비선형 제어 - 실험 도서관

비선형 제어는 시스템의 동특성이 선형으로 표현되지 않는 경우 적용되는 제어 기법이다. 대부분의 실제 시스템은 완벽하게 선형적이지 않기 때문에 비선형 제어 기법이 필요하다. 비선형 시스템은 복잡한 동역학을 갖고 있으며, 시스템의 동작은 상태나 입력에 따라 크게 달라질 수 있다. 이로 인해 비선형 시스템의 제어는 선형 시스템보다 훨씬 더 복잡하다.

비선형 시스템의 특성

비선형 시스템은 다음과 같은 특성을 가질 수 있다:

입력과 출력의 비선형 관계: 입력의 크기나 방향이 바뀔 때, 출력이 선형적으로 변화하지 않는다.
동적 특성의 변화: 시스템의 상태에 따라 시스템의 동특성이 달라지며, 이는 비선형적 거동을 초래할 수 있다.
시간에 따른 비선형성: 시스템의 동작이 시간에 따라 달라질 수 있으며, 비선형적 현상을 유발할 수 있다.

이러한 특성 때문에 비선형 시스템의 제어는 복잡하고 도전적인 과제가 된다.

비선형 제어의 수학적 모델

비선형 시스템을 수학적으로 나타내기 위해 다음과 같은 상태 공간 모델이 자주 사용된다:

$\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{u})$

여기서:

$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ 은 시스템의 상태 벡터
$\mathbf{u} \in \mathbb{R}^m$ 은 제어 입력 벡터
$\mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{u})$ 는 상태 및 입력에 대한 비선형 함수이다.

비선형 제어 기법은 위와 같은 비선형 시스템 모델을 기반으로 설계된다. 비선형 시스템의 제어는 종종 비선형성의 다양한 형태와 수준을 다루어야 하기 때문에, 비선형 함수 $\mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{u})$ 의 형태에 따라 여러 가지 제어 기법이 개발되었다.

비선형 제어 방법

비선형 제어를 위한 주요 방법으로는 다음과 같은 기법들이 있다:

피드백 선형화 (Feedback Linearization): 비선형 시스템을 특정한 방법으로 변환하여 선형 시스템처럼 취급하는 방법이다. 이를 통해 기존의 선형 제어 기법을 비선형 시스템에 적용할 수 있다.

피드백 선형화는 시스템의 비선형성을 제거하거나 최소화하여, 시스템을 선형 시스템으로 만들려는 방법이다. 이를 위해 상태 공간 모델을 변형한다. 기본적인 피드백 선형화는 시스템의 비선형 방정식을 적절히 설계된 피드백 제어 법칙을 통해 선형 방정식으로 변환하는 것이다.

예를 들어, 다음과 같은 시스템을 고려해보자:

$\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x}) + \mathbf{g}(\mathbf{x}) \mathbf{u}$

여기서 $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ 는 상태에 대한 비선형 함수이고, $\mathbf{g}(\mathbf{x})$ 는 제어 입력에 대한 비선형 함수이다. 피드백 선형화를 사용하여 시스템의 비선형성을 제거하는 과정은, 적절한 $\mathbf{u}$ 를 설계하여 시스템을 선형 시스템으로 변환하는 것이다.

이를 위한 제어 입력은 다음과 같이 설정할 수 있다:

$\mathbf{u} = \mathbf{g}^{-1}(\mathbf{x}) (\mathbf{v} - \mathbf{f}(\mathbf{x}))$

여기서 $\mathbf{v}$ 는 새로운 제어 입력으로, 이 입력을 사용하면 시스템은 선형 시스템처럼 변환된다.

슬라이딩 모드 제어 (Sliding Mode Control): 비선형 시스템의 강인한 제어를 위해 사용되는 기법으로, 시스템의 상태를 특정 슬라이딩 면 (Sliding Surface)으로 유도하여 그 면을 따라 제어하는 방식이다.

슬라이딩 모드 제어는 시스템 상태를 슬라이딩 면이라고 불리는 특정 서피스로 강제하여, 시스템이 그 서피스에 도달한 이후에는 서피스 상에서 상태가 이동하도록 만드는 방법이다. 슬라이딩 모드 제어는 비선형 시스템에서 잡음이나 불확실성이 있어도 강건하게 작동하는 제어 기법이다.

슬라이딩 모드 제어를 설계하는 첫 번째 단계는 슬라이딩 면을 정의하는 것이다. 슬라이딩 면은 일반적으로 다음과 같은 형태를 갖는다:

$\mathbf{s}(\mathbf{x}) = 0$

여기서 $\mathbf{s}(\mathbf{x})$ 는 시스템 상태 $\mathbf{x}$ 의 함수이다. 슬라이딩 모드 제어는 시스템을 이 슬라이딩 면으로 강제로 이동시키고, 그 후에는 슬라이딩 면을 따라 이동하도록 제어하는 방식이다.

백스테핑 (Backstepping)

백스테핑 기법은 비선형 시스템을 단계적으로 안정화하는 방법으로, 시스템의 하위 상태에서 상위 상태로 점진적으로 안정성을 보장하는 구조적 제어 방법이다. 백스테핑은 시스템이 여러 단계의 상태 변수를 가질 때 각 단계별로 적절한 안정화 제어 입력을 설계하여 전체 시스템의 안정성을 확보하는 방식으로 작동한다.

백스테핑 기법의 핵심은 비선형 시스템을 순차적으로 분리하여 각 부분 시스템에 대한 안정화 제어기를 설계한 후, 이를 통합하여 전체 시스템을 제어하는 것이다. 특히 비선형 시스템의 상태 변수를 단계별로 나누고, 각 단계에서 목표 상태를 설정한 뒤 이를 따라가기 위한 제어 입력을 계산한다.

비선형 시스템의 기본 구조는 다음과 같이 표현될 수 있다:

$\dot{\mathbf{x}}_1 = \mathbf{f}_1(\mathbf{x}_1) + \mathbf{g}_1(\mathbf{x}_1)\mathbf{x}_2$

$\dot{\mathbf{x}}_2 = \mathbf{f}_2(\mathbf{x}_2, \mathbf{u})$

여기서:

$\mathbf{x}_1 \in \mathbb{R}^n$ 은 하위 상태 변수
$\mathbf{x}_2 \in \mathbb{R}^m$ 은 상위 상태 변수
$\mathbf{u} \in \mathbb{R}^p$ 은 제어 입력

백스테핑을 적용하려면 먼저 $\mathbf{x}_1$ 에 대해 가상 제어 입력 $\mathbf{v}$ 를 설계하고, 그다음 $\mathbf{x}_2$ 에 대해 실제 제어 입력 $\mathbf{u}$ 를 계산한다. 이를 통해 시스템의 안정성을 단계적으로 확보할 수 있다.

예를 들어, $\mathbf{x}_1$ 에 대해 다음과 같은 가상 제어 입력 $\mathbf{v}$ 를 정의할 수 있다:

$\mathbf{v} = -k_1 \mathbf{x}_1$

그다음 $\mathbf{x}_2$ 에 대한 제어 입력 $\mathbf{u}$ 는 $\mathbf{v}$ 를 따라가도록 설계된다:

$\mathbf{u} = -k_2 (\mathbf{x}_2 - \mathbf{v})$

이와 같이 단계적으로 제어 입력을 설계함으로써 비선형 시스템의 전체적인 안정성을 보장할 수 있다.

적응 제어와 백스테핑의 결합

백스테핑 기법은 적응 제어(adaptive control)와 결합되어 비선형 시스템의 불확실성을 다룰 수 있다. 적응 제어는 시스템의 파라미터가 정확히 알려지지 않거나 시간이 지나면서 변화할 때, 시스템이 자동으로 파라미터를 추정하여 제어 성능을 유지하는 기법이다.

백스테핑과 적응 제어의 결합은 다음과 같은 구조로 설계될 수 있다:

먼저 백스테핑을 통해 시스템의 제어 구조를 설계한다.
적응 제어를 적용하여 시스템의 파라미터가 변화하거나 불확실성이 있는 경우, 이를 실시간으로 추정하여 백스테핑 제어기를 보정한다.

이를 통해 복잡한 비선형 시스템에서도 제어 성능을 유지하면서 불확실성을 극복할 수 있다.

비선형 최적 제어 (Nonlinear Optimal Control)

비선형 최적 제어는 비선형 시스템의 성능 지표를 최소화하거나 최대화하기 위해 최적화 알고리즘을 사용하는 기법이다. 비선형 시스템에서 최적 제어는 주로 다음과 같은 비용 함수를 최소화하는 문제로 정의된다:

$J = \int_0^\infty \mathbf{L}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t)) dt$

여기서:

$\mathbf{L}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t))$ 은 상태 $\mathbf{x}(t)$ 와 제어 입력 $\mathbf{u}(t)$ 에 의존하는 비용 함수
$J$ 는 총 비용

비용 함수 $\mathbf{L}$ 는 시스템의 성능을 측정하며, 이를 최소화하는 최적의 제어 입력 $\mathbf{u}(t)$ 를 찾는 것이 목적이다.

비선형 최적 제어는 해밀턴-자코비-벨만(HJB) 방정식을 통해 해결할 수 있다. HJB 방정식은 다음과 같이 표현된다:

$\frac{\partial V(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}} \mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{u}) + \mathbf{L}(\mathbf{x}, \mathbf{u}) = 0$

여기서 $V(\mathbf{x})$ 는 시스템의 가치 함수로, 최적 제어 입력 $\mathbf{u}^*$ 는 다음과 같이 구해진다:

$\mathbf{u}^* = \arg \min_{\mathbf{u}} \left( \frac{\partial V(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}} \mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{u}) + \mathbf{L}(\mathbf{x}, \mathbf{u}) \right)$

비선형 최적 제어는 일반적으로 수치적 기법을 통해 해결되며, 계산 복잡도가 높지만 최적 성능을 달성할 수 있다.

미분 동형 사상 기반 제어 (Differential Flatness)

미분 동형 사상(Differential Flatness)은 비선형 시스템을 단순화하기 위한 강력한 도구로, 특정 조건을 만족하는 비선형 시스템을 선형 시스템처럼 취급할 수 있게 해준다. 비선형 시스템이 미분 평탄성을 가질 때, 상태 및 입력 변수를 평탄 변수(flat output)로 변환하여 제어 문제를 해결할 수 있다.

평탄 변수 $\mathbf{y}(t)$ 는 다음과 같은 형태로 정의된다:

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{h}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), \dot{\mathbf{u}}(t), \dots)$

여기서 $\mathbf{h}$ 는 상태 $\mathbf{x}(t)$ , 제어 입력 $\mathbf{u}(t)$ , 그리고 그 도함수에 의존하는 함수이다. 평탄 변수 $\mathbf{y}(t)$ 는 시스템의 상태와 입력을 평탄화된 형태로 나타내며, 이 평탄 변수를 이용해 비선형 시스템의 제어 문제를 선형 시스템으로 변환할 수 있다.

미분 동형 사상을 이용한 제어는 복잡한 비선형 시스템을 간단하게 다룰 수 있는 방법을 제공하며, 이를 통해 비선형 시스템을 효율적으로 제어할 수 있다.