제어 성능 평가 기준 - 소프트웨어 융합

제어 시스템을 설계할 때, 그 성능을 평가하는 기준은 시스템이 의도한 대로 작동하는지, 제어 목표를 만족시키는지 확인하는 데 필수적이다. 여기서는 다양한 제어 성능 평가 기준을 설명하겠다.

1. 안정성 (Stability)

안정성은 제어 시스템에서 가장 중요한 성능 평가 기준 중 하나이다. 시스템이 안정적이라는 것은, 시간의 흐름에 따라 출력이 일정한 값으로 수렴하거나, 제한된 범위 내에서 진동할 수 있음을 의미한다. 시스템이 불안정한 경우, 출력은 시간이 지남에 따라 무한대로 발산하거나, 제어 불가능한 상태에 이른다.

안정성은 주로 다음 두 가지 조건을 통해 평가된다:

내부 안정성: 시스템 내부 상태가 시간에 따라 발산하지 않음.
외부 안정성: 입력에 대한 출력이 적절하게 반응하며 발산하지 않음.

수학적으로, 시스템의 전달함수 $G(s)$ 에 대한 극점(pole)의 실수부가 음수일 때, 시스템은 안정적이다. 이는 다음과 같이 표현할 수 있다:

$\Re(s) < 0 \quad \text{for all poles of} \quad G(s)$

2. 과도 응답 특성 (Transient Response)

과도 응답 특성은 시스템이 목표값에 도달하는 과정에서 나타나는 일시적인 성능을 평가한다. 주로 시스템의 응답 속도와 관련이 있으며, 주요 성능 지표로는 응답 시간, 최대 오버슈트, 정착 시간이 있다.

응답 시간 (Rise Time, $t_r$ ): 입력 신호가 10%에서 90% 사이로 변할 때까지 걸리는 시간.
최대 오버슈트 (Maximum Overshoot, $M_p$ ): 출력이 목표값을 초과하여 변하는 정도. 이는 시스템의 진동이나 불안정성을 나타낼 수 있다.

오버슈트는 다음과 같이 수식으로 정의된다:

$M_p = \frac{y_{\text{max}} - y_{\text{final}}}{y_{\text{final}}} \times 100\%$

여기서 $y_{\text{max}}$ 는 출력의 최대값, $y_{\text{final}}$ 은 정상 상태에서의 최종값이다.

정착 시간 (Settling Time, $t_s$ ): 출력이 목표값의 일정 범위 내로 들어가고, 그 안에서 머무는 데 걸리는 시간. 일반적으로 이 범위는 목표값의 2% 또는 5%로 설정된다.

$t_s = \min \{ t \mid |y(t) - y_{\text{final}}| < \epsilon, \, \forall t > t_s \}$

여기서 $\epsilon$ 은 허용 오차 범위를 나타낸다.

3. 정상 상태 오차 (Steady-State Error)

정상 상태 오차는 시스템이 목표값에 도달한 후 남아 있는 오차를 평가하는 기준이다. 이는 시스템의 정확도와 관련이 있다. 시스템이 목표값에 정확히 도달하지 못하는 경우, 정상 상태 오차가 발생한다.

정상 상태 오차는 주로 다음과 같은 지표로 표현된다:

$e_{\text{ss}} = \lim_{t \to \infty} \left( r(t) - y(t) \right)$

여기서 $r(t)$ 는 입력 신호, $y(t)$ 는 출력 신호를 나타낸다.

정상 상태 오차를 최소화하기 위해 피드백 제어나 적분 제어를 사용할 수 있다. 적분 제어를 포함한 시스템은 정상 상태 오차가 0으로 수렴하도록 할 수 있다.

4. 민감도 (Sensitivity)

민감도는 제어 시스템이 외부의 방해나 노이즈에 얼마나 민감하게 반응하는지를 평가하는 기준이다. 시스템이 노이즈나 외부의 변화에 매우 민감하다면, 원하는 제어 성능을 얻기 어렵다.

민감도 함수는 다음과 같이 정의된다:

$S(s) = \frac{1}{1 + G(s)H(s)}$

여기서 $G(s)$ 는 시스템의 전달함수, $H(s)$ 는 피드백 경로의 전달함수를 나타낸다.

민감도가 작을수록 시스템은 노이즈나 외부 교란에 강인하게 작동한다.

5. 강건성 (Robustness)

강건성은 시스템이 모델링 오차나 파라미터 변화에도 불구하고 안정성과 성능을 유지할 수 있는 능력을 평가하는 기준이다. 현실의 제어 시스템에서는 환경 변화나 시스템의 노이즈, 불확실성 등이 발생할 수 있기 때문에, 시스템이 강건해야 한다.

강건성은 민감도 함수를 통해 평가할 수 있다. 시스템의 민감도 함수 $S(s)$ 와 보완 민감도 함수 $T(s)$ 는 다음 관계를 만족한다:

$S(s) + T(s) = 1$

보완 민감도 함수 $T(s)$ 는 외란에 대한 반응을 측정하는데 사용된다. 시스템이 강건할수록, 보완 민감도 $T(s)$ 는 낮고 민감도 $S(s)$ 는 높아져야 한다. 이는 제어 시스템이 설계된 대로 동작하는지 확인하는 중요한 기준이 된다.

6. 제어 노력 (Control Effort)

제어 시스템을 평가할 때, 제어 노력을 과도하게 사용하지 않고 목표를 달성하는 것도 중요한 성능 평가 기준이다. 제어 노력은 제어 입력의 크기와 빈도를 측정하는데, 제어 입력이 지나치게 크면 시스템의 작동에 무리가 갈 수 있으며, 에너지 소비 또한 증가할 수 있다.

제어 입력 $u(t)$ 에 대해 제어 노력을 최소화하려면, 다음 조건을 고려할 수 있다:

$J = \int_0^\infty u^2(t) \, dt$

여기서 $J$ 는 제어 입력의 제곱 적분 값으로, 제어 노력이 크면 이 값이 커진다. 제어 노력이 클수록 시스템이 과도한 에너지를 사용한다는 것을 의미한다.

7. 주파수 응답 (Frequency Response)

제어 시스템의 주파수 응답은 시스템이 다양한 주파수 성분에 어떻게 반응하는지를 나타내는 평가 기준이다. 주파수 응답을 분석함으로써 시스템의 안정성과 성능을 예측할 수 있다.

주파수 응답은 보드 다이어그램(Bode plot)을 통해 시각적으로 평가할 수 있다. 이 다이어그램은 이득 마진과 위상 마진을 통해 시스템의 안정성을 분석한다:

이득 마진 (Gain Margin, $G_m$ ): 시스템이 불안정해지기 직전까지 허용할 수 있는 이득의 변화량.
위상 마진 (Phase Margin, $\phi_m$ ): 시스템이 불안정해지기 직전까지 허용할 수 있는 위상의 변화량.

이 두 마진이 충분히 크면 시스템은 안정적이라고 평가된다.

8. 감쇠 비율 (Damping Ratio)

감쇠 비율은 시스템의 과도 응답 특성을 평가하는 중요한 지표 중 하나이다. 감쇠 비율 $\zeta$ 는 시스템이 외란 후 진동을 얼마나 빠르게 감쇠시키는지를 나타낸다.

$\zeta = 0$ 일 때: 시스템은 감쇠가 없는 상태로, 지속적인 진동을 하게 된다.
$0 < \zeta < 1$ 일 때: 시스템은 언더댐프(under-damped) 상태로, 진동이 점차 줄어들며 목표 값에 도달한다.
$\zeta = 1$ 일 때: 시스템은 크리티컬 댐프(critical damped) 상태로, 빠르게 목표 값에 도달한다.
$\zeta > 1$ 일 때: 시스템은 오버댐프(over-damped) 상태로, 천천히 목표 값에 도달한다.

이 지표는 시스템의 안정성과 응답 속도를 동시에 평가할 수 있다.

9. 파형 품질 (Waveform Quality)

제어 시스템에서 출력 신호의 파형 품질 또한 중요한 성능 평가 기준이다. 이는 시스템의 동작이 목표로 하는 신호에 얼마나 일치하는지를 평가한다. 파형 품질은 다음과 같은 요소로 평가된다:

왜곡 (Distortion): 출력 신호의 파형이 입력 신호의 형태에서 얼마나 변형되었는지를 나타낸다.
노이즈 (Noise): 출력 신호에 포함된 불필요한 고주파 성분 또는 잡음.

파형 품질이 높을수록, 출력 신호는 목표 신호와 더 유사하며 제어 성능이 높다고 평가할 수 있다.