강건 제어는 시스템의 불확실성이나 외란에 강하게 견딜 수 있는 제어 기법을 의미한다. 즉, 시스템의 모델링 오류, 파라미터 변동, 외부 간섭 등 여러 변동 요소에도 불구하고 안정성과 성능을 유지할 수 있도록 설계된 제어 방법이다. 수소 연료 전지 시스템은 일반적으로 외부 환경의 변화와 내부 동력 요소의 변화가 매우 크기 때문에, 강건 제어가 특히 중요하다.

강건 제어의 주요 목표는 다음과 같다: 1. 모델 불확실성: 시스템 모델이 완벽하지 않거나 추정된 값에 오차가 있어도 제어 성능이 크게 저하되지 않도록 보장. 2. 외란 견딤: 외부 환경의 변화나 외란이 발생했을 때, 시스템이 안전하게 동작하도록 설계. 3. 파라미터 변화 대응: 시스템 내부의 파라미터가 시간에 따라 변화할 때에도 안정성을 유지.

시스템 모델링과 강건성

수소 연료 전지 제어에서 시스템의 모델링 오류는 주로 연료전지의 동력 변동, 배터리의 상태 변화, 그리고 외부 온도와 같은 외부 조건에 의해 발생한다. 이때 시스템의 동작을 다음과 같은 상태 공간 모델로 표현할 수 있다:

\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A} \mathbf{x} + \mathbf{B} \mathbf{u} + \mathbf{w}(t)
\mathbf{y} = \mathbf{C} \mathbf{x} + \mathbf{D} \mathbf{u}

여기서: - \mathbf{x}는 상태 벡터이다. 예를 들어, 수소 연료 전지 시스템에서 전압, 전류, 온도와 같은 값들이 포함된다. - \mathbf{u}는 입력 벡터로, 연료 공급량, 냉각 시스템의 작동 등이 포함된다. - \mathbf{w}(t)는 외란 벡터이다. 외부 환경의 변화나 불확실성을 반영한다. - \mathbf{y}는 출력 벡터로, 시스템에서 측정 가능한 값들(예: 출력 전력)을 나타낸다.

강건 제어는 이러한 모델에서 불확실성이 포함된 상태에서도 시스템이 안정적으로 작동할 수 있도록 설계된다. 이를 위해 불확실성 \Delta를 포함한 모델을 고려할 수 있다:

\dot{\mathbf{x}} = (\mathbf{A} + \Delta \mathbf{A}) \mathbf{x} + (\mathbf{B} + \Delta \mathbf{B}) \mathbf{u} + \mathbf{w}(t)

이 모델에서 \Delta \mathbf{A}와 \Delta \mathbf{B}는 시스템 동작의 변화에 따라 달라지는 불확실성을 나타낸다.

강건 제어 기법의 설계

강건 제어를 설계할 때 주로 사용하는 방법으로 H-무한 제어와 슬라이딩 모드 제어가 있다.

H-무한 제어

H-무한 제어는 시스템의 성능을 보장하면서 불확실성에 대한 강건성을 극대화하는 기법이다. 여기서 'H-무한'이라는 용어는 주파수 영역에서 시스템의 성능을 평가하는 방법에서 유래하였다. H-무한 제어 문제는 다음과 같은 형식으로 정의된다:

\min_{\mathbf{K}} \sup_{\Delta} \|T_{\mathbf{K}}(s)\|

여기서: - \mathbf{K}는 제어기를 나타낸다. - \Delta는 시스템의 불확실성이다. - T_{\mathbf{K}}(s)는 폐루프 전달 함수를 나타내며, \sup는 최대값을 구하는 연산자이다.

이 방정식은 불확실성이 존재하는 모든 경우에서 시스템의 성능 T_{\mathbf{K}}(s)가 최소가 되도록 제어기를 설계하는 문제이다.

슬라이딩 모드 제어

슬라이딩 모드 제어는 불확실성에 대한 매우 높은 견고성을 제공하는 비선형 제어 방법 중 하나이다. 시스템이 불확실성에 직면했을 때, 슬라이딩 모드 제어는 상태 변수를 미리 정의된 슬라이딩 면으로 유도하여 불확실성의 영향을 제거한다. 슬라이딩 모드 제어의 주요 목표는 시스템의 동작을 슬라이딩 면에서 유지하는 것이다.

슬라이딩 모드 제어에서 사용하는 슬라이딩 면 방정식은 다음과 같이 정의될 수 있다:

s(\mathbf{x}, t) = 0

이때, 슬라이딩 모드 제어의 핵심 개념은 상태 변수가 이 면 위에 머무르게끔 제어 입력을 설계하는 것이다. 제어 입력 \mathbf{u}는 다음과 같이 정의될 수 있다:

\mathbf{u} = \mathbf{u}_\text{eq} + \mathbf{u}_\text{sw}

여기서 \mathbf{u}_\text{eq}는 슬라이딩 면에 머무르게 하는 등가 제어 입력이며, \mathbf{u}_\text{sw}는 외란이나 불확실성에 대응하여 스위칭을 통해 제어 입력을 조정하는 부분이다.

슬라이딩 모드 제어의 특징

슬라이딩 모드 제어의 핵심은 제어 시스템이 특정 슬라이딩 면 위에 도달하게 하고, 그 면 위에서 시스템이 원하는 동작을 유지하도록 하는 것이다. 이를 통해 외란이나 불확실성에 대한 견고성을 얻을 수 있다. 슬라이딩 모드 제어는 비선형 제어 시스템에서 특히 강력하며, 수소 연료 전지 시스템과 같은 동적인 시스템에도 적합한다.

슬라이딩 모드 제어의 장점은 불확실성에 대한 매우 높은 견고성이다. 상태 변수가 슬라이딩 면에 도달하게 되면, 외부의 외란이나 모델링 오류에 상관없이 시스템이 안정적으로 제어된다. 그러나 슬라이딩 모드 제어는 스위칭의 특성 때문에 채터링 현상이 발생할 수 있다. 채터링은 제어 입력이 매우 빠르게 변화하는 현상으로, 시스템에 불필요한 진동을 유발할 수 있다. 이를 방지하기 위해서 경계층 기법이나 고차 슬라이딩 모드 제어 등이 사용된다.

슬라이딩 모드 제어 시스템의 설계 과정

슬라이딩 모드 제어를 설계하기 위해서는 우선 슬라이딩 면을 정의하고, 시스템이 그 면 위에 도달할 수 있도록 제어기를 설계해야 한다. 슬라이딩 모드 제어는 크게 두 단계로 나뉜다.

  1. 슬라이딩 면의 정의
    슬라이딩 면은 시스템 상태의 조합으로 정의된다. 이 면은 시스템이 안정된 상태에 도달하도록 유도하는 역할을 한다. 슬라이딩 면은 상태 공간에서 다음과 같이 정의할 수 있다:
s(\mathbf{x}, t) = \mathbf{C} \mathbf{x} + \mathbf{c}

여기서 \mathbf{C}는 설계된 매트릭스로, 시스템의 상태 변수를 적절히 조합하여 슬라이딩 면을 정의한다. \mathbf{c}는 시스템이 도달해야 할 목표 상태를 나타낸다.

  1. 제어 입력의 설계
    시스템이 슬라이딩 면에 도달하게 하고, 그 면 위에 머물도록 제어 입력을 설계해야 한다. 제어 입력은 등가 제어와 스위칭 제어로 나눌 수 있다. 등가 제어 입력 \mathbf{u}_{eq}는 슬라이딩 면에 도달하게 하고, 스위칭 제어 입력 \mathbf{u}_{sw}는 슬라이딩 면에서 벗어나지 않도록 한다:
\mathbf{u} = \mathbf{u}_{eq} + \mathbf{u}_{sw}

스위칭 제어는 다음과 같은 형태로 표현된다:

\mathbf{u}_{sw} = -k \cdot \text{sign}(s(\mathbf{x}, t))

여기서 k는 스위칭 게인이다. 스위칭 제어는 슬라이딩 면에서의 상태 변화를 조절하여, 시스템이 슬라이딩 면에 도달하고 그 위에 머물도록 한다.

채터링(Chattering) 문제와 해결 방법

슬라이딩 모드 제어에서 발생하는 채터링은 스위칭 동작이 매우 빠르게 반복되면서 생기는 문제이다. 특히 실제 시스템에서는 스위칭의 물리적인 한계로 인해 시스템에 해로운 영향을 줄 수 있다. 채터링 문제를 해결하기 위한 방법으로는 다음과 같은 기법들이 있다.

경계층 기법

경계층 기법은 슬라이딩 면 근처에서 스위칭 제어를 부드럽게 만드는 방법이다. 이를 위해 슬라이딩 면 주변에 얇은 경계층을 정의하고, 이 경계층 안에서 스위칭 제어 대신 연속적인 제어 입력을 사용한다. 경계층 기법을 사용하면 채터링 현상을 줄일 수 있지만, 정확도가 약간 떨어질 수 있다.

경계층을 포함한 제어 입력은 다음과 같이 정의된다:

\mathbf{u}_{sw} = -k \cdot \frac{s(\mathbf{x}, t)}{|s(\mathbf{x}, t)| + \epsilon}

여기서 \epsilon은 경계층의 두께를 나타내는 작은 양수이다.

고차 슬라이딩 모드 제어

고차 슬라이딩 모드 제어는 슬라이딩 면의 고차 도함수를 사용하여 채터링을 줄이는 방법이다. 1차 슬라이딩 모드 제어에서는 상태 변수 자체가 슬라이딩 면에서 스위칭을 하지만, 고차 슬라이딩 모드에서는 상태 변수의 도함수들이 슬라이딩 면에서 스위칭한다. 이를 통해 채터링 문제를 더욱 효과적으로 해결할 수 있다.

고차 슬라이딩 모드 제어의 제어 입력은 다음과 같은 형태를 갖는다:

\mathbf{u} = -k_n \cdot \frac{d^n s(\mathbf{x}, t)}{dt^n}

여기서 n은 슬라이딩 모드의 차수를 나타낸다. 고차 슬라이딩 모드 제어는 시스템의 견고성을 유지하면서도 채터링 문제를 해결하는 데 효과적이다.