제어 시스템은 다양한 요소들이 유기적으로 연결되어 목표를 달성하는 시스템이다. 구성 요소를 이해하는 것은 제어 시스템을 설계하고 분석하는 데 중요한 첫걸음이다. 여기서는 대표적인 제어 시스템의 주요 구성 요소들을 살펴보겠다.

센서 (Sensor)

센서는 물리적 환경에서 정보를 수집하는 역할을 한다. 예를 들어, 온도 제어 시스템에서 온도 센서는 시스템의 실제 온도를 측정하여 이를 제어기(Controller)에 전달한다. 이때 센서의 출력 신호는 시스템의 현재 상태를 나타내는 신호로 변환된다. 이러한 신호는 일반적으로 전기 신호로 변환되어 처리된다.

센서의 역할을 수학적으로 표현하면, 측정된 실제 값 y(t)와 실제 상태 x(t)의 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있다:

y(t) = H \mathbf{x}(t)

여기서 H는 센서가 측정하는 변수와 시스템 상태 사이의 관계를 나타내는 행렬이다.

제어기 (Controller)

제어기는 시스템의 목표값과 현재 상태 사이의 차이를 계산하고, 이를 바탕으로 시스템의 입력을 조정한다. 제어기는 피드백 제어 방식으로 동작하며, 목표값을 추적하거나 원하는 성능을 유지하는 역할을 한다. 제어기의 출력은 조작 가능한 신호를 생성하여 액추에이터로 전달된다.

제어기의 동작을 수학적으로 나타내면 다음과 같다. 목표 값 r(t)와 실제 출력 y(t)의 차이를 오차 e(t)라고 정의할 수 있다:

e(t) = r(t) - y(t)

제어기는 이 오차를 기반으로 입력 신호 u(t)를 생성한다. 일반적인 PID 제어기의 경우, 입력 신호는 다음과 같이 표현된다:

u(t) = K_p e(t) + K_i \int_0^t e(\tau) d\tau + K_d \frac{de(t)}{dt}

여기서 K_p, K_i, K_d는 각각 비례, 적분, 미분 이득을 나타낸다.

액추에이터 (Actuator)

액추에이터는 제어기의 출력을 받아 실제로 물리적인 변화를 일으키는 장치이다. 예를 들어, 로봇 시스템에서 모터가 액추에이터로 사용되어 제어기의 신호에 따라 로봇의 움직임을 제어한다. 액추에이터는 시스템에 물리적인 입력을 제공하여 목표 상태로 유도하는 역할을 한다.

액추에이터의 수학적 표현은 제어기에서 생성된 입력 u(t)를 시스템에 적용하는 역할로 나타낼 수 있다. 시스템의 입력이 \mathbf{u}(t)이고, 액추에이터가 시스템에 물리적 영향을 미치는 경우, 이는 시스템의 상태에 영향을 미치게 된다. 액추에이터의 출력은 물리적인 힘, 전압, 전류 등으로 나타날 수 있으며, 이를 시스템의 상태와 연결하면 다음과 같은 시스템 방정식을 얻을 수 있다:

\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t)

여기서 \mathbf{x}(t)는 상태 벡터, A는 시스템의 상태 행렬, B는 입력 행렬을 나타낸다.

시스템 (Plant)

시스템 또는 플랜트는 제어를 받고자 하는 실제 물리적인 대상이다. 제어 시스템의 목적은 이 시스템을 원하는 상태로 제어하는 것이다. 시스템은 주어진 입력에 따라 상태가 변하며, 이를 수학적으로 모델링하여 제어기가 적절한 제어 신호를 제공할 수 있도록 한다.

시스템의 상태 변화는 일반적으로 상태 공간 표현으로 나타낼 수 있으며, 이는 다음과 같은 형태를 갖는다:

\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t)
y(t) = C \mathbf{x}(t) + D \mathbf{u}(t)

여기서 \mathbf{x}(t)는 상태 벡터, \mathbf{u}(t)는 입력 벡터, y(t)는 출력 벡터를 나타내며, A, B, C, D는 시스템의 행렬이다.

이 시스템 모델을 통해 제어기는 입력을 적절히 조정하여 원하는 목표를 달성할 수 있게 된다. 시스템의 동특성은 시스템의 상태 방정식에 의해 결정되며, 이는 제어기의 설계 과정에서 중요한 역할을 한다.

피드백 (Feedback)

피드백은 시스템의 현재 상태를 다시 제어기로 전달하는 과정이다. 이를 통해 제어기는 현재 상태와 목표 상태를 비교하여 필요한 조정을 수행할 수 있다. 피드백을 사용함으로써 제어 시스템은 안정성과 성능을 유지할 수 있으며, 외란이 발생했을 때 이를 보정하는 데 중요한 역할을 한다.

피드백 시스템을 수학적으로 나타내면, 출력 y(t)가 다시 제어기로 전달되고, 이 출력이 오차 신호로 변환되는 과정이 포함된다. 피드백 시스템의 폐루프(Closed-Loop) 전달함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다:

T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)}

여기서 G(s)는 시스템의 전달함수, H(s)는 피드백 경로의 전달함수이다.