정된다. 개루프 시스템의 블록 다이어그램은 다음과 같다.

graph LR A(입력) --> B(제어기) --> C(프로세스) --> D(출력)

개루프 시스템의 장점은 설계가 간단하고 구현이 용이하다는 점이다. 그러나 출력이 입력에 영향을 미치지 않기 때문에 외란(disturbance)에 민감하며, 시스템의 정확한 모델링이 필수적이다.

폐루프 시스템 (Closed-Loop System)

폐루프 시스템은 출력이 다시 입력으로 피드백되는 제어 시스템을 의미한다. 시스템의 상태나 출력을 기준으로 제어기가 입력을 조정하여 원하는 목표 값을 달성하도록 한다. 폐루프 시스템의 블록 다이어그램은 다음과 같다.

graph LR A(입력) --> B(제어기) --> C(프로세스) --> D(출력) --> E(피드백) --> B

폐루프 시스템은 외란에 대해 더 높은 강인성을 제공하며, 출력의 정확도를 높일 수 있는 장점이 있다. 그러나 설계가 복잡하고 피드백 루프에서의 불안정성 위험이 존재한다.